Erkennen von Isomorphismen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Di 15.03.2011 | | Autor: | ehade |
Hallo Leute,
bald steht meine mündliche Abschlussprüfung in der Mathematik an. Hier sollen u.a. auch endliche Gruppen thematisiert werden.
Nehmen wir an, der Prüfer legt mir zwei Verknüpfungstafeln vor und fragt mich, ob die beiden entsprechenden Gruppen isomorph sind
Ich habe mir überlegt nach folgendem "Rezept" vorzugehen:
- Haben die beiden Gruppen die gleiche Ordnung (wenn nein, keine Bijektion und damit kein Isomorphmismus möglich)
- Haben beide Gruppen die selbe Anzahl von selbstinversen Elementen (wenn nein, kein Isomphismus möglich [Beweis muss ich noch angucken])
- Haben beide Gruppen die gleiche Anzahl von Erzeugern (wenn nein, kein Isomorphismus möglich)
Wenn diese Bedingungen, die man ja alle recht gut aus den Verknüpfungstafeln "herleiten" kann, erfüllt sind, würde ich vermuten, dass die beiden Gruppen isomorph sind. (oder?) Wenn der Prüfer dann sowas sagt wie "Wenn das so ist, dann konstruieren Sie uns doch mal bitte einen Isomorphismus zwischen jenen Gruppen." würde ich folgendermaßen vorgehen:
Ich erstellte ein Abbildungsvorschrift zwischen den genannten Gruppen. Hierbei achte ich darauf,
- dass das neutrale Element auf das neutrale Element
- dass die selbstinversen Elemente auf selbstinverse Elemente und
- dass die Erzeuger auf Erzeuger
abgebildet werden. Die Elemente, denen dann noch kein Bild "zugewiesen" wurde, kann man mit Hilfe der Gleichung der Strukturerhaltung f(x o y) = f(x) o f(y) Bilder zuweisen.
Sind meine Vorgehensweisen korrekt? Freue mich auf Kommentare.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Di 15.03.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> bald steht meine mündliche Abschlussprüfung in der
> Mathematik an. Hier sollen u.a. auch endliche Gruppen
> thematisiert werden.
> Nehmen wir an, der Prüfer legt mir zwei
> Verknüpfungstafeln vor und fragt mich, ob die beiden
> entsprechenden Gruppen isomorph sind
Ich denke, so eine Frage wird nur kommen, wenn die beiden Gruppen relativ klein sind, also max. 8 Elemente.
> Ich habe mir überlegt nach folgendem "Rezept" vorzugehen:
> - Haben die beiden Gruppen die gleiche Ordnung (wenn nein,
> keine Bijektion und damit kein Isomorphmismus möglich)
> - Haben beide Gruppen die selbe Anzahl von selbstinversen
> Elementen (wenn nein, kein Isomphismus möglich [Beweis
> muss ich noch angucken])
> - Haben beide Gruppen die gleiche Anzahl von Erzeugern
> (wenn nein, kein Isomorphismus möglich)
Was meinst du damit? Die Z4 hat ein Erzeugendensystem mit 1 Element (weil sie ja zyklisch ist), aber sie hat 2 Erzeuger, nämlich den einen und sein Inverses, den anderen.
Daher würde ich den letzten Punkt umformulieren: Sind beide Gruppen abelsch oder beide nicht-abelsch? Wenn beide abelsch, beide auch zyklisch? Oder beide nicht-zyklisch? Oder gemischt?
> Wenn diese Bedingungen, die man ja alle recht gut aus den
> Verknüpfungstafeln "herleiten" kann, erfüllt sind, würde
> ich vermuten, dass die beiden Gruppen isomorph sind.
> (oder?)
Ganz so einfach ist es wohl nicht.
> Wenn der Prüfer dann sowas sagt wie "Wenn das so
> ist, dann konstruieren Sie uns doch mal bitte einen
> Isomorphismus zwischen jenen Gruppen." würde ich
> folgendermaßen vorgehen:
>
> Ich erstellte ein Abbildungsvorschrift zwischen den
> genannten Gruppen. Hierbei achte ich darauf,
> - dass das neutrale Element auf das neutrale Element
> - dass die selbstinversen Elemente auf selbstinverse
> Elemente und
> - dass die Erzeuger auf Erzeuger
> abgebildet werden. Die Elemente, denen dann noch kein Bild
> "zugewiesen" wurde, kann man mit Hilfe der Gleichung der
> Strukturerhaltung f(x o y) = f(x) o f(y) Bilder zuweisen.
