Endomorphismus bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei $ V = [mm] M(2,\IR) [/mm] $ der Vektorraum der 2x2-Matrizen über [mm] \IR [/mm] und $ f:V [mm] \to [/mm] V, X [mm] \mapsto [/mm] X [mm] \circ [/mm] A - A [mm] \circ [/mm] X $ für $ A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 3 } [/mm] $
Zeige, dass f ein Endomorphismus ist und bestimme die Spur. |
Hi Matheraum,
Um den Endomorphismus zu bestimmen muss ich ja zeigen, dass gilt:
$ f(X [mm] \circ [/mm] Y) = f(X) [mm] \circ [/mm] f(Y) $ und $ [mm] f(\lambda \cdot [/mm] X) = [mm] \lambda \cdot [/mm] f(X) $ für $ X,Y [mm] \in M(2,\IR) [/mm] $.
Ich gehe hier davon aus, dass [mm] "\circ" [/mm] die Matrixmultiplikation bzw die Hintereinanderausführung zweier Funktionen bedeutet.
Ich habe nun angefangen, die erste Eigenschaft mit zwei allg. Matrizen $ X = [mm] \pmat{ x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 }, [/mm] Y = [mm] \pmat{ y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 } [/mm] $ zu beweisen, was ziemlich unübersichtlich wird.
Gibt es da eine einfachere Methode, evtl. eine andere Schreibweise?
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Hallo,
da A und X Matrizen sind, ist [mm] \circ [/mm] die Matrizenmultiplikation. Verwende zum Nachweis der Homomorphismuseigenschaften die Rechenregeln der Matrizenmultiplikation.
Gruß korbinian
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Di 20.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MatheStudi,
> Um den Endomorphismus zu bestimmen muss ich ja zeigen, dass
> gilt:
> [mm]f(X \circ Y) = f(X) \circ f(Y)[/mm] und [mm]f(\lambda \cdot X) = \lambda \cdot f(X)[/mm]
> für [mm]X,Y \in M(2,\IR) [/mm].
Das stimmt nicht ganz. Zu zeigen ist, wie du offenbar erkannt hast, die Linearität von f. Mit welcher Verknüpfung neben der skalaren Multiplikation ist denn V ein Vektorraum? Mit der Addition, nicht der Multiplikation von Matrizen. Also muss die erste der beiden Bedingungen
$f(X + Y) = f(X) + f(Y)$
statt
$f(X [mm] \circ [/mm] Y) = f(X) [mm] \circ [/mm] f(Y)$
lauten.
Viele Grüße
Tobias
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> Also muss die erste der beiden
> Bedingungen
>
> [mm]f(X + Y) = f(X) + f(Y)[/mm]
>
> statt
>
> [mm]f(X \circ Y) = f(X) \circ f(Y)[/mm]
>
> lauten.
>
> Viele Grüße
> Tobias
Hm, ja, dann geht das ganze auch viel besser. Danke Tobias.
$ f(X+Y) = (X+Y)A - A(X+Y) = XA + YA - AX - AY = XA - AX + YA - AY = f(X) + f(Y) $
$ [mm] f(\lambda \cdot [/mm] A) = [mm] \lambda \cdot [/mm] X [mm] \cdot [/mm] A - A [mm] \cdot \lambda \cdot [/mm] X = [mm] \lambda \cdot [/mm] (X [mm] \cdot [/mm] A - A [mm] \cdot [/mm] X) = [mm] \lambda \cdot [/mm] f(X) $
Nun zur Spur: Die Spur eines Endomorphismus f ist die Spur einer Darstellungsmatrix von f.
Also brauche ich zuerst eine Basis des Raumes der 2x2 Matrizen:
ich entschied mich für [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Nun muss ich doch aus den Bildern der Basisvektoren unter f eine Matrix zusammenstellen (gäbe dann eine 4x4 Matrix, oder?) und dann deren Spur bestimmen.
Ist das richtig?
Ciao
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Do 22.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Also muss die erste der beiden
> > Bedingungen
> >
> > [mm]f(X + Y) = f(X) + f(Y)[/mm]
> >
> > statt
> >
> > [mm]f(X \circ Y) = f(X) \circ f(Y)[/mm]
> >
> > lauten.
> >
> > Viele Grüße
> > Tobias
>
> Hm, ja, dann geht das ganze auch viel besser. Danke
> Tobias.
>
> [mm]f(X+Y) = (X+Y)A - A(X+Y) = XA + YA - AX - AY = XA - AX + YA - AY = f(X) + f(Y)[/mm]
> [mm]f(\lambda \cdot A) = \lambda \cdot X \cdot A - A \cdot \lambda \cdot X = \lambda \cdot (X \cdot A - A \cdot X) = \lambda \cdot f(X)[/mm]
>
> Nun zur Spur: Die Spur eines Endomorphismus f ist die Spur
> einer Darstellungsmatrix von f.
> Also brauche ich zuerst eine Basis des Raumes der 2x2
> Matrizen:
> ich entschied mich für [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] , [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> , [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm] , [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }.[/mm]
>
> Nun muss ich doch aus den Bilder der Basisvektoren unter f
> eine Matrix zusammenstellen (gäbe dann eine 4x4 Matrix,
> oder?) und dann deren Spur bestimmen.
> Ist das richtig?
Ja
FRED
>
>
> Ciao
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Ok, ich hab also hier raus:
$ [mm] f(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] , [mm] f(\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] $
$ [mm] f(\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }) [/mm] = [mm] \pmat{ -2 & 0 \\ -2 & 2 } [/mm] , [mm] f(\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }) [/mm] = [mm] \pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] M_f [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 0} [/mm] $ , Spur wäre hier also -2.
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