Epsilon-Delta Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Mo 22.04.2013 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x^2-1}{x^3-x}, & \mbox{für } |x|\not=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|=1 \end{cases}
[/mm]
Finden Sie zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 so, dass
[mm] f(U_\delta(1) \cap [/mm] D) [mm] \subseteq U_\epsilon(f(1)) [/mm] |
Hallo,
ich quäle mich gerade mit einem, für mich, etwas leidigem Thema: Epsilon-Delta Kriterium.
Mein Ansatz ist folgender:
Wenn ich die etwas verwirrende Formulierung der Aufgabe richtig deute, dann ist hier verlangt, dass
[mm] |x-1|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(1)|<\epsilon
[/mm]
Nun verstehe ich nicht so ganz wozu das ganze. Meine Funktion ist ja für |x|=1 als 1 definiert. Natürlich hat [mm] \bruch{x^2-1}{x^3-x} [/mm] für |x|=1 eine Polstelle. Stetig ist sie dennoch, da f(1)=1 definiert wurde.
Wie gehe ich hier nun vor ? Gilt es
[mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{x^2-1}{x^3-x}=1 [/mm] zu prüfen ?
Somit wäre dann aber |f(x)-f(1)|=0 und somit nicht gültig, da [mm] \epsilon>0 [/mm] gelten muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Mo 22.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x^2-1}{x^3-x}, & \mbox{für } |x|\not=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|=1 \end{cases}[/mm]
Upps ! Und wie ist f in x=0 definiert ???? Hast Du alles richtig abgeschrieben ?
>
> Finden Sie zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 so, dass
> [mm]f(U_\delta(1) \cap[/mm] D) [mm]\subseteq U_\epsilon(f(1))[/mm]
> Hallo,
>
> ich quäle mich gerade mit einem, für mich, etwas leidigem
> Thema: Epsilon-Delta Kriterium.
>
> Mein Ansatz ist folgender:
>
> Wenn ich die etwas verwirrende Formulierung der Aufgabe
> richtig deute, dann ist hier verlangt, dass
> [mm]|x-1|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(1)|<\epsilon[/mm]
Ja, zu [mm] \epsilon [/mm] > 0 sollt Du ein [mm] \delta [/mm] bestimmen, so dass
[mm]|x-1|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(1)|<\epsilon[/mm]
> Nun
> verstehe ich nicht so ganz wozu das ganze. Meine Funktion
> ist ja für |x|=1 als 1 definiert. Natürlich hat
> [mm]\bruch{x^2-1}{x^3-x}[/mm] für |x|=1 eine Polstelle.
nein, das ist nicht richtig !
Für |x| [mm] \ne [/mm] 1 und x [mm] \ne [/mm] 0 ist
[mm] \bruch{x^2-1}{x^3-x}= \bruch{x^2-1}{x)x^2-1)}= \bruch{1}{x}
[/mm]
> Stetig ist
> sie dennoch, da f(1)=1 definiert wurde.
Dass f in x=1 stetig ist sollst Du doch gerade zeigen !
?? Die
>
> Wie gehe ich hier nun vor ? Gilt es
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}\bruch{x^2-1}{x^3-x}=1[/mm] zu prüfen ?
Das stimmt.
> Somit wäre dann aber |f(x)-f(1)|=0 und somit nicht
> gültig, da [mm]\epsilon>0[/mm] gelten muss.
Verstehst Du diesen Satz ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Mo 22.04.2013 | | Autor: | BamPi |
> > [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x^2-1}{x^3-x}, & \mbox{für } |x|\not=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|=1 \end{cases}[/mm]
>
> Upps ! Und wie ist f in x=0 definiert ???? Hast Du alles
> richtig abgeschrieben ?
Ja, ich habe alles richtig abgeschrieben. Für x=0 ist die Funktion nicht definiert.
> > Wie gehe ich hier nun vor ? Gilt es
> > [mm]\limes_{x\rightarrow1}\bruch{x^2-1}{x^3-x}=1[/mm] zu prüfen
> ?
