www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Stochastik" - Englischer Aufgabentext
Englischer Aufgabentext < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Englischer Aufgabentext: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 Fr 04.11.2011
Autor: kamaleonti

Hallo,

Ich habe gerade angefangen mich durch "Probability" von A. N. Shiryayev durchzuarbeiten. Vor mir liegt die englische Version des Buchs und dort steht die folgende
Aufgabe
2.5
Let [mm] A_1,\ldots,A_n [/mm] be events, and define [mm] S_0,S_1,\ldots, S_n [/mm] as follows: [mm] S_0=1, [/mm]

       [mm] S_r=\sum_{J_r}P(A_{k_1}\cap\ldots\cap A_{k_r}), \qquad $1\leq r\leq [/mm] n$,

where the sum is over the unordered subsets [mm] J_r=[k_1,\ldots,k_r] [/mm] of [mm] \{1,\ldots,n\}. [/mm]
Let [mm] B_m [/mm] be the event in which each of the events [mm] A_1,\ldots,A_n [/mm] occurs exactly m times.
Show that

      [mm] P(B_m)=\sum_{r=m}^n(-1)^{r-m}C_r^m S_r. [/mm]

In particular, for m=0

     [mm] P(B_0)=1-S_1+S_2-\ldots\pm S_n. [/mm]

[...]




Ich bin leider trotz längeren Überlegens nicht darauf gekommen, was genau das Ereignis [mm] B_m [/mm] sein soll. Was ist mit "Let [mm] B_m [/mm] be the event in which each of the events [mm] A_1,\ldots,A_n [/mm] occurs exactly m times." gemeint? Mein "Fachenglisch" ist noch nicht so gut ;-).

Für [mm] P(B_0) [/mm] steht dann ja die Siebformel da.

Bitte um Hilfe.

LG

        
Bezug
Englischer Aufgabentext: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 Fr 04.11.2011
Autor: reverend

Hallo kamaleonti,

>  2.5
>  Let [mm]A_1,\ldots,A_n[/mm] be events, and define [mm]S_0,S_1,\ldots, S_n[/mm]
> as follows: [mm]S_0=1,[/mm]
>  
> [mm]S_r=\sum_{J_r}P(A_{k_1}\cap\ldots\cap A_{k_r}), \qquad[/mm]  
> [mm]1\leq r\leq n[/mm],
>  
> where the sum is over the unordered subsets
> [mm]J_r=[k_1,\ldots,k_r][/mm] of [mm]\{1,\ldots,n\}.[/mm]
>  Let [mm]B_m[/mm] be the event in which each of the events
> [mm]A_1,\ldots,A_n[/mm] occurs exactly m times.
>  Show that
>  
> [mm]P(B_m)=\sum_{r=m}^n(-1)^{r-m}C_r^m S_r.[/mm]
>  
> In particular, for m=0
>  
> [mm]P(B_0)=1-S_1+S_2-\ldots\pm S_n.[/mm]
>  
> [...]
>  
>
> Ich bin leider trotz längeren Überlegens nicht darauf
> gekommen, was genau das Ereignis [mm]B_m[/mm] sein soll. Was ist mit
> "Let [mm]B_m[/mm] be the event in which each of the events
> [mm]A_1,\ldots,A_n[/mm] occurs exactly m times." gemeint? Mein
> "Fachenglisch" ist noch nicht so gut ;-).

Sei [mm] B_m [/mm] das Ereignis, bei dem jedes der Ereignisse [mm] A_1,\cdots,A_n [/mm] genau m mal vorkommt.
Das ist in der Tat ein bisschen unverständlich, weil hier m*n Ereignisse zu einem zusammengefasst werden, ungeachtet ihrer Reihenfolge.

> Für [mm]P(B_0)[/mm] steht dann ja die Siebformel da.

Das sieht ja auch plausibel aus. Durchdacht hab ichs aber nicht.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Englischer Aufgabentext: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:57 Fr 04.11.2011
Autor: kamaleonti

Hallo reverend,

danke zunächst für deine Antwort.

> Sei [mm]B_m[/mm] das Ereignis, bei dem jedes der Ereignisse
> [mm]A_1,\cdots,A_n[/mm] genau m mal vorkommt.
>  Das ist in der Tat ein bisschen unverständlich, weil hier
> m*n Ereignisse zu einem zusammengefasst werden, ungeachtet
> ihrer Reihenfolge.

So 100% verstanden habe ich es immer noch nicht.
Sähe [mm] B_2 [/mm] für [mm] A_1,A_2,A_3 [/mm] zum Beispiel so aus:

   [mm] B_2=A_1A_2\cup A_1A_3\cup A_2A_3 [/mm] ?

Das ist die Vereinigung aller Schnitte von je zwei (=m) verschiedenen Ereignissen [mm] A_i. [/mm] Das passt irgendwie nicht, denn wenn die Vermutung mit der Siebformel stimmt, sollte doch eigentlich

   [mm] B_0=A_1\cup A_2\cup A_3 [/mm]

sein. Dieses Ereignis würde ich dann aber eher mit [mm] B_1 [/mm] bezeichnen... Ideen?

LG

Bezug
                        
Bezug
Englischer Aufgabentext: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:28 Fr 04.11.2011
Autor: reverend

Hallo kamaleonti,

wie gesagt, es ist auch im Englischen etwas kraus. Ich verstehe das so:

>  > Sei [mm]B_m[/mm] das Ereignis, bei dem jedes der Ereignisse

> > [mm]A_1,\cdots,A_n[/mm] genau m mal vorkommt.
>  >  Das ist in der Tat ein bisschen unverständlich, weil
> hier
> > m*n Ereignisse zu einem zusammengefasst werden, ungeachtet
> > ihrer Reihenfolge.

