www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Stetigkeit" - Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:55 Mo 18.03.2013
Autor: mbra771

Aufgabe
[mm] D=(0,\infty) [/mm]

Zeige bei [mm] f:D\rightarrow [/mm] R mit [mm] f(x)=\sqrt{x} [/mm] die Stetigkeit von f mit dem
[mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] -Kriterium.

Hallo,
hier meine Zweite Aufgabe um mit dem [mm] \delta -\epsilon [/mm] -Kriterium flüssiger umzugehen. Ich würde mich freuen, wenn noch mal jemand über die Aufgabe guckt und schreibt, ob das alles so ok ist.

Zudem hätte ich noch zwei Fragen:
1.
Das Äquivalenszeichen in der Abschätzung ist eventuell nicht die beste Lösung. Das schrieb steppenhahn schon bei der letzten Aufgabe.
Wie soll ich das besser ausdrücken?
2.
So wie ich das verstanden habe brauche ich doch meine Abschätzung nur [mm] \leq \varepsilon, [/mm] oder muss ich eche < [mm] \varepsilon [/mm] abschätzen?


Hier meine Lösung:
Sei x [mm] \epsilon \mathbb{D} [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] >0 beliebig.
Wähle [mm] \delta:=\varepsilon*\sqrt{x} [/mm] >0
Sei a [mm] \epsilon \mathbb{D} [/mm] mit [mm] \mid [/mm] x-a [mm] \mid <\delta [/mm] , dann gilt:

[mm] \left | f(x)-f(a) \right |=\left | \sqrt{x}-\sqrt{a} \right |=\left |\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a}))}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \right [/mm] |=

[mm] \frac{\left | x-a \right |}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq \frac{\delta}{\sqrt{x}}\leq \varepsilon \Leftrightarrow \delta \leq \varepsilon \sqrt{x} [/mm]

, was die Stetigkeit von f beweist.


        
Bezug
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Mo 18.03.2013
Autor: fred97


> [mm]D=(0,\infty)[/mm]
>
> Zeige bei [mm]f:D\rightarrow[/mm] R mit [mm]f(x)=\sqrt{x}[/mm] die Stetigkeit
> von f mit dem
> [mm]\epsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] -Kriterium.
>  Hallo,
>  hier meine Zweite Aufgabe um mit dem [mm]\delta -\epsilon[/mm]
> -Kriterium flüssiger umzugehen. Ich würde mich freuen,
> wenn noch mal jemand über die Aufgabe guckt und schreibt,
> ob das alles so ok ist.
>  
> Zudem hätte ich noch zwei Fragen:
>  1.
>  Das Äquivalenszeichen in der Abschätzung ist eventuell
> nicht die beste Lösung.

Was meinst Du damit ?

>  Das schrieb steppenhahn schon bei
> der letzten Aufgabe.
> Wie soll ich das besser ausdrücken?
> 2.
> So wie ich das verstanden habe brauche ich doch meine
> Abschätzung nur [mm]\leq \varepsilon,[/mm] oder muss ich eche <
> [mm]\varepsilon[/mm] abschätzen?

Ob  < [mm] \varepsilon [/mm] oder  [mm]\leq \varepsilon,[/mm] ist Wurscht.


>  
>
> Hier meine Lösung:
>  Sei x [mm]\epsilon \mathbb{D}[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] >0 beliebig.
>  Wähle [mm]\delta:=\varepsilon*\sqrt{x}[/mm] >0
>  Sei a [mm]\epsilon \mathbb{D}[/mm] mit [mm]\mid[/mm] x-a [mm]\mid <\delta[/mm] , dann
> gilt:
>  
> [mm]\left | f(x)-f(a) \right |=\left | \sqrt{x}-\sqrt{a} \right |=\left |\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a}))}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \right[/mm]
> |=
>  
> [mm]\frac{\left | x-a \right |}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq \frac{\delta}{\sqrt{x}}\leq \varepsilon \Leftrightarrow \delta \leq \varepsilon \sqrt{x}[/mm]
>  
> , was die Stetigkeit von f beweist.

Ja, alles korrekt.


FRED

>  


Bezug
                
Bezug
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Mo 18.03.2013
Autor: mbra771

ich meinte dieses:

[mm] \frac{\left | x-a \right |}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq \frac{\delta}{\sqrt{x}}\leq \varepsilon {\color{Red}\Leftrightarrow }\delta \leq \varepsilon \sqrt{x} [/mm]

Äquivalentzeichen.

