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Epsilon-Delta Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:35 So 09.12.2018
Autor: meister_quitte

Aufgabe
Zeigen Sie mittels des [mm] $\epsilon [/mm] - [mm] \delta-\$Kriteriums [/mm] für die Stetigkeit, dass die folgenden Funktionen stetig sind:

a) $ [mm] f:\IR\to\IR, f\left( x \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{1+x^2}$ [/mm]

b) $ [mm] f:\IR\to\IR, f\left( x \right) [/mm] = [mm] x^4$ [/mm]

Moin Moin Freunde der Mathematik,

diesmal hänge ich am Epsilon-Delta-Krtiterium für stetige Funktionen. Mir fehlt einfach das Gespür für Abschätzungen. Ich habe schon mal etwas gerechnet. Vielen Dank schon mal für eure Engagement.

Mein Ansatz:

[mm] $|x^4-x_0^4|=|\left( x^2-x_0^2 \right) \left( x^2+x_0^2 \right)|=|\left( x-x_0 \right)\left( x+x_0 \right) \left( x^2+x^2_0 \right)|\le\delta \left( x+x_0 \right) \left( x^2+x^2_0 \right)$ [/mm]

Liebe Grüße

Christoph

        
Bezug
Epsilon-Delta Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 So 09.12.2018
Autor: leduart

Jetzt wähle ein vorläufiges [mm] \delta, [/mm] z.B. 0,5 und ersetze dadurch deine Ausdrücke, am Ende dann das Min von [mm] \delta(\epsilon [/mm] und dem vorläufigen.
Gru0 leduart

Bezug
                
Bezug
Epsilon-Delta Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 So 09.12.2018
Autor: meister_quitte

Hallo leduart,

leider verstehe ich deinen Ansatz nicht ganz. Ich verstehe, dass ich Delta 0,5 wählen kann, da Delta größer null ist. Aber in welchen Ausdrücken darf ich das noch?

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                        
Bezug
Epsilon-Delta Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 So 09.12.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> leider verstehe ich deinen Ansatz nicht ganz. Ich verstehe,
> dass ich Delta 0,5 wählen kann, da Delta größer null
> ist. Aber in welchen Ausdrücken darf ich das noch?

[mm] \delta [/mm] fix zu wählen ist bei den meisten Funktionen nicht wirklich zielführend…
Was man meistens annehmen kann/darf/muss ist, dass [mm] \delta [/mm] kleiner als eine bestimmte Zahl, z.B. 0.5 ist.
Da man nur ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ finden muss, ist das aber keine Einschränkung.

Nun zu deiner Aufgabe:
Vorweg: Dein Ansatz ist ok und zielführend!

1.) Als erstes machst du einen kleinen, aber u.U. entscheidenden Fehler:

> $ [mm] |x^4-x_0^4|=|\left( x^2-x_0^2 \right) \left( x^2+x_0^2 \right)|=|\left( x-x_0 \right)\left( x+x_0 \right) \left( x^2+x^2_0 \right)|\le\delta \left( x+x_0 \right) \left( x^2+x^2_0 \right) [/mm] $

Im letzten Schritt lässt du die Betragsstriche weg, was im Allgemeinen falsch ist.
Es könnte [mm] $\left( x+x_0 \right) [/mm] < 0$ gelten.

2.) Bedenke, dass dein [mm] $\delta$ [/mm] durchaus auch von [mm] $x_0$ [/mm] abhängen darf, d.h. wenn du
sowas hinbekommst wie

$|f(x) - f(y)| [mm] \le \delta g(x_0)$ [/mm] für irgendeinen Ausdruck [mm] $g(x_0)$, [/mm] dann bist du fertig (warum?)

3.) Bedenke weiterhin, dass für das vorkommende [mm] $x\in\IR$ [/mm] ja gilt $|x - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt.
Daraus kann man sich schöne weitere Abschätzungen "basteln". z.B.

i) [mm] $x_0 [/mm] - [mm] \delta [/mm] < x < [mm] x_0 [/mm] + [mm] \delta$ [/mm]
ii) $|x| = |x - [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_0| \le \delta [/mm] + [mm] |x_0|$ [/mm]
iii) $|x - [mm] x_0|^2 [/mm] < [mm] \delta^2$ [/mm]

Das liefert dir mögliche Abschätzungen für x und du kannst deinen Ausdruck weiter (nach oben) abschätzen:

$ [mm] |x^4-x_0^4|=\ldots \le\delta \left|x+x_0 \right| \left( x^2+x^2_0 \right) \le \delta \left(2|x_0| + \delta\right)(\delta^2 [/mm] + [mm] 2x_0^2 [/mm] + [mm] 2\delta |x_0|) \le [/mm] 4 [mm] \delta (|x_0| [/mm] + [mm] \delta)^3$ [/mm]

Für [mm] $x_0 [/mm] = 0$ ist damit:
$ [mm] |x^4-x_0^4| \le [/mm] 4 [mm] \delta^4$ [/mm]

Für [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] ist damit (bei geeigneter Wahl von [mm] $\delta$): [/mm]
$ [mm] |x^4-x_0^4| \le 32\delta |x_0|^3$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Epsilon-Delta Kriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 So 09.12.2018
Autor: meister_quitte

Hallo Gono,

vielen Dank dass hat geholfen.

Ein Schönes Restwochenende wünsche ich dir.

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
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