Endomorphismus, Minimalpolyom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Kjetil |
| Aufgabe | | Finden sie einen Vektorraum V und einen Endomorphismus f: V -> V, der kein Minimalpolynom besitzt. |
Hallo erstmal :)
So die Frage oben finde ich etwas verwirrend. Meint mein Proffesor damit, dass das Polynom nicht existiert? Oder nur das es gleich Null ist? (Das wäre ja relativ einfach.)
So als mein Lösungsansatz wäre ersters gemeint gewesen, also ein Endomorphismus, der kein Minimalpolynom hat, da es nicht existiert.
Da das Minimalpolynom ja ein echter Teiler des charakteristischen Polynoms ist, darf das nun auch nicht existieren.
Jetzt denke ich, man muss V so wählen, dass es zwar ein charakteristisches Polynom hat, aber es in dem V nicht definiert ist, also z.B. als V = Q und das Polynom dann etwa -i.
Ist der Denkansatz so richtig? Ich wäre dankbar für jede Hilfe da ich hier nicht mehr wirklich weiß was ich sonst hinschreiben soll.
Danke und Liebe Grüße
Kjetil
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Mi 17.05.2006 | | Autor: | choosy |
hm wie wärs als Vektorraum einfach die stetigen Funktionen auf [0,1] zu nehmeh... der ist unendlichdimensional, da ist soetwas wie ein charakteristisches polynom imho nicht definiert....
nur so ein gedanke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Do 18.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Finden sie einen Vektorraum V und einen Endomorphismus f: V
> -> V, der kein Minimalpolynom besitzt.
> Hallo erstmal :)
>
> So die Frage oben finde ich etwas verwirrend. Meint mein
> Proffesor damit, dass das Polynom nicht existiert? Oder nur
> das es gleich Null ist? (Das wäre ja relativ einfach.)
Nein, es soll schon wirklich nicht existieren.
> So als mein Lösungsansatz wäre ersters gemeint gewesen,
> also ein Endomorphismus, der kein Minimalpolynom hat, da es
> nicht existiert.
Genau.
> Da das Minimalpolynom ja ein echter Teiler des
> charakteristischen Polynoms ist, darf das nun auch nicht
> existieren.
Exakt. Also kommen endlichdimensionale Vektorraeume nicht in Frage, denn dort existiert dieses nach dem Satz von Cayley-Hamilton immer!
> Jetzt denke ich, man muss V so wählen, dass es zwar ein
> charakteristisches Polynom hat, aber es in dem V nicht
> definiert ist, also z.B. als V = Q und das Polynom dann
> etwa -i.
Nein das geht nicht. Das char.Poly. ist immer ueber dem Grundkoerper definiert, ueber dem auch der Endomorphismus definiert ist.
> Ist der Denkansatz so richtig? Ich wäre dankbar für jede
> Hilfe da ich hier nicht mehr wirklich weiß was ich sonst
> hinschreiben soll.
Wie choosy schon geschrieben hat: Versuchs mit unendlich-dimensionalen Vektorraeumen. Dort gibt es zwar keine charakteristischen Polynome, jedoch fuer manche Endomorphismen gibt es trotzdem Minimalpolynome (z.B. $x - 1$ fuer die Identitaet).
Schau dir etwa mal den Vektorraum [mm] $\IQ[x]$ [/mm] an (Polynom ueber [mm] $\IQ$). [/mm] Faellt dir eine Operation fuer Polynome ein, die linear ist und die du hier ausprobieren koenntest?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Sa 20.05.2006 | | Autor: | el-Necro |
Hallo,
mir wurde die selbe Aufgabe gestellt und ich habe versucht diese anhand der hier geposteten Hilfe zu lösen, bin mir diesbezüglich allerdings noch sehr unsicher.
> Schau dir etwa mal den Vektorraum [mm]\IQ[x][/mm] an (Polynom ueber
> [mm]\IQ[/mm]). Faellt dir eine Operation fuer Polynome ein, die
> linear ist und die du hier ausprobieren koenntest?
Anhand dieser Info bin ich auf folgendes gekommen:
Für den Endomorphismus
f: [mm]\IQ[x][/mm] [mm] \to[/mm] [mm]\IQ[x][/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} a_{k}* x^{k} \mapsto (\summe_{k=1}^{n} a_{k}* x^{k})^2
[/mm]
existiert kein Minimalpolynom vom Grad [mm] m<\infty [/mm] , dass diese Abbildung stets annulieren könnte.