Also die Umstellung zum [mm] \delta [/mm]

Wenn das aber so ok ist, dann ist mir das sehr sympatisch.
PS: Wurscht ist gut ;-)  
DANKE

Bezug
                        
Bezug
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Mo 18.03.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> ich meinte dieses:
>
> [mm]\frac{\left | x-a \right |}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq \frac{\delta}{\sqrt{x}}\leq \varepsilon {\color{Red}\Leftrightarrow }\delta \leq \varepsilon \sqrt{x}[/mm]
>  
> Äquivalentzeichen.
>  
> Also die Umstellung zum [mm]\delta[/mm]


Es ist mathematisch völlig OK so. Jeder weiß, was gemeint ist. Ob man das so schreibt oder nicht, ist eher eine ästhetisches Frage.


Ich kann dir aber sagen, warum ich es nicht so schreiben würde:
Ein Äquivalenzzeichen verbindet zwei Aussagen miteinander. Du möchtest hier ja nur die Aussage [mm] $\frac{\delta}{\sqrt{x}} \le \varepsilon$ [/mm] mit der Aussage [mm] $\delta \le \varepsilon \sqrt{x}$ [/mm] verknüpfen.
Dies wird aber durch obigen Aufschrieb nicht klar, weil ja links neben [mm] $\frac{\delta}{\sqrt{x}} \le \varepsilon$ [/mm] noch die ganze Ungleichungskette dranklebt.

Außerdem finde ich es schöner, wenn am Ende direkt die Aussage bewiesen wurde und nicht die Äquivalenz zu einer wahren Aussage gezeigt wird.

Ich würde es eher so schreiben:

[mm] $\frac{\delta}{\sqrt{x}} \overset{\delta \le \varepsilon \sqrt{x} \mbox{nach Voraussetzung}}{\le} \varepsilon$. [/mm]

Viele Grüße,
Stefan



Bezug
                                
Bezug
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 Mo 18.03.2013
Autor: mbra771

...
>  Ein Äquivalenzzeichen verbindet zwei Aussagen
> miteinander. Du möchtest hier ja nur die Aussage
> [mm]\frac{\delta}{\sqrt{x}} \le \varepsilon[/mm] mit der Aussage
> [mm]\delta \le \varepsilon \sqrt{x}[/mm] verknüpfen.
>  Dies wird aber durch obigen Aufschrieb nicht klar, weil ja
> links neben [mm]\frac{\delta}{\sqrt{x}} \le \varepsilon[/mm] noch
> die ganze Ungleichungskette dranklebt.

Ja, das ist dann auch sehr unübersichtlich und stört mich auch.

>  
> Außerdem finde ich es schöner, wenn am Ende direkt die
> Aussage bewiesen wurde und nicht die Äquivalenz zu einer
> wahren Aussage gezeigt wird.
>  
> Ich würde es eher so schreiben:
>  
> [mm]\frac{\delta}{\sqrt{x}} \overset{\delta \le \varepsilon \sqrt{x} \mbox{nach Voraussetzung}}{\le} \varepsilon[/mm].
>  
> Viele Grüße,
>  Stefan
>  
>  

Hallo Stafan,
bitte entschuldige daß ich jetzt noch mal nachfragen muß, aber bei mir wird deine Antwort nicht richtig dargestellt.
(... und wer nicht fragt bleibt dumm ;-) )
Meintest du das so:?

[mm] Ungleichungskette...\frac{\delta}{\sqrt{x}}\leq \varepsilon [/mm]

somit ist [mm] \delta \leq \varepsilon \sqrt{x} [/mm] nach Voraussetzung, was die Stetigkeit von f zeigt.


Ich muß sagen, die Formulierung fällt mir teilweise schwerer als die eigentlichen Umforumgen.
Vielen dank für die Arbeit die du dir machst.
Grüße,
Micha

Bezug
        
Bezug
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Mo 18.03.2013
Autor: schachuzipus

Hallo,

mir gefällt der Beweis so nicht, auch wenn die Idee schon richtig ist.

Das [mm]\delta[/mm] hängt bei dir von der Variablen [mm]x[/mm] ab, das darf doch nicht sein.

