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| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm] $\operatorname{det}A$, [/mm] wobei [mm] $A=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 }$, [/mm] durch
(a) Entwicklung nach der ersten Zeile;
(b) Transformation auf unnormierte Zeilenstufenform.
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Hallo,
mit dem Über-Kreuz-Rechnen bei 2x2-Matrizen habe ich kein Problem. Wie macht man das aber bei einer 3x3-Matrix wie in Teilaufgabe (a)?
Ich denke, wenn ich lerne, [mm] $\operatorname{det}\pmat{ 3 & 4 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 }$ [/mm] zu berechnen, sollte ich in Zukunft keine Probleme mehr haben.
3*1*3=9, 4*2=8, 4*2=8
Müsste es dann nicht so heißen:
-1*1*1=-1, -4*4=-16, -2*2=-4
Wie kommen die auf die Zeile:
9+8+8-1-12-48 ?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
Musterlösung:
(a) Es gilt
[mm] $\operatorname{det}A=\operatorname{det}\pmat{ 3 & 4 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 }-2\operatorname{det}\pmat{ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 3 }+3\operatorname{det}\pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 1 & 3 }-4\operatorname{det}\pmat{ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 \\ 4 & 1 & 2 }$
[/mm]
$=(9+8+8-1-12-48)-2(6+32+6-4-36-8)+3(24+24+3-16-27-4)-4(16+12+12-64-2-18)$
$=-36-2*(-4)+3*4-4*(-44)=160$.
(b) Es gilt
[mm] $\operatorname{det}\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 }=\operatorname{det}\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -7 & -10 & -13 }=\operatorname{det}\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 36 }=\operatorname{det}\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 40 }=160$
[/mm]
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> Bestimmen Sie [mm]\operatorname{det}A[/mm], wobei [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 }[/mm],
> durch
>
> (a) Entwicklung nach der ersten Zeile;
> (b) Transformation auf unnormierte Zeilenstufenform.
>
> Hallo,
>
> mit dem Über-Kreuz-Rechnen bei 2x2-Matrizen habe ich kein
> Problem. Wie macht man das aber bei einer 3x3-Matrix wie in
> Teilaufgabe (a)?
>
> Ich denke, wenn ich lerne, [mm]\operatorname{det}\pmat{ 3 & 4 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 }[/mm]
> zu berechnen, sollte ich in Zukunft keine Probleme mehr
> haben.
Hallo,
3x3-Matrizen kannst Du nach der Regel von Sarrus berechnen - bestimmt hat da wikipedia eine Erklärung auf Lager. Lies da mal und frag nochmal, wenn Du's nicht verstehst.
>
> 3*1*3=9, [mm] 4*2*\red{1}=8, 4*2*\red{1}=8
[/mm]
>
> Müsste es dann nicht so heißen:
> -1*1*1=-1, [mm] -4*4*\red{3}=.., -2*2*\red{§}=-4
[/mm]
>
> Wie kommen die auf die Zeile:
> 9+8+8-1-12-48 ?
So, wie ich's Dir angedeutet habe.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
>
>
> Musterlösung:
>
> (a) Es gilt
>
> [mm]\operatorname{det}A=\operatorname{det}\pmat{ 3 & 4 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 }-2\operatorname{det}\pmat{ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 3 }+3\operatorname{det}\pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 1 & 3 }-4\operatorname{det}\pmat{ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 \\ 4 & 1 & 2 }[/mm]
>
> [mm]=(9+8+8-1-12-48)-2(6+32+6-4-36-8)+3(24+24+3-16-27-4)-4(16+12+12-64-2-18)[/mm]
>
> [mm]=-36-2*(-4)+3*4-4*(-44)=160[/mm].
>
>
> (b) Es gilt
>
> [mm]\operatorname{det}\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 }=\operatorname{det}\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -7 & -10 & -13 }=\operatorname{det}\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 36 }=\operatorname{det}\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 40 }=160[/mm]
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Vielen Dank, das Stichwort "Regel von Sarrus" und der Blick in die Formelsammlung haben vollkommen genügt.
