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| Aufgabe | Aufgabe:
Entwickeln Sie [mm] \integral_{0}^{1}{(1-X²/2-cos(x))/x⁴ dx} [/mm] in eine Potenzreihe und bestimmen sie den Wert des Integrals.
Lösung:
Es handelt sich um eine gekürzte und verschobene Kosinusreihe
[mm] (1-X²/2-cos(x))/x⁴=....=-x⁴*[\summe_{n=2}^{\infty} [/mm] ((-1)^(n)*x^(2n))/(2n)!]=
[mm] =[\summe_{n=0}^{\infty} [/mm] ((-1)^(n+1)*x^(2n))/(2n+4)!]=1/(4!)+1/(6!)*x²-1/(8!)*x⁴+..... |
1. An welcher Stelle wurde die Potenzreihe entwickelt?
2 Ich habe den Eindruck, dass die Stelle f(0)=0/0 > nicht definiert ist, ist dann eine Potenzreihenentwicklung um diese Stelle herum noch möglich?
3. Die Reihenentwicklung für [mm] cos(x)=[\summe_{n=0}^{\infty} [/mm] ((-1)^(n)*x^(2n))/(2n)!] ist mir bekannt, doch wie hat man hier genau umgestellt?
4. Gibt es alternative Lösungsmöglichkeiten vielleicht durch das direkte erstellen einer Taylorreihe?
Vielen Dank,
Dittsche 45
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dittsche 45
es wäre sehr hilfreich, wenn du dir die Mühe geben
würdest, die Eingabehilfen zu verwenden, damit die
Ausdrücke überschaubar und leserlich werden !
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 So 24.04.2011 | | Autor: | Dittsche45 |
Ok, hier nochmal die Aufgabenstellung.
Aufgabe:
Entwickeln Sie $ [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{(1-0,5*X²-cos(x))}{x^{4}} dx} [/mm] $ in eine Potenzreihe und bestimmen sie den Wert des Integrals.
Lösung:
Es handelt sich um eine gekürzte und verschobene Kosinusreihe
$ [mm] \bruch{(1-0,5*X²-cos(x))}{x^{4}}=....=-x^{-4}\cdot{}[\summe_{n=2}^{\infty} [/mm] $ [mm] \bruch{((-1)^{n}*x^{2n})}{(2n)!}]=
[/mm]
$ [mm] =[\summe_{n=0}^{\infty} [/mm] $ [mm] \bruch{((-1)^{n+1}*x^{2n})}{(2n+4)!}]=1/(4!)+1/(6!)*x²-1/(8!)*x^{4}+..... [/mm]
Viele Grüße,
Dittsche 45
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 So 24.04.2011 | | Autor: | leduart |
die Fkt in dem integral ist bei 0 nicht definierrt, aber man kann sie durch den GW stetig ergänzen, also das integral existiert.
2. da du die cos Reihe um x=0 benutzt wird um x=0 entwickelt.
man hat nicht wirklich umgestellt, schreib einfach die ersten paar Glieder ohne Summenzeichen hin zieh dann von [mm] 1-x^2/2 [/mm] ab und schreib erst dann wieder die Summe. dann siehst du es selbst.
gruss leduart
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Beim plotten ist mir jetzt auch bewusst geworden, dass es sich um eine Definitionslücke handelt. Darüber hinaus muss die Entwicklungsstelle auch bei x=0 liegen, da die Lösung sonst andere Werte angenommen hätte.
Jedoch ist mir noch nicht ganz klar, wie ich diese Stelle ergänzen muss, damit ich weiterrechenen kann?
Vielen Dank,
Dittsche 45
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 So 24.04.2011 | | Autor: | Dittsche45 |
Ich habe jetzt mal versuch den GW zu berechnen und habe für [mm] \limes_{x\rightarrow\0} =\infty
[/mm]
kann das simmen? Oder liegt hier schon mein Fehler?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 So 24.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
den GW für x gegen 0 hast du doch mit 1/4! schon irgendwo stehen?
Gruss leduart
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