>
> Das stimmt.
>
>
> > Somit wäre dann aber |f(x)-f(1)|=0 und somit nicht
> > gültig, da [mm]\epsilon>0[/mm] gelten muss.
>
> Verstehst Du diesen Satz ?
>
> FRED
>
Nunja, wenn [mm] \limes_{x\rightarrow1}f(x)=1, [/mm] dann ist [mm] |\limes_{x\rightarrow1}f(x) [/mm] - 1| = 0 und genügt somit nicht dem Kriterium, dass [mm] \epsilon>0
[/mm]
Ich weis nicht wie ich hier auf ein [mm] \delta [/mm] kommen soll ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Mo 22.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x^2-1}{x^3-x}, & \mbox{für } |x|\not=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|=1 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Upps ! Und wie ist f in x=0 definiert ???? Hast Du alles
> > richtig abgeschrieben ?
>
> Ja, ich habe alles richtig abgeschrieben. Für x=0 ist die
> Funktion nicht definiert.
Sieht oben aber so nicht aus !
>
> > > Wie gehe ich hier nun vor ? Gilt es
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow1}\bruch{x^2-1}{x^3-x}=1[/mm] zu
> prüfen
> > ?
> >
> > Das stimmt.
> >
> >
> > > Somit wäre dann aber |f(x)-f(1)|=0 und somit nicht
> > > gültig, da [mm]\epsilon>0[/mm] gelten muss.
> >
> > Verstehst Du diesen Satz ?
> >
> > FRED
> >
>
> Nunja, wenn [mm]\limes_{x\rightarrow1}f(x)=1,[/mm] dann ist
> [mm]|\limes_{x\rightarrow1}f(x)[/mm] - 1| = 0 und genügt somit
> nicht dem Kriterium, dass [mm]\epsilon>0[/mm]
>
> Ich weis nicht wie ich hier auf ein [mm]\delta[/mm] kommen soll ?
Wir geben mal [mm] \epsilon [/mm] vor. Stetigkeit ist in x=1 zu untersuchen, also können wir von Anfang an, von x>1/2 ausgehen .
Ist dann x>1/2 und x [mm] \ne [/mm] 1, so ist
$ |f(x)-f(1)|=| [mm] \bruch{1}{x} [/mm] -1|= [mm] \bruch{|x-1|}{x} \le [/mm] 2|x-1|$
Wie kannst Du nun [mm] \delta [/mm] (in Abhängigkeit von [mm] \epsilon) [/mm] wählen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Mo 22.04.2013 | | Autor: | BamPi |
> Wir geben mal [mm]\epsilon[/mm] vor. Stetigkeit ist in x=1 zu
> untersuchen, also können wir von Anfang an, von x>1/2
> ausgehen .
>
> Ist dann x>1/2 und x [mm]\ne[/mm] 1, so ist
>
> [mm]|f(x)-f(1)|=| \bruch{1}{x} -1|= \bruch{|x-1|}{x} \le 2|x-1|[/mm]
>
> Wie kannst Du nun [mm]\delta[/mm] (in Abhängigkeit von [mm]\epsilon)[/mm]
> wählen ?
>
> FRED
>
Kurze Zwischenfrage: Ich sehe gerade nicht wo das 2|x-1| herkommt ? Ist das einfach ein beliebig angenommenes [mm] \epsilon [/mm] für das gilt [mm] \bruch{|x-1|}{x} \le \epsilon [/mm] (=2|x-1|) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Wir geben mal [mm]\epsilon[/mm] vor. Stetigkeit ist in x=1 zu
> > untersuchen, also können wir von Anfang an, von x>1/2
> > ausgehen .
> >
> > Ist dann x>1/2 und x [mm]\ne[/mm] 1, so ist
> >
> > [mm]|f(x)-f(1)|=| \bruch{1}{x} -1|= \bruch{|x-1|}{x} \le 2|x-1|[/mm]
>
> >
> > Wie kannst Du nun [mm]\delta[/mm] (in Abhängigkeit von [mm]\epsilon)[/mm]
> > wählen ?