Wenn es zyklische Gruppen sind, also beide von einem Element erzeugt werden, dann reicht es, den einen Erzeuger auf den anderen abzubilden, der Rest ergibt sich von alleine aus der Strukturerhaltung.
> Sind meine Vorgehensweisen korrekt? Freue mich auf
> Kommentare.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
PS: Ich würde mir einfach einen Überblick über alle Gruppen bis Ordnung 8 und ihre Automorphismen verschaffen, das gibt Luft und Selbstvertrauen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Di 15.03.2011 | | Autor: | ehade |
Grüße aus Harburg? Super, also jemand vom Fach :)
Ist als folgendes Vorgehen bei dem Erkennen von Isomorphismen richtig?
- Ordnung muss gleich sein
- Anzahl der selbstinversen muss gleich sein
- Beide Gruppen abelsch oder nicht abelsch (Was dann wohl bedeutet, dass eine abelsche und eine nicht abelsche G nicht isomorph sein können)
- Beide Gruppen zyklisch oder nicht zyklisch (Was dann wohl bedeutet, dass eine zyklische und eine nicht zyklische Gruppe nicht iso. sein können. Wenn ich das richtig verstanden habe, könnte man so die nicht-isomorphie von V4 (nicht-zyklisch) und Z4 (zyklisch) erklären,.. )
Was ist mit den Erzeugern? (Nicht das Erzeugendensystem) Ich habe gedacht, dass isomorphie nur möglich ist, wenn die Anzahl der Erzeuger der Gruppen gleich ist. Ist das falsch?
Ich meine, letzten Endes basiert Dein "Konstruktionsvorschlage" für die Iso. zwischen zyklische Grupppen sogar auf der Idee, dass Erz. auf Erz. abgebildet werden.
Danke für den Tipp mit den Automorphismen bis Z8... Da werde ich mich gleich mal ransetzten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Mi 16.03.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Ist als folgendes Vorgehen bei dem Erkennen von
> Isomorphismen richtig?
> - Ordnung muss gleich sein
> - Anzahl der selbstinversen muss gleich sein
> - Beide Gruppen abelsch oder nicht abelsch (Was dann wohl
> bedeutet, dass eine abelsche und eine nicht abelsche G
> nicht isomorph sein können)
> - Beide Gruppen zyklisch oder nicht zyklisch (Was dann
> wohl bedeutet, dass eine zyklische und eine nicht zyklische
> Gruppe nicht iso. sein können. Wenn ich das richtig
> verstanden habe, könnte man so die nicht-isomorphie von V4
> (nicht-zyklisch) und Z4 (zyklisch) erklären,.. )
So auch, aber natürlich auch mit den selbstinversen Elementen.
> Was ist mit den Erzeugern? (Nicht das Erzeugendensystem)
> Ich habe gedacht, dass isomorphie nur möglich ist, wenn
> die Anzahl der Erzeuger der Gruppen gleich ist. Ist das
> falsch?
Isomorphe Gruppen sind sozusagen gleich, nur die Elemente haben unterschiedliche Namen. Gleichheit der Anzahl der Erzeuger ist auch eine notwendige Bedingung für Isomorphie. Allerdings keine hinreichende: Z4 und Z6 haben beide 2 Erzeuger, 1 und 3 bzw. 1 und 5. Jedes dieser Elemente bildet ein Erzeugendensystem für die jeweilige Gruppe,
> Ich meine, letzten Endes basiert Dein
> "Konstruktionsvorschlage" für die Iso. zwischen zyklische
> Grupppen sogar auf der Idee, dass Erz. auf Erz. abgebildet
> werden.
> Danke für den Tipp mit den Automorphismen bis Z8... Da
> werde ich mich gleich mal ransetzten
Tu das, das übt.
Gruß aus Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Do 17.03.2011 | | Autor: | ehade |
Hallo Dieter
Vielen vielen Dank für Deine Antwort. Sorry, dass ich so pingelig bin, aber die Aussage
"Isomorphe Gruppen sind sozusagen gleich, nur die Elemente haben unterschiedliche Namen." kann ich nicht so ganz nachvollziehen.
Vor mir liegen die Verknüpfungstafeln von [mm] (\IZ4,+4) [/mm] und [mm] (\IZ\*5,*5). [/mm] Die Gruppen sind isomoprh. (Untereinander und, da sie zyklisch sind, auch zu [mm] (\IZ4). [/mm] Jedoch kann ich durch Umbenennen der Elmente von eingangs genannten Gruppen keine Gleichheit feststellen........