>

>  So 100% verstanden habe ich es immer noch nicht.
>  Sähe [mm]B_2[/mm] für [mm]A_1,A_2,A_3[/mm] zum Beispiel so aus:
>  
> [mm]B_2=A_1A_2\cup A_1A_3\cup A_2A_3[/mm] ?

Nein, jedes Ereignis soll zweimal vorkommen, also [mm] B_2=\bigcup \pi(A_1A_1A_2A_2A_3A_3)=\cdots [/mm]

[mm] \cdots=A_1A_1A_2A_2A_3A_3\cup A_1A_1A_2A_3A_2A_3\cup A_1A_1A_2A_3A_3A_2\cup A_1A_1A_3A_2A_2A_3\cup \cdots [/mm]

Es gibt 90 mögliche Anordnungen für [mm] B_2. [/mm] Für [mm] B_3 [/mm] sind es schon 1680, allgemein [mm] |B_n|=\vektor{3n\\n}*\vektor{2n\\n}=\bruch{(3n)!}{(n!)^3} [/mm] Anordnungen schon bei nur drei Ereignissen [mm] A_i. [/mm]

Bei m Ereignissen sind es dann natürlich [mm] |B_n|=\bruch{(mn)!}{(n!)^m} [/mm] Möglichkeiten.

> Das ist die Vereinigung aller Schnitte von je zwei (=m)
> verschiedenen Ereignissen [mm]A_i.[/mm] Das passt irgendwie nicht,
> denn wenn die Vermutung mit der Siebformel stimmt, sollte
> doch eigentlich
>  
> [mm]B_0=A_1\cup A_2\cup A_3[/mm]
>  
> sein. Dieses Ereignis würde ich dann aber eher mit [mm]B_1[/mm]
> bezeichnen... Ideen?

[mm] B_1=A_1A_2A_3\cup A_1A_3A_2\cup A_2A_1A_3\cup A_2A_3A_1\cup A_3A_1A_2\cup A_3A_2A_1 [/mm]

Einfacher wirds natürlich, wenn die Reihenfolge der A-Ereignisse bedeutungslos ist, aber dazu sagt die "Aufgabe" nichts.

Grüße
reverend

>  
> LG


Bezug
                                
Bezug
Englischer Aufgabentext: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 So 06.11.2011
Autor: kamaleonti

Hallo reverend,

> Nein, jedes Ereignis soll zweimal vorkommen, also
> [mm]B_2=\bigcup \pi(A_1A_1A_2A_2A_3A_3)=\cdots[/mm]
>  
> [mm]\cdots=A_1A_1A_2A_2A_3A_3\cup A_1A_1A_2A_3A_2A_3\cup A_1A_1A_2A_3A_3A_2\cup A_1A_1A_3A_2A_2A_3\cup \cdots[/mm]
>  
> Es gibt 90 mögliche Anordnungen für [mm]B_2.[/mm] Für [mm]B_3[/mm] sind es schon 1680, allgemein
> [mm]|B_n|=\vektor{3n\\n}*\vektor{2n\\n}=\bruch{(3n)!}{(n!)^3}[/mm]
> Anordnungen schon bei nur drei Ereignissen [mm]A_i.[/mm]

Hm... also sowas habe ich noch nicht bei einem einfachen Zufallsexperiment gesehen. Ich kann z.B. mit dem Ereignis [mm] A_1A_1A_2A_2A_3A_3 [/mm] nichts anfangen, wenn es etwa von [mm] A_1A_2A_1A_2A_3A_3 [/mm] verschieden ist. Für mich sind Ereignisse Teilmengen einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] und da wäre eben

   [mm] A_1A_1A_2A_2A_3A_3=A_1A_2A_1A_2A_3A_3=A_1A_2A_3. [/mm]

Ich weiß also noch nicht wirklich, wohin ich mich hier bewege.

>  
> Bei m Ereignissen sind es dann natürlich
> [mm]|B_n|=\bruch{(mn)!}{(n!)^m}[/mm] Möglichkeiten.
>  
> > Das ist die Vereinigung aller Schnitte von je zwei (=m)
> > verschiedenen Ereignissen [mm]A_i.[/mm] Das passt irgendwie nicht,
> > denn wenn die Vermutung mit der Siebformel stimmt, sollte
> > doch eigentlich
>  >  
> > [mm]B_0=A_1\cup A_2\cup A_3[/mm]
>  >  
> > sein. Dieses Ereignis würde ich dann aber eher mit [mm]B_1[/mm]
> > bezeichnen... Ideen?
>  
> [mm]B_1=A_1A_2A_3\cup A_1A_3A_2\cup A_2A_1A_3\cup A_2A_3A_1\cup A_3A_1A_2\cup A_3A_2A_1[/mm]
>  
> Einfacher wirds natürlich, wenn die Reihenfolge der
> A-Ereignisse bedeutungslos ist, aber dazu sagt die
> "Aufgabe" nichts.

In dem Buch wurde bis dahin auch noch nichts vergleichbares behandelt.
Ich habe die Aufgabe jetzt einfach übersprungen, der Rest war alles klar:
Den Shiryayev möchte ich jedenfalls etwas gründlicher lesen, da ich mich (erst kürzlich) dazu entschlossen habe, Stochastik zu vertiefen.

LG

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de