> >
> > FRED
> >
>
>
> Kurze Zwischenfrage: Ich sehe gerade nicht wo das 2|x-1|
> herkommt ?
na, Fred hatte o.E. $x > [mm] \tfrac{1}{2}$ [/mm] angenommen. Dann ist natürlich
insbesondere $1/x [mm] \le [/mm] 2$ (dafür hätte es auch gereicht, $x [mm] \red{\;\ge\;}\tfrac{1}{2}$ [/mm] anzunehmen).
Jetzt klar(er)?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mo 22.04.2013 | | Autor: | BamPi |
> na, Fred hatte o.E. [mm]x > \tfrac{1}{2}[/mm] angenommen. Dann ist
> natürlich
> insbesondere [mm]1/x \le 2[/mm] (dafür hätte es auch gereicht, [mm]x \red{\;\ge\;}\tfrac{1}{2}[/mm]
> anzunehmen).
>
> Jetzt klar(er)?
>
> Gruß,
> Marcel
Ja, danke.
Nun habe ich also [mm] |f(x)-f(1)|=\bruch{|x-1|}{x}\le2|x-1| (=\epsilon?) [/mm] und es muss noch gelten: [mm] |x-1|<\delta
[/mm]
Ich sehe aber absolut nicht, wie ich überhaupt [mm] \delta [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \epsilon [/mm] setzen kann, wenn doch für beide nur gilt: Für ein [mm] \epsilon [/mm] > 0 exisitiert ein [mm] \delta [/mm] > 0. Das scheint mir einwenig beliebig zu sein ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Mo 22.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > na, Fred hatte o.E. [mm]x > \tfrac{1}{2}[/mm] angenommen. Dann ist
> > natürlich
> > insbesondere [mm]1/x \le 2[/mm] (dafür hätte es auch gereicht,
> [mm]x \red{\;\ge\;}\tfrac{1}{2}[/mm]
> > anzunehmen).
> >
> > Jetzt klar(er)?
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Ja, danke.
>
> Nun habe ich also [mm]|f(x)-f(1)|=\bruch{|x-1|}{x}\le2|x-1| (=\epsilon?)[/mm]
> und es muss noch gelten: [mm]|x-1|<\delta[/mm]
>
> Ich sehe aber absolut nicht, wie ich überhaupt [mm]\delta[/mm] in
> Abhängigkeit von [mm]\epsilon[/mm] setzen kann, wenn doch für
> beide nur gilt: Für ein [mm]\epsilon[/mm] > 0 exisitiert ein [mm]\delta[/mm]
> > 0. Das scheint mir einwenig beliebig zu sein ?
Wir haben:
[mm]|f(x)-f(1)|=\bruch{|x-1|}{x}\le2|x-1|< \epsilon[/mm] [mm] \gdw |x-1|<\epsilon/2
[/mm]
machts jetzt "klick"
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mo 22.04.2013 | | Autor: | BamPi |
> Wir haben:
>
> [mm]|f(x)-f(1)|=\bruch{|x-1|}{x}\le2|x-1|< \epsilon[/mm] [mm]\gdw |x-1|<\epsilon/2[/mm]
>
> machts jetzt "klick"
>
> FRED
>
Demnach ist [mm] |x-1|<\delta [/mm] = [mm] \bruch{\epsilon}{2}. [/mm] Was sagt mir das jetzt aber über die Stetigkeit aus ? Ist es nun an der Stelle x=1 stetig weil [mm] |x-1|<\delta [/mm] für x=1 für ein beliebiges [mm] \epsilon>0 [/mm] ?
