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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Do 28.04.2005 | | Autor: | mariposa |
Hallo,
ich soll folgende Determinanten ausrechnen:
a) 1 1 1 ...... 1
b1 a1 a1 ...... a1
b1 b2 a2 ...... a2
b3
............
............
b1 b2 b3 ....bn an
b) a1+b1 b2 b3 ............... bn
b1 a2+b2 b3 ............... bn
b1 b2 a3+b3 b4 .......... bn
......... b3 .....................
.............................................
b1 b2 b3 b4 ......... an+bn
Ich habe bei der ersten Determinante die letzte Zeile von den anderen Zeilen abgezogen. So bekomme ich aber keine Dreiecksmatrix hin, weil ich sowohl in der ersten als auch in der letzten Zeile in der ersten Spalte etwas stehen habe.
Bei der zweiten determinante habe ich die letzte Zeile von der vorletzten, die vorletzte von der drittletzten usw. abgezogen und bin auf dasselbe Problem gestoßen wie bei a
Vielen Dank für eure Hilfe
Mariposa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Maike!
> ich soll folgende Determinanten ausrechnen:
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> a) 1 1 1 ...... 1
> b1 a1 a1 ...... a1
> b1 b2 a2 ...... a2
> b3
> ............
> ............
> b1 b2 b3 ....bn an
>
> b) a1+b1 b2 b3 ............... bn
> b1 a2+b2 b3 ...............
> bn
> b1 b2 a3+b3 b4 ..........
> bn
> ......... b3 .....................
>
> .............................................
> b1 b2 b3 b4 .........
> an+bn
>
> Ich habe bei der ersten Determinante die letzte Zeile von
> den anderen Zeilen abgezogen. So bekomme ich aber keine
> Dreiecksmatrix hin, weil ich sowohl in der ersten als auch
> in der letzten Zeile in der ersten Spalte etwas stehen
> habe.
Bei der ersten würde ich versuchen, jede Zeile minus [mm] b_1-mal [/mm] die erste zu machen, dann hast du schon in der ersten Spalte schon mal überall außer in der ersten Zeile eine 0. Dann kannst du die zweite Zeile durch [mm] a_1-b_1 [/mm] teilen, damit du in dieser Zeile überall Einsen stehen hast (außer an der ersten Stelle, da steht eine 0! Und nun kannst du jede Zeile minus [mm] (b_2-b_1)-mal [/mm] die zweite nehmen, dann bekommst du auch in der zweiten Spalte überall Nullen (außer natürlich an der ersten und zweiten Stelle). Und so müsste das eigentlcih immer weiter gehen.
Evtl. kann man das auch mit Induktion zeigen.
> Bei der zweiten determinante habe ich die letzte Zeile von
> der vorletzten, die vorletzte von der drittletzten usw.
> abgezogen und bin auf dasselbe Problem gestoßen wie bei a
Sorry - hier fällt mir im Moment nichts zu ein...
Viele Grüße
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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Hallo.
Warum ziehst Du nicht bei der 2. Matrix von der j-ten Zeile die j+1-te Zeile ab [mm] ($j\in{2,...,n-1}$, [/mm] dann erhältst Du ziemlich unmittelbar eine Dreiecksmatrix, indem Du dann nämlich nach der Stelle entwickelst, wo Du noch was von 0 verschiedenes hast.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Do 28.04.2005 | | Autor: | mariposa |
Das habe ich versucht, aber dann habe ich sowohl in der ersten als auch in der letzten Zeile etwas von 0 verschiedenes stehen und von da an komme ich nicht weiter.
a1 -a2 0 0 .... 0
0 a2 -a3 0 .... 0
0 0 a3 -a4 .... 0
b1 b2 b3 b4 .... an+bn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Do 28.04.2005 | | Autor: | mariposa |
ich habe den Tip bekommen, dass man die erste Zeile von den übrigen abziehen muss und dann eine Fallunterscheidung machen muss, dass
1. [mm] aj\not=0 [/mm] für alle j oder
2. aj = 0 für ein j und man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass dieses aj a1 ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Hexe |
Ja die Idee hört sich doch sehr gut an damit ist der Fall [mm] a_1=0 [/mm] wohl auch geklärt also mal zu alle [mm] a_i\not=0 [/mm] . Dann muss ich halt nach einer Zeile mit 2 Werten antwickeln Ich würde nach der letzten Spalte entickeln dann bekomm ich [mm] (-1)^{n+1}b_n\vmat{a_1&a_2&0&...\\
a_1&0&a_3&...\\\vdots&0&\ddots&0\\a_1&0&...&a_{n-1}\\a_1&0&...&0}+a_n\vmat{a_1+b_1
&b_2&...&b_n\\a_1&a_2&0&...\\\vdots&0&\ddots&0\\a_1&0&...&a_n}
[/mm]
Die erste Matix hat als det [mm] a_1a_2*...*a_{n-1} [/mm] die zweite ist genau wie die ursprüngliche nur kleiner. Also bekommt man als gesamt Det: [mm] b_n*a_{n-1}...a_1-a_nb_{n-1}a_{n-2}...a_1+...+a_n...a_2b_1+a_n...a_1. [/mm] Dabei sind die letzten beiden Summanden Positiv davor sind die Vorzeichen alternierend
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