Endomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 So 20.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hi,
meine Frage: Wie kann ich einen F bestimmen, der ein
Endomorphismus des [mm] $\IR^4 [/mm] $ist und bzgl. der Standardbasis durch eine
Matrix gegeben ist?
Meine Frage bezieht sich auf die Aufgabe:
http://www.math.uni-frankfurt.de/~rweidman/LA1/aufg8.pdf
Aufgabe Nr. 31
Für ein paar Tipps wäre ich sehr dankbar..
Vielen Dank...
nevinpol
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol,
> Hi,
>
> meine Frage: Wie kann ich einen F bestimmen, der ein
>
> Endomorphismus des [mm]\IR^4 [/mm]ist und bzgl. der Standardbasis
> durch eine
> Matrix gegeben ist?
Ganz einfach:
$F: [mm] \IR^4\to \IR^4$
[/mm]
[mm] $v\mapsto [/mm] Av$
Der Endomorphismus ist doch nur eine "abstraktere" Beschreibung der Abbildung, von der Wahl der Basis unabhängig.
Die Matrix A dagegen ist zu einer konkreten Basis gegeben (hier eben der Standardbasis).
Man kann F auch durch weitere Basen und Matrizen beschreiben, und würde so z.B. für eine zweite Matrix B mit [mm] $B\not=A$ [/mm] (bei geeigneter Wahl der zugehörigen Basis) für dieselbe Abbildung F schreiben können:
$F: [mm] \IR^4\to \IR^4$
[/mm]
[mm] $v\mapsto [/mm] Bv$
Unter [mm] F:\IR^2\to\IR^2 [/mm] könntest du dir zum Beispiel vorstellen "F ist eine Spiegelung an der x-Achse".
Bezüglich der Standardbasis würde die zugehörige Darstellungsmatrix A so aussehen:
[mm] $A=\pmat{1&0\\0&-1}$
[/mm]
Bezüglich der Basis [mm] $\vektor{1\\1}, \vektor{0\\1}$ [/mm] würde die Darstellungsmatrix B so aussehen:
[mm] $B=\pmat{1&0\\-1&-1}$ [/mm] (hoffe ich  )
> Meine Frage bezieht sich auf die Aufgabe:
>
>
> http://www.math.uni-frankfurt.de/~rweidman/LA1/aufg8.pdf
wo du vorhin sagtest, du würdest nicht so viele Leute an deiner Uni kennen: Ich kenne dafür Richard Weidmann  Er war früher mal in Bochum wissenschaftlicher Mitarbeiter bei einem Professor (Zieschang), bei dem ich Lineare Algebra gehört habe Witzig.
> Aufgabe Nr. 31
>
> Für ein paar Tipps wäre ich sehr dankbar..
Für die Kerne kannst du einfach die homogenen Gleichungssysteme
$Ax=0$
$A^2x=0$
$A^3x=0$
lösen.
Bevor du das aber machst, würde ich vielleicht zunächst den Hauptnenner aller Einträge von A ausklammern...
Das Bild wird ja durch die Spaltenvektoren der jeweiligen Matrix aufgespannt, von den Spaltenvektoren würde ich also ein minimales Erzeugendensystem (=Basis) bestimmen.
Zur Bestimmung von Kern und Bild siehe auch diesen Artikel.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