(Ich hatte noch nie eine so schlechte Musterlösung wie in der Vorlesung "Lineare Algebra"; viele Fehler, keine Benennung von Zwischenschritten, häufig nur Ergebnisse.)
Bezüglich der Teilaufgabe (b):
Was bringt einem die unnormierte Zeilenstufenform?
Wurde hier mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren vorgegangen?
Gruß
el_grecco
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Hallo!
> Bezüglich der Teilaufgabe (b):
>
> Was bringt einem die unnormierte Zeilenstufenform?
Liegt eine Matrix in oberer Dreiecksgestalt vor (Zeilenstufenform bei quadratischen Matrizen),
so ist die Determinante dieser Matrix das Produkt der Diagonalelemente.
> Wurde hier mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren
> vorgegangen?
Genau.
Grüße,
Stefan
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Danke, Stefan.
Da ich in den Skripten nichts finden konnte:
Was ist eine quadratische Matrix?
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Da ich in den Skripten nichts finden konnte:
> Was ist eine quadratische Matrix?
Traust du dir keine Antwort zu?
Die Bezeichnung ist sehr intuitiv:
Eine Matrix ist quadratisch, wenn sie genauso viele Zeilen wie Spalten hat, also zum Beispiel
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
oder
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 }
[/mm]
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Mo 12.04.2010 | | Autor: | el_grecco |
Trivial. 
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:05 Di 13.04.2010 | | Autor: | el_grecco |
Morgen.
Zur (b) habe ich doch nochmal eine Frage, denn ich schaffe es einfach nicht, den Gauß-Jordan-Algorithmus so zu rechnen, dass ich auf die Werte der Musterlösung komme.
Kann mir jemand bitte erklären, wie hier vorgegangen wird?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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> (b) Es gilt
>
[mm] >\operatorname{det}\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 }=\operatorname{det}\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -7 & -10 & -13 }
[/mm]
Halle,
neue Zeile 2= alte Zeile 2 - 2*alte Zeile 1
neue Zeile 3= alte Zeile 3 - 3*alte Zeile 1
neue Zeile 4= alte Zeile 4 - 4*alte Zeile 1
> [mm] \operatorname{det}\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -7 & -10 & -13 }=\operatorname{det}\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 36 }
[/mm]
neue Zeile 3= alte Zeile 3 - 2*alte Zeile 2
neue Zeile 4= alte Zeile 4 - 7*alte Zeile 2
> [mm] =\operatorname{det}\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 36 }=\operatorname{det}\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 40 }=160
[/mm]
neue Zeile 4= alte Zeile 4 + alte Zeile 3.
Wenn man zu Zeilen Vielfach von anderen Zeilen addiert, ändert sich die Determinante nicht, und man muß hier nun nur die Diagonalelemente multiplizieren - eine angenehme Eigenschaft von Dreiecksmatrizen.
Gruß v. Angela
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Danke, Angela.
Wie erkenne ich, wann ich den Algorithmus beenden muss; wenn die Diagonale den im vorherigen Aufgabenteil berechneten Wert ergibt oder wenn die Nullen ein Dreieck bilden?
Schließlich könnte ja auch eine Aufgabe vorkommen, die keinen Aufgabenteil (a) beinhaltet und nur die unnormierte Zeilenstufenform fordert (?)...
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Di 13.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke, Angela.
>
> Wie erkenne ich, wann ich den Algorithmus beenden muss;
Wenn unterhalb der Hauptdiagonalen nur noch Nullen stehen
FRED
> wenn die Diagonale den im vorherigen Aufgabenteil
> berechneten Wert ergibt oder wenn die Nullen ein Dreieck
> bilden?
>
> Schließlich könnte ja auch eine Aufgabe vorkommen, die
> keinen Aufgabenteil (a) beinhaltet und nur die unnormierte
> Zeilenstufenform fordert (?)...
>
> Gruß
> el_grecco
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