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Hallo BamPi,
> > Wir haben:
> >
> > [mm]|f(x)-f(1)|=\bruch{|x-1|}{x}\le2|x-1|< \epsilon[/mm] [mm]%255Cgdw%2520%257Cx-1%257C%253C%255Cepsilon%252F2[/mm]
>
> >
> > machts jetzt "klick"
> >
> > FRED
> >
>
> Demnach ist [mm]|x-1|<\delta[/mm] = [mm]%255Cbruch%257B%255Cepsilon%257D%257B2%257D.[/mm] Was sagt
> mir das jetzt aber über die Stetigkeit aus ? Ist es nun an
> der Stelle x=1 stetig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und das war ja zu zeigen
> weil [mm]|x-1|<\delta[/mm] für x=1 für ein
> beliebiges [mm]\epsilon>0[/mm] ?
Für bel. [mm]\varepsilon>0[/mm] wähle [mm]\delta:=\frac{\varepsilon}{2}[/mm], dann gilt für alle [mm]x[/mm] mit [mm]|x-x_0|=\red{|x-1|<\delta}[/mm], dass [mm]%7Cf(x)-f(x_0)%7C%3D%7Cf(x)-f(1)%7C%3D...%3D...%5Cle%202%5Cred%7B%7Cx-1%7C%3C%7D2%5Cred%7B%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%7D%7B2%7D%7D%3D%5Cvarepsilon[/mm]
also [mm]|f(x)-f(1)|<\varepsilon[/mm]
Gruß
schachuzipus
<
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mo 22.04.2013 | | Autor: | BamPi |
Ok. Dann hätte ich noch eine kleine Frage:
Es wurde hier ja x>1/2 gewählt. Was ist nun aber wenn ich die Stetigkeit für x=0 prüfen möchte ? Wähle ich dann etwa x < 1/2 ?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mo 22.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ok. Dann hätte ich noch eine kleine Frage:
> Es wurde hier ja x>1/2 gewählt. Was ist nun aber wenn ich
> die Stetigkeit für x=0 prüfen möchte ? Wähle ich dann
> etwa x < 1/2 ?
>
> LG
Für x=0 ist die Funktion nicht definiert, also kann sie dort auch nicht auf Stetigkeit geprüft werden.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok. Dann hätte ich noch eine kleine Frage:
> Es wurde hier ja x>1/2 gewählt. Was ist nun aber wenn ich
> die Stetigkeit für x=0 prüfen möchte ? Wähle ich dann
> etwa x < 1/2 ?
Marius hat's Dir ja schon gesagt, ich will's nur untermauern:
![[]](/images/popup.gif) Definition 10.2
("$f [mm] \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] Y$ heißt stetig an der Stelle [mm] $\red{x_0\;\in\;M},$ [/mm] falls...")
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Di 23.04.2013 | | Autor: | BamPi |
Es ging mir jetzt weniger um die oben bearbeitete Funktion als eher um folgende, welche ich auch noch auf Stetigkeit im Punkt x=0 prüfen will:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x\le0\end{cases}
[/mm]
Dabei geht es mir insbesondere darum, weshalb genau denn nun bei der vorherigen Funktion x>1/2 angenommen wurde ? Und was nehme ich an wenn ich im Punkt x=0 auf Stetigkeit prüfen möchte ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es ging mir jetzt weniger um die oben bearbeitete Funktion
> als eher um folgende, welche ich auch noch auf Stetigkeit
> im Punkt x=0 prüfen will:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x\le0\end{cases}[/mm]
>
> Dabei geht es mir insbesondere darum, weshalb genau denn
> nun bei der vorherigen Funktion x>1/2 angenommen wurde ?
Stetigkeit in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] ist eine lokale Eigenschaft. Daher muß man nur Punkte x "in der Nähe" von [mm] x_0 [/mm] in Betracht ziehen
bei der vorherigen Funktion bietet sich x>1/2 an, weil man dann $ [mm] \delta=\frac{\varepsilon}{2} [/mm] $ bekommt.
x>1/3 ginge auch. Dann bekommt man [mm] \delta=\frac{\varepsilon}{3}
[/mm]
x>1 geht natürlich nicht, weil man dann keine volle Umgebung von [mm] x_0 [/mm] = 1 in Betracht zieht.
x>0 ginge auch, eignet sich aber beim Weiterrechnen nicht (warum ?)