Du solltest im Nenner nicht gegen [mm] $\sqrt [/mm] x$, sondern gegen [mm]\sqrt a[/mm] abschätzen und [mm]\delta:=\varepsilon\cdot{}\red{\sqrt a}[/mm] wählen (oder kleiner) ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:54 Mo 18.03.2013
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> mir gefällt der Beweis so nicht, auch wenn die Idee schon
> richtig ist.
>  
> Das [mm]\delta[/mm] hängt bei dir von der Variablen [mm]x[/mm] ab, das darf
> doch nicht sein.

Hallo schachuzipus,

Die Funktion f wird an der Stelle x auf Stetigkeit untersucht, nicht in a !

FRED

>  
> Du solltest im Nenner nicht gegen [mm]\sqrt x[/mm], sondern gegen
> [mm]\sqrt a[/mm] abschätzen und
> [mm]\delta:=\varepsilon\cdot{}\red{\sqrt a}[/mm] wählen (oder
> kleiner) ...
>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  


Bezug
                        
Bezug
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:56 Mo 18.03.2013
Autor: schachuzipus

Hallo,

ich glaube, da hat sich der Aufgabensteller beim Beweisanfang verschrieben oder absichtlich für starke Irritation gesorgt.

Immerhin heißt die Funktio [mm] $f(\red x)=\sqrt [/mm] x$ und nicht [mm] $f(a)=\sqrt [/mm] a$

Ich bleibe dabei, dass das Kuddelmuddel ist ;-)

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Mo 18.03.2013
Autor: mbra771

UPS, Ja, da ist dem Aufgabensteller echt ein kuddelmuddel unterlaufen.
War aber keine Absicht...

... muss natürlich abgeschätzt werden in $ [mm] \delta:=\varepsilon\cdot{}\sqrt [/mm] a $


Dann muss ich das Letzte Aufgabe  
hier auch ändern?

Grüße,
Micha

Bezug
                                        
Bezug
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 Mo 18.03.2013
Autor: mbra771

Tschuldigung,
ich bin gerade total verwirrt. Eigentlich dachte ich, ich hätte die Zusammenhänge langsam verstanden,
jetzt holt mich gerade der Matheteufel ;-(


Wenn ich f auf Stetigkeit in x untersuche dann darf doch mein [mm] \delta [/mm] von [mm] \varepsilon [/mm] und von x abhängen, oder?

a kommt doch aus der [mm] \delta [/mm] Umgebung von x oder?

Bezug
                                                
Bezug
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Mo 18.03.2013
Autor: leduart

hallo
Lass dich nicht irritieren, dein Beweis ist richtig. die fkt hat nur kein von x unabhängiges [mm] \delta, [/mm] ist also nicht gleichmäßog stetig.
Grus leduart

Bezug
                                        
Bezug
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Mo 18.03.2013
Autor: leduart

Hallo
nein lass die Abj. vpn x stehen!
Griss leduart

Bezug
                                                
Bezug
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Mo 18.03.2013
Autor: mbra771

Ich hab mir noch mal die Def des [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta- [/mm] Kriterium angesehen.

hier wird die Stetigkeit in a überprüft und x ergibt sich aus der Umgebung zu a.

Ich hatte das verdreht gemacht. Das kann die Verwirrung hervorgerufen haben. Aber Fakt ist doch, daß ich mein [mm] \delta [/mm] in Abhängigkeit des [mm] \varepsilon [/mm] und des Punktes, in dem ich die Stetigkeit untersuchen soll, abschätzen soll. Oder?

Schreibt mal bitte ob das so stimmt, damit ich den Kopf frei bekomme ;-)

Danke



Bezug
                                                        
Bezug
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Mo 18.03.2013
Autor: leduart

Hallo
ja [mm] \delta [/mm] h#ngt von [mm] \epsilon [/mm] und der Stelle ab, an der man die Stetigkeit zeigt-
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Epsilon-Delta Kr. Aufgabe 2: Kuddelmuddel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:49 Di 19.03.2013
Autor: HJKweseleit

Grundsätzlich musst du beim [mm] \epsilon-\delta-Beweis [/mm] einen Punkt "beliebig, aber fest", den anderen Variabel wählen. Welcher a und welcher x heißt, bleibt dir überlassen, aber meistens wählt man a fest und x variabel.

Falls du dies ebenso wählst, darf [mm] \delta [/mm] nur von [mm] \epsilon [/mm] und a abhängen, nicht von x.



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de