Könntest Du vlt. kurz alle notwendigen Bedingungen für Isomorphismen aufführen. (So etwas wie. Ordnung gleich, Anzahl Selbstinverser gleich, anzahl Erzeuger gleich, beide (nicht-) abelsch, beide (nicht-zyklisch)...
Das wäre super...
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Do 17.03.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Vielen vielen Dank für Deine Antwort. Sorry, dass ich so
> pingelig bin, aber die Aussage
>
> "Isomorphe Gruppen sind sozusagen gleich, nur die Elemente
> haben unterschiedliche Namen." kann ich nicht so ganz
> nachvollziehen.
>
> Vor mir liegen die Verknüpfungstafeln von [mm](\IZ4,+4)[/mm] und
> [mm](\IZ\*5,*5).[/mm] Die Gruppen sind isomoprh. (Untereinander und,
> da sie zyklisch sind, auch zu [mm](\IZ4).[/mm] Jedoch kann ich durch
> Umbenennen der Elmente von eingangs genannten Gruppen keine
> Gleichheit feststellen........
Der Isomorphismus nimmt die Umbenennung vor. Du nennst in [mm] (\IZ_4, [/mm] $+_{4}$) z. B. die 1 --> 2, die 2 --> 4, die 3 --> 3 und die 0 --> 1 (und das $+_{4}$ --> [mm] \cdot_{5}), [/mm] und schwuppdiwupp hast du die andere Gruppe.
> Könntest Du vlt. kurz alle notwendigen Bedingungen für
> Isomorphismen aufführen. (So etwas wie. Ordnung gleich,
> Anzahl Selbstinverser gleich, anzahl Erzeuger gleich, beide
> (nicht-) abelsch, beide (nicht-zyklisch)...
So geht das nicht. Es gibt eine notwendige und hinreichende Bedingung, nämlich die Existenz einer strukturerhaltenden bijektiven Abbildung. Daraus folgen beliebig viele notwendige Bedingungen wie Anzahl der Untergruppen gleich, Anzahl der Elemente der Ordnung 3 (oder 4 oder 5 oder ... ) gleich, Anzahl der Normalteiler gleich usw.
Gruß aus Eimsbüttel
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Do 17.03.2011 | | Autor: | ehade |
Vielen Dank für Deine Anwort.
Wenn S. mir also zwei Tafeln vorlegt, werde ich zunächst jene Axiome, die aus der strukturerhaltenden und bijektiven Abbildung folgen, überprüfen. (Da kann man bereits viele Nicht-isomorphismen "entlaven"...) Sollten diese Axiome alle erfüllt sein, konstruiere ich einfach eine entsprechende Abbildung zwischen den Gruppen um so die vollständige Sicherheit zu erlangen.
Sollte es sich um zwei zyklische Gruppen handeln, reicht es, Erzeuger auf Erzeuger abzubilden. Der Rest ergibt sich durch die Strukturerhaltung...
Vorgehen in Ordnung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:32 Fr 18.03.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Wenn S. mir also zwei Tafeln vorlegt, werde ich zunächst
> jene Axiome, die aus der strukturerhaltenden und bijektiven
> Abbildung folgen, überprüfen.
Das sind dann keine Axiome, sondern Folgerungen aus der Definition.
> (Da kann man bereits viele
> Nicht-isomorphismen "entlaven"...) Sollten diese Axiome
> alle erfüllt sein, konstruiere ich einfach eine
> entsprechende Abbildung zwischen den Gruppen um so die
> vollständige Sicherheit zu erlangen.
Es kann nur um Gruppen kleiner Ordnung gehen. Nur bei den Ordnungen 4 und 6 (und dann wieder 8) gibt es nicht-isomorphe Gruppen. Bei Ordnung 4 reicht ein Blick auf die Diagonale der Verknüpfungstabelle. Und bei 6 ist die eine kommutativ und die andere nicht. Das ist alles kein Hexenwerk.
> Sollte es sich um zwei zyklische Gruppen handeln, reicht
> es, Erzeuger auf Erzeuger abzubilden. Der Rest ergibt sich
> durch die Strukturerhaltung...
So isset!
> Vorgehen in Ordnung?
Dazu noch ein bißchen verbale Begründung, und S. ist happy. W. vom LPA auch.
Gruß aus Harburg
Dieter
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