Jetzt weiß ich aber nicht so recht ob das reicht, denn wirklich gezeigt ist durch diese Behauptung ja nichts.
Müsste ich nicht eigentlich erst eine Matrix zu dieser Abbildung finden und anhand derer zeigen, dass kein Polynom existiert in welches diese Matrix dann eingesetzt werden könnte um selbige zu annulieren? Denn Minimalpolynome wurden in meinem Erfahrungsschatz bis dato auch ausschließlich für Matrizen berechnet.
Viele Grüße
Arthur
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:13 So 21.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Arthur!
> mir wurde die selbe Aufgabe gestellt und ich habe versucht
> diese anhand der hier geposteten Hilfe zu lösen, bin mir
> diesbezüglich allerdings noch sehr unsicher.
>
> > Schau dir etwa mal den Vektorraum [mm]\IQ[x][/mm] an (Polynom ueber
> > [mm]\IQ[/mm]). Faellt dir eine Operation fuer Polynome ein, die
> > linear ist und die du hier ausprobieren koenntest?
>
> Anhand dieser Info bin ich auf folgendes gekommen:
>
> Für den Endomorphismus
>
> f: [mm]\IQ[x][/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\IQ[x][/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{k}* x^{k} \mapsto (\summe_{k=1}^{n} a_{k}* x^{k})^2[/mm]
Jo, die sollte es tun.
> existiert kein Minimalpolynom vom Grad [mm]m<\infty[/mm] , dass
> diese Abbildung stets annulieren könnte.
Meinst du `kein Polynom'? Wenn es kein Minimalpolynom gibt, gibt es insbesondere kein Polynom, und wenn es kein Polynom gibt, gibt es insbesondere kein Minimalpolyom.
> Jetzt weiß ich aber nicht so recht ob das reicht, denn
> wirklich gezeigt ist durch diese Behauptung ja nichts.
Ja, einen Beweis brauchst du natuerlich schon 
> Müsste ich nicht eigentlich erst eine Matrix zu dieser
> Abbildung finden und anhand derer zeigen, dass kein Polynom
> existiert in welches diese Matrix dann eingesetzt werden
> könnte um selbige zu annulieren?
Nein.
> Denn Minimalpolynome
> wurden in meinem Erfahrungsschatz bis dato auch
> ausschließlich für Matrizen berechnet.
Es ist voellig egal ob du die Matrix zum Endomorphismus in das Polynom einsetzt, oder den Endomorphismus direkt. (Die Endomorphismenalgebra ist als $K$-Algebra isomorph zur Matrizenalgebra.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 21.05.2006 | | Autor: | el-Necro |
Folgendes ist mir als Beweis eingefallen:
Falls ein Minimalpolynom existierte, so müsste folgende Gleichung erfüllt sein:
[mm] M_{f}(f)=a_{0}+a_{1}*f^1+...+a_{n}*f^{n}=0 [/mm] (#)
Es gilt jedoch:
[mm] f^{k}(\summe_{k=0}^{n} a_{k}\cdot{} x^{k}) [/mm] = [mm] (\summe_{k=0}^{n} a_{k}\cdot{} x^{k})^{2*k}>0 [/mm] für [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k}\cdot{} x^{k} \not= [/mm] 0
Hieraus und aus [mm] dimV=\infty [/mm] folgt:
[mm] f^{k}\not=f^{k+z} [/mm] für [mm] z\in\IZ, z\not=0, z\ge-k
[/mm]
womit gezeigt ist, dass die Summanden des Minimalpolynomes paarweise verschiedene Grade haben müssten und sich somit auch nicht annulieren könnten.
(#) wäre also nur dann erfüllt, wenn [mm] M_{f} [/mm] das Nullpolynom wäre.
[mm] M_{f} [/mm] müsste jedoch das charakteristische Polynom teilen, was für das Nullpolynom nicht zutreffen kann.
Da also (#) nicht erfüllt sein kann, kann auch [mm] M_{f} [/mm] nicht existieren.
Falls dieser Beweis falsch wäre, so würde ich mir überlegen, ob ich zeigen könnte, dass eine zu f gehörende Matrix [mm] \infty [/mm] Eigenwerte haben müsste, also auch [mm] grad(CharPol_{f})=\infty [/mm] erfüllt sein müsste, was jedoch nicht sein kann, also das CharPol nicht existent sein kann weswegen wiederum das [mm] M_{f} [/mm] nicht existieren kann. Könnte dies von Erfolg gekrönt werden?
