Ergänzung zu einer Basis < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Do 21.06.2007 | | Autor: | sa_ho |
| Aufgabe | Folgende Vektoren sind gegeben: (1,2,3), (2,4,1)
Ergänzen Sie zu einer Basis des R³! |
Was ich verstanden habe: Damit 3 Vektoren eine Basis bilden, müssen sie voneinander linear unabhängig sein, also dürfen sie nicht komplanar sein. Das bedeutet doch, dass NICHT gelten darf, dass einer der 3 Vektoren als Linearkombi der jeweils anderen dargestellt werden können darf UND es Skalare geben muss für die Gleichung [mm] r*\vec{a}+s*\vec{b}+t*\vec{c}=0, [/mm] die nicht Null sind. ?
Mir fehlt also zur Ergänzung zu einer Basis in R³ EIN Vektor. Richtig?
Soweit, wenn denn richtig, so gut. Nun habe ich aber überhaupt keine Idee, wie ich anfangen kann. Vielleicht kann mir jemand einen Anfangshinweis geben, wie ich das lösen kann..Über Matizen, "Basisergänzungssatz" oder so?
Danke, S.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Do 21.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo saho
> Folgende Vektoren sind gegeben: (1,2,3), (2,4,1)
> Ergänzen Sie zu einer Basis des R³!
> Was ich verstanden habe: Damit 3 Vektoren eine Basis
> bilden, müssen sie voneinander linear unabhängig sein, also
> dürfen sie nicht komplanar sein. Das bedeutet doch, dass
> NICHT gelten darf, dass einer der 3 Vektoren als
> Linearkombi der jeweils anderen dargestellt werden können
> darf
> UND es Skalare geben muss für die Gleichung
> [mm]r*\vec{a}+s*\vec{b}+t*\vec{c}=0,[/mm] die nicht Null sind. ?
Nein ,umgekehrt es darf keine Lösung dieser Gleichung geben bei der nicht ALLE Koeffizienten (skalare) Null sind.
diese Formuliererung ist der ersten vorzuziehen und auch die , die offiziell lin.unabh. definiert.
> Mir fehlt also zur Ergänzung zu einer Basis in R³ EIN
> Vektor. Richtig?
wenn die 2 wie hier linear unabh sind, ja.
also kannst du einfach deine Gleichung :
[mm][mm] r*\vec{a}+s*\vec{b}+t*\vec{c}=0
[/mm]
a,b die gegebenen und (x1,x2,x3) der gesuchte, und dann feststellen für welche x1,x2,x3 es nur die Lösung r=s=t=0 gibt.
die Lösung ist nicht eindeutig!
oder du findest mit Intuition einen, und zeigst, dass die 3 dann lin. unabh. sind. probiers mal mit dem einfachsten (1,0,0)
einen raten, ist immer das schnellste, der andere Weg was langsamer.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Fr 22.06.2007 | | Autor: | sa_ho |
| Aufgabe | die gleichung nach x1, x2, x3 auflösen für r=s=t=0?
[mm] r*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+s*\vektor{2 \\ 4 \\ 1}+t*\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
|
hallo leduart,
zunächst danke für die schnelle hilfe. ok - ich muss also sehen, dass ich eine lösung für exakt alle skalare gleich null finde. dann bekomme ich ja folgende gleichung und folgendes lösungssystem:
gleichung:
[mm] r*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+s*\vektor{2 \\ 4 \\ 1}+t*\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
gleichungssystem:
r*1 + s*2 + t*x1 = 0
r*2 + s*4 + t*x2 = 0
r*3 + s*1 + t*x3 = 0
also die variante, mir einen vektor auszudenken, um dann die lineare unabhängigkeit zu testen kann ich nachvollziehen. allerdings habe ich noch 2 probleme:
1) ein logisches verständnisproblem: ist es bei der gleichung nicht "egal", was x1,x2,x3 sind, denn wenn r=s=t=0, stimmt die gleichung ja eh immer.?
2) wie kann ich denn das gleichungssystem nach den x auflösen.. gauß, additionsverfahren, etc. geht ja nicht, weil es 3 unterschiedliche x sind. und außerdem: siehe 1) 
Entschuldigung, ich habe wirklich grad ein Brett vorm kopf, wegen der zwingenden/gegebenen 0en und wie ich aus dem system meinen 3ten lin. unabahängigen Vektor bestimmen kann (außer zu "raten")..