> Und was nehme ich an wenn ich im Punkt x=0 auf Stetigkeit
> prüfen möchte ?
Zu
[mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x\le0\end{cases}[/mm]
Es ist |f(x)-f(0)|=1 für alle x>0
Wählt man [mm] \varepsilon=1/2, [/mm] so gibt es kein (!) [mm] \delta>0 [/mm] mit:
|x| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(0)|< 1/2.
f ist also in x=0 nicht stetig.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x^2-1}{x^3-x}, & \mbox{für } |x|\not=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|=1 \end{cases}[/mm]
>
> Finden Sie zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 so, dass
> [mm]f(U_\delta(1) \cap[/mm] D) [mm]\subseteq U_\epsilon(f(1))[/mm]
> Hallo,
>
> ich quäle mich gerade mit einem, für mich, etwas leidigem
> Thema: Epsilon-Delta Kriterium.
>
> Mein Ansatz ist folgender:
>
> Wenn ich die etwas verwirrende Formulierung der Aufgabe
> richtig deute, dann ist hier verlangt, dass
> [mm]|x-1|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(1)|<\epsilon[/mm]
> Nun
> verstehe ich nicht so ganz wozu das ganze. Meine Funktion
> ist ja für |x|=1 als 1 definiert. Natürlich hat
> [mm]\bruch{x^2-1}{x^3-x}[/mm] für |x|=1 eine Polstelle. Stetig ist
> sie dennoch, da f(1)=1 definiert wurde.
>
> Wie gehe ich hier nun vor ? Gilt es
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}\bruch{x^2-1}{x^3-x}=1[/mm] zu prüfen ?
> Somit wäre dann aber |f(x)-f(1)|=0 und somit nicht
> gültig, da [mm]\epsilon>0[/mm] gelten muss.
zunächst mal: Fred hat recht, dass die Funktion nicht richtig da stehen
kann. Da muss irgendwo noch $x [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] oder sowas dabeistehen!
Ansonsten:
Beweise doch ruhig mal, dass [mm] $(\lim_{1 \not=x \to 1}f(x)\,=)\;\;\;\lim_{x \to 1}f(x)=1=f(1)\,.$ [/mm] Wenn
Du das "direkt per Definitionem" machst, dann machst Du das genau so,
wie Fred es vorschlägt. Wenn Du das mit dem Folgenkriterium machst,
so kannst Du ja mal gucken, wie Du damit ein Ergebnis für die Aufgabe
folgern kannst. So schwer ist das nicht...
P.S. Wähle zu [mm] $\epsilon [/mm] >0$ in gewisser sinnvoller Weise stets [mm] $\delta [/mm] > 0$ mit
$0 < [mm] \delta [/mm] < 1$ - wieso ist das sinnvoll, dies direkt o.B.d.A. anzunehmen?
P.P.S. Warum der Aufgabensteller die Funktion "so blöde" hingeschrieben
hat, ist mir unklar. Er hätte auch direkt $f(x)=1/x$ für $x [mm] \not=0$ [/mm] und $|x| [mm] \not=1$ [/mm]
hinschreiben können, und [mm] $f(\pm [/mm] 1):=1$ definieren können. Übrigens ist
obiges [mm] $f\,$ [/mm] unstetig in [mm] $x=\,-\,1$!
[/mm]
Der einzige für mich erkenntliche Sinn, [mm] $f\,$ [/mm] wie oben anzugeben, wäre es,
wenn ihr zudem vorher "den maximalen Definitionsbereich [mm] $\subseteq \IR$"
[/mm]
für 'die oben definierte Funktion' anzugeben gehabt hättet! (Ich muss den
Teil mit der Funktion in Anführungszeichen schreiben, weil eigentlich eine
Funktion nicht nur durch eine Zuordnungsvorschrift alleine definiert ist;
sondern auch durch... na was?)
Gruß,
Marcel
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