Grüße,
Arthur
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 So 21.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Arthur!
> Folgendes ist mir als Beweis eingefallen:
>
> Falls ein Minimalpolynom existierte, so müsste folgende
> Gleichung erfüllt sein:
>
> [mm]M_{f}(f)=a_{0}+a_{1}*f^1+...+a_{n}*f^{n}=0[/mm] (#)
>
> Es gilt jedoch:
>
> [mm]f^{k}(\summe_{k=0}^{n} a_{k}\cdot{} x^{k})[/mm] =
> [mm](\summe_{k=0}^{n} a_{k}\cdot{} x^{k})^{2*k}>0[/mm] für
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}\cdot{} x^{k} \not=[/mm] 0
Du benutzt hier $k$ doppelt! Aber abgesehen davon: Du meinst eher [mm] $2^k$ [/mm] und nicht $2 [mm] \cdot [/mm] k$, oder? Es ist ja z.B. [mm] $f^3(x) [/mm] = [mm] f^2(x^2) [/mm] = [mm] f(x^4) [/mm] = [mm] x^8$ [/mm] und nicht [mm] $f^3(x) [/mm] = [mm] x^6$...
[/mm]
> Hieraus und aus [mm]dimV=\infty[/mm] folgt:
>
> [mm]f^{k}\not=f^{k+z}[/mm] für [mm]z\in\IZ, z\not=0, z\ge-k[/mm]
Also dass die [mm] $\neq$ [/mm] sind bringt dir nicht allzu viel.
> womit gezeigt ist, dass die Summanden des Minimalpolynomes
> paarweise verschiedene Grade haben müssten und sich somit
> auch nicht annulieren könnten.
Nein, das folgt nicht aus [mm] $f^k \neq f^{k+z}$, [/mm] sondern schon aus dem davor.
Mach es dir doch etwas einfacher: Wenn [mm] $M_f(f) [/mm] = 0$ ist, so ist auch sicher [mm] $M_f(f)(x) [/mm] = [mm] M_f(x^2) [/mm] = 0$ (vorsicht, das erste ist eine Anwendung des Endomorphismus [mm] $M_f(f)$ [/mm] und das zweite das Einsetzen von [mm] $x^2$ [/mm] fuer $t$ im Polynomring $K[t]$, wobei [mm] $M_f \in [/mm] K[t]$), womit [mm] $M_f [/mm] = 0$ sein muss (da $x$ algebraisch unabhaengig ist ueber $K$).
> (#) wäre also nur dann erfüllt, wenn [mm]M_{f}[/mm] das Nullpolynom
> wäre.
Genau.
> [mm]M_{f}[/mm] müsste jedoch das charakteristische Polynom teilen,
> was für das Nullpolynom nicht zutreffen kann.
Was bitteschoen ist denn das charakteristische Polynom?! Es reicht doch schon voellig, dass [mm] $M_f [/mm] = 0$ ist, weil Minimalpolynome per Definition nicht $0$ sind!
> Falls dieser Beweis falsch wäre, so würde ich mir
> überlegen, ob ich zeigen könnte, dass eine zu f gehörende
> Matrix [mm]\infty[/mm] Eigenwerte haben müsste, also auch
> [mm]grad(CharPol_{f})=\infty[/mm] erfüllt sein müsste, was jedoch
> nicht sein kann, also das CharPol nicht existent sein kann
> weswegen wiederum das [mm]M_{f}[/mm] nicht existieren kann. Könnte
> dies von Erfolg gekrönt werden?
Dann brauchst du ein Resultat, dass dir sagt, dass ein Endomorphismus mit [mm] $\infty$ [/mm] verschiedenen Eigenwerten kein charakteristisches Polynom hat. (Und du musst immer noch definieren was hier ein charakteristisches Polynom eigentlich sein soll.)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 So 21.05.2006 | | Autor: | el-Necro |
Hallo Felix,
das CharPol habe ich deswegen miteinbezogen, da in der ursprünglichen Frage auch von einem Polynom (dem Minimalpolynom) welches =0 hat sein sollen die Rede war:
> Meint mein Proffesor damit, dass das Polynom nicht existiert? Oder nur das es gleich Null ist? (Das wäre ja relativ einfach.)
Das hat mich etwas verwirrt.
Aber mittlerweile hab ich's gecheckt. Vielen Dank für die Hilfe!
Grüße,
Arthur
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