Über einen weiteren Schubs in die richtige Richtung freut sich:
sa_ho
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Fr 22.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Betonung bei dem lin. unabhängig liegt bei dem NUR. Natürlich ist die Gleichung für r=s=t=0 immer richtig, aber wenn du etwa (x1,x2,x3)=(3,6,4) nähmest, wäre r=s=-1, t=1 eine Lösung.
Schreib das Ding als Matrix, bring es auf diagonalform und wähl dann die x entsprechend.
ich hatte ja schon gesagt, dass das nicht eindeutig ist.
Du sollst nach r,s,t auflösen, und dann die x so wählen, dass die nur 0 sein können.
schmeiss r und s raus, bleibt t mit Kombination von [mm] x_i
[/mm]
die darf nicht 0sein, damit t=0 folgt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Fr 22.06.2007 | | Autor: | sa_ho |
Hallo nochmal,
und erneut ein Dankeschön. Nur ergibt sich aus dem Lösungsweg erneut ein Problem (bín einfach zu lang raus:-/): Ich bekomme nach aufstellen der Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & x1 \\ 2 & 4 & x2 \\ 3 & 1 & x3 }
[/mm]
Nun habe ich diese umgeformt zur Dreiecksform:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & x1 \\ 0 & -5 & (x3-(3*x1)) \\ 0 & 0 & (x2-(2*x1))}
[/mm]
Wenn es bis dahin noch richtig ist bekomme ich:
I 1*r + 2*s + x1*t = 0
II - 5*s + (x3-(3*x1))*t = 0
III (x2-(2*x1))*t = 0 --> t=0
Nur komm ich so ja mit dem Auflösen nicht weiter. Oder ich folgere aus III, dass x2=2*x1 sein muss, also bspw. x2 = 4 und x1 = 2. Dann wäre x3 = 18 und s muss 0 sein. Also wäre der gesuchte Vektor:
[mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 18} [/mm] mit r=s=t=0
Liege ich da richtig?
Tut mir leid..etwas umständlich..
Grüße, S.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:09 Fr 22.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Soweit so gut, nur die Interpretation passt nicht.
Geben hast zwei Vektoren u und v. Gesucht wird ein dritter, x, so dass, es MINDESTENS ein Tripel s, r, t gibt, so dass MINDESTENS s, r oder t UNGLEICH Null ist und das LGS (s*u+r*v+t*x=0) noch lösbar ist.
Bei (x2-(2*x1))*t=0 kann man einerseits schließen, dass t=0. Aber gerade das wollen wir nicht. Man kann schließen, dass in dem gesuchten Vektor die Bezeihung x2-2*x1 bestehen muss. Dann ist man sich sicher, dass die III Gleichung erfüllt für jedes t ist. Insbesondere auch für [mm] t\not=0.
[/mm]
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 01:46 Sa 23.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Man sucht doch linear unabh. Vektoren, das sind sie nur, wenn es KEIN r,s,t AUSSER 0 gibt!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 04:26 Sa 23.06.2007 | | Autor: | dormant |
Ähm, ja, anders rum natürlich, stimmt, sorry!
ORIGINALTEXT:
Hi!
> Hallo
> Man sucht doch linear unabh. Vektoren, das sind sie nur,
> wenn es KEIN r,s,t AUSSER 0 gibt!
> Gruss leduart
Also wenn eins der Skalaren ungleich Null, dann ist alles i. O. Damit fängt an und endet mein Post, oder habe ich schon wieder was zu schnell geschrieben?
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:02 Sa 23.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
auf dem richtigen Weg! aber damit t=0 ist muss [mm] x2-2x1\ne0 [/mm] und damit ist t=0 also etwa x2-2x1=1 folgt t=0 daraus dann x3 beliebig, s=0 und schliesslich auch r=0
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:47 So 24.06.2007 | | Autor: | sa_ho |
So - herzlichen Dank nochmal, nun hab ich's wohl verstanden wenn ich dazu komme, poste ich die lösung noch später..
Viele Grüße
|
|
|
|
