Erklärungen pythag. Tripel < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich bin gerade dabei ein Referat für mein Seminar vorzubereiten und bin dabei auf einen Beweis gestoßen, dem ich nicht folgen kann. Thema des Referats ist Geometrie und Arethmetik und zur Zeit bearbeite ich pytag. Tripel.
Der Satz lautet: Ist (A,B,C) ein primitives pythagoräisches Tripel, so ist entweder A durch 4 teilbar und B ungerade oder A ungerade und B durch 4 teilbar
Der Beweis dafür sieht so aus: Wären A und B ungerade, so würde A² +B² ≡ 2(mod 4) gelten. Wäre z.B. A ≡ 2(mod 4), so würde A² + B² ≡ 5(mod 8) und C² ≡ 5(mod 8) als Widerspruch folgen.
Meine Frage ist erstmal was das (mod 4) bzw (mod 8) bedeuten. Ich bin mir nicht mehr sicher, ob dieses mod etwas modulo zu tun hat. Die zweite Frage, die eig. mit der ersten zusammenhängt ist, wie man denn von A² +B² ≡ 2(mod 4) kommt( und die anderen Rechnungen)? Wie genau wird hier argumentiert?
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen,
Mit freundlichen Grüßen Mariam
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Do 15.09.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. mod(4) bedeutet modulo 4 also der erst bei division durch 4
2. A,B ungerade
A=2k+1, B=2m+1
rechne [mm] A^2+B^2 [/mm] aus. spalte den durch 4 teilbaren Teil ab.
Gruß ledum
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Hallo,
Vielen lieben Dank für Hilfe. Als Rechnung habe ich hier jetzt stehen:
(2k+1)²+(2m+1)² = 4k²+4k+4m²+4m+2
Das heißt also, dass 2mod(4) bedeutet, dass die ersten 4 Teile durch 4 teilbar sind und weil 2 nicht "gerade" durch 4 teilbar ist, bleibt sie übrig?
Könntest du mir auch erklären was mit A= 2mod(4) gemeint ist? (Der nächste Teil des Beweises) Mein erster Gedanke war, dass dann A= 4n+2 ist. (4n weil das durch 4 teilbar ist und dann die 2 die übrig bleiden soll) Ich bin aber leider sehr unsicher. Ich habe nämlich gerade vesucht den nächsten Teil des Beweises zu verstehen, wo steht dass wenn A= 2mod(4) ist, dass dann A²+b²=5mod(8) ist. Ist das B dabei immer noch ungerade? Und warum folgt daraus ein Widerspruch? Ich würde mich sehr über weitere Hilfe freuen 
Mit freundlichen Grüßen
Mariam
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Hiho,
> (2k+1)²+(2m+1)² = 4k²+4k+4m²+4m+2
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> Das heißt also, dass 2mod(4) bedeutet, dass die ersten 4
> Teile durch 4 teilbar sind und weil 2 nicht "gerade" durch 4 teilbar ist, bleibt sie übrig?
Ja. Es ist halt Teilen mit Rest, wobei man nur den Rest betrachtet. Die ersten Summanden haben als Rest jeweils 0, weil sie durch 4 teilbar sind. Und 2 geteilt durch 4 ist eben "0 Rest 2", ergo ist $2 = 2 mod 4$. Ebenso ist 6 = 2 mod 4, da 6 geteilt durch 4 eben "1 Rest 2" ist.
> Könntest du mir auch erklären was mit A= 2mod(4) gemeint
> ist? (Der nächste Teil des Beweises) Mein erster Gedanke
> war, dass dann A= 4n+2 ist. (4n weil das durch 4 teilbar
> ist und dann die 2 die übrig bleiden soll).
Das ist völlig richtig.
> Ich habe nämlich gerade vesucht den nächsten Teil des Beweises zu verstehen, wo steht dass wenn A= 2mod(4) ist, dass dann A²+b²=5mod(8) ist. Ist das B dabei immer noch ungerade?
Ja, das B bleibt ungerade, d.h. für B kommt nur
B = 1 mod 4 oder
B = 3 mod 4
in Betracht. Mach dir klar, dass dann [mm] B^2 [/mm] = 1 mod 4 gelten muss.
> Und warum folgt daraus ein Widerspruch?
Es muss dann, wie beschrieben ja [mm] $C^2 [/mm] = 5 mod 8$ gelten.
Nun überlege dir mal, welche Reste mod 8 beim Quadrieren auftreten können.
Betrachte dafür mal alle möglichen Reste von 8 und quadriere sie.
Gibt es also einen Rest von 8, der quadriert 5 ergibt?
Gruß,
Gono
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Hallo an alle,
Erstmal vielen Lieben Dank an euch, ich konnte den Beweis endlich nachvollziehen und sogar ein paar weitere Seiten bearbeiten. ( Und auch die Info zur Schreibweise hat geholfen )
Ich bin allerdings auf ein weiteres Problem gestoßen, und würde mch über weitere Hilfe freuen. Es geht nämlich um die Wachstumsformel von D.N Lehmer. In dem Buch, mit welchem ich arbeite (das Buch ist von Koecher und Krieg) und steht folgendes:
Mit [mm] \alpha [/mm] (n) bezeichne man die Anzahl der primitiven pytag. Tripel mit geradem A und C < n. Das Wachstum von [mm] \alpha [/mm] (n) wird beschrieben durch die Formel:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\alpha (n)}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] (=0. 159...)
Mein Problem ist dass die Formel mich ein wenig überfordert. Ich verstehe zwar was [mm] \alpha [/mm] (n) bedeutet, aber ich kann die obige Formel nicht nachvollziehen. Warum wird limes genommen, und durch n geteilt? Und wie kommt der Bruch [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] zustande? Leider kann damit nichts anfangen.. Ich würde mich über weitere Hilfe sehr freuen!
Mit freundlichen Grüßen
Mariam
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Sa 17.09.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
das bedeutet einfach dass man für sehr große n [mm] \alpha(n) [/mm] ungefähr kennt nämlich [mm] \alpha(n)=0,159*n
[/mm]
wobei das = ein ungefähr = sein sollte
Gruß ledum
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Hallo,
Danke, hab das mit der Formel nun auch verstanden.
Ich hänge zur Zeit an einer Umformung, wo ich nicht ganz verstehe wo ich einen Fehler habe und würde mich über Hilfe freuen
Es geht darum dass alle rationalen Punkte des Einheitskreises durch primitive pyth. Tripel dargestellt werden können. In meinem Text steht nun, dass wenn (A B C) ein Tripel ist, dann gilt X= [mm] \bruch{A}{C} [/mm] und Y= [mm] \bruch{B}{C}und [/mm] umgekehrt mