Endomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Do 08.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Es sei F : V → V ein Endomorphismus des Vektorraums V und ein v ∈ V so wählbar, dass für ein
n ∈ N ∪ {0} gilt:
$ [mm] F^n(v) \not= [/mm] 0 und [mm] F^{n+1}(v) [/mm] = 0 $
Beweisen Sie, dass dann die Familie $ (v, F (v), . . . , [mm] F^n [/mm] (v)) $ linear unabhängig ist. Dabei bedeutet [mm] F^n [/mm] die n−fache Komposition von F mit sich selbst, wobei $ [mm] F^0 [/mm] $ die identische Abbildung auf V ist. |
Ich komme bei der Aufgabe nicht recht weit.
Ein Endomorphismus ist eine lineare Abbildung, wenn F:V->V. Demnach ist in diesem Fall F linear. Also muss gelten:
i) $ [mm] F(v_1 [/mm] $ + $ [mm] v_2) [/mm] $ = $ [mm] F(v_1) [/mm] $ + $ [mm] F(v_2) [/mm] $
ii) $ [mm] F(\lambda [/mm] $ v) = $ [mm] \lambda \cdot [/mm] $ F(v)
mit v aus V.
Und es soll gelten, dass wenn,
$ [mm] \lambda_{1}*v+...+\lambda_{n-1}*F^n(v)=0 [/mm] die einzige Lösung ist:
$ [mm] \lambda_{1}=...=\lambda_{n-1}=0 [/mm] $
Hab ich das richtig verstanden, dass das erste Glied der Familie mit $ [mm] F^0(v) [/mm] = v $ beginnt? Steht ja in der Aufgabenstellung, dass $ [mm] F^0 [/mm] $ die identische Abbildung ist? Bedeutet dies, dass es überhaupt nicht abgebildet wird bzw. in V bleibt.
Stimmt der Index von Lambda?
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Hallo yangwar1,
> Es sei F : V → V ein Endomorphismus des Vektorraums V und
> ein v ∈ V so wählbar, dass für ein n ∈ N ∪ {0} gilt:
> [mm]F^n(v) \not= 0 und F^{n+1}(v) = 0[/mm]
> Beweisen Sie, dass dann die Familie [mm](v, F (v), . . . , F n (v))[/mm] linear unabhängig
> ist. Dabei bedeutet F n die n−fache Komposition von F mit
> sich selbst, wobei [mm]F^0[/mm] die identische Abbildung auf V ist.
Wende nacheinander [mm] $F^{n},F^{n-1},\ldots,F^2,F$ [/mm] auf die Gleichung
[mm] \lambda_{0}*v+...+\lambda_{n}*F^n(v)=0
[/mm]
an und Du wirst so (induktiv) sehen, dass
[mm] \lambda_i=0
[/mm]
für [mm] i=0,\ldots,n.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Fr 09.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Nein, das verstehe ich leider so noch nicht. Könntest du mir das bitte noch einmal genauer erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Fr 09.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Wende [mm] F^n [/mm] auf
$ [mm] \lambda_{0}\cdot{}v+...+\lambda_{n}\cdot{}F^n(v)=0 [/mm] $
an. Dann bekommst Du:
[mm] \lambda_0F^n(v)=0.
[/mm]
Da [mm] F^n(v) \ne [/mm] 0 ist, folgt [mm] \lambda_0=0
[/mm]
Dann hast Du also noch:
$ [mm] \lambda_{1}\cdot{}F(v)+...+\lambda_{n}\cdot{}F^n(v)=0 [/mm] $
Daruf wendest Du [mm] F^{n-1} [/mm] an und bekommst:
[mm] \lambda_1F^n(v)=0,
[/mm]
also [mm] \lambda_1=0. [/mm] Etc....
FRED
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Also die Familie lautet doch:
$ (v, F (v), . . . , [mm] F^n [/mm] (v)) $
Ist das äquivalent zu:
$ (F^0v, [mm] F^1 [/mm] (v), . . . , [mm] F^n [/mm] (v)) $
Für die lineare Abhängigkeit muss
$ [mm] \lambda_1= \lambda_2 [/mm] = [mm] \cdots [/mm] = [mm] \lambda_n [/mm] = 0 $ als einzige Lösung der Gleichung $ [mm] \lambda_1*F^0(v)+ \cdot [/mm] + [mm] \lambda_n*F^{n+1}(v) [/mm] = 0 $
>Wende $ [mm] F^n [/mm] $ auf
>
>
>
> $ [mm] \lambda_{0}\cdot{}v+...+\lambda_{n}\cdot{}F^n(v)=0 [/mm] $
>
>an. Dann bekommst Du:
>
> $ [mm] \lambda_0F^n(v)=0. [/mm] $
Das hier verstehe ich nicht.
Die anderen Schritte schon, erfolgt dann der Beweis mittels Induktion?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 11.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Fr 09.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Es würde viel zu meinem Verständnis beitragen, wenn man mir einmal den Schritt erklären würde:
"Wende $ [mm] F^n [/mm] $ auf die "Gleichung" an erklären würde.
Bedeutet dieser Schritt folgendes:
$ [mm] \lambda_{0}*F^n(v)+\lambda_{2}* F^{n+1}(v)+ \cdots+\lambda_{n}F^{n+n}(v)=0 [/mm] $
Dann folgt mit den zwei Bedingungen:
$ [mm] \lambda_{0}*F^n(v)+0+\cdots+0=0 [/mm] $
Habe jetzt mit der Forensuche noch folgendes gefunden:
Man soll das F auf beiden Seiten anwenden. Ich kann mir darunter aber nichts vorstellen. Dass F kann doch nur auf einen Vektor angewendet werden, also immer einzeln oder gar auf die komplette linke seite?
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> Es würde viel zu meinem Verständnis beitragen, wenn man
> mir einmal den Schritt erklären würde:
> "Wende [mm]F^n[/mm] auf die "Gleichung" an erklären würde.
>
> Bedeutet dieser Schritt folgendes:
> [mm]\lambda_{0}*F^n(v)+\lambda_{2}* F^{n+1}(v)+ \cdots+\lambda_{n}F^{n+n}(v)=0[/mm]
Ja.
>
> Dann folgt mit den zwei Bedingungen:
> [mm]\lambda_{0}*F^n(v)+0+\cdots+0=0[/mm]
>
> Habe jetzt mit der Forensuche noch folgendes gefunden:
> Man soll das F auf beiden Seiten anwenden. Ich kann mir
> darunter aber nichts vorstellen. Dass F kann doch nur auf
> einen Vektor angewendet werden, also immer einzeln oder gar
> auf die komplette linke seite?
F ist eine lineare Abbildung. Wenn man F auf beiden Seiten der Gleichung anwendet, kann man auf der linken Seite die Linearität benutzen und erhält das, was Du oben geschrieben hast.
LG
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