Epsilon-Kugel < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei d die euklidische Metrik auf [mm] \IR^2. [/mm] Sei [mm] (\IR^2,d*) [/mm] d*(p,q)= min{1,d(p,q)}
ein metrischer Raum. Beschreiben Sie die [mm] \epsilon-Kugeln [/mm] K(0, [mm] \epsilon) [/mm] um den Ursprung 0 [mm] \in \IR^2 [/mm] für jedes 0< [mm] \epsilon [/mm] < [mm] \infty [/mm] |
Ich habe ein Problem, undzwar weiß ich, dass die Definiton für die Epsilon-Kugeln so lautet: sei (x,d) ein metr. Raum p [mm] \in [/mm] X, [mm] \epsilon [/mm] >0:
K(p, [mm] \epsilon):= [/mm] {q [mm] \in [/mm] X|d(p,q) < [mm] \epsilon}.
[/mm]
Nur wie kann ich das mit dieser Metrik aus der Aufgabenstellung machen, ich komme gar nicht weiter, wäre froh über jeden Tipp.
|
|
| |
|
> Sei d die euklidische Metrik auf [mm]\IR^2.[/mm] Sei [mm](\IR^2,d*)[/mm]
> d*(p,q)= min{1,d(p,q)}
> ein metrischer Raum. Beschreiben Sie die [mm]\epsilon-Kugeln[/mm]
> K(0, [mm]\epsilon)[/mm] um den Ursprung 0 [mm]\in \IR^2[/mm] für jedes 0<
> [mm]\epsilon[/mm] < [mm]\infty[/mm]
> Ich habe ein Problem, undzwar weiß ich, dass die
> Definiton für die Epsilon-Kugeln so lautet: sei (x,d) ein
> metr. Raum p [mm]\in[/mm] X, [mm]\epsilon[/mm] >0:
> K(p, [mm]\epsilon):=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{q [mm]\in[/mm] X|d(p,q) < [mm]\epsilon}.[/mm]
>
> Nur wie kann ich das mit dieser Metrik aus der
> Aufgabenstellung machen, ich komme gar nicht weiter, wäre
> froh über jeden Tipp.
Hallo,
nun, das Wesentliche, die Definition der [mm] \varepsilon-Kugel, [/mm] hast Du ja schon gesagt.
Du mußt nun für vorgegebenes [mm] \varepsilon [/mm] herausfinden, für welche [mm] p\in \IR^2 [/mm] gilt
[mm] d^{\*}(0,p)<\varepsilon,
[/mm]
für [mm] welche p:=\vektor{x,y} [/mm] also gilt
[mm] min{1,d(0,p)}=min{1,d(\vektor{0\\0},\vektor{x\\y})}<\varepsilon.
[/mm]
LG Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Also du hast ja geschrieben, für vorgegebenes [mm] \epsilon. [/mm] Aber in der Aufgabestellung ist doch kein [mm] \epsilon [/mm] vorgegebn oder sehe ich es nicht?
Sonst müsste das doch so stehen bleiben, wie du es geschrieben hast oder?
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela,
>
> vielen Dank für die schnelle Antwort.
> Also du hast ja geschrieben, für vorgegebenes [mm]\epsilon.[/mm]
> Aber in der Aufgabestellung ist doch kein [mm]\epsilon[/mm]
> vorgegebn oder sehe ich es nicht?
> Sonst müsste das doch so stehen bleiben, wie du es
> geschrieben hast oder?
Hallo,
genau: das [mm] \varepsilon [/mm] muß da einfach so stehenbleiben.
Ich find's oft einfacher, als kl. Vorübung erstmal ein konkretes [mm] \varepsilon [/mm] zu nehmen, etwa mal zu gucken, was so alles in der 5-Kugel um 0 ist oder in der 0.001-Kugel.
LG Angela
|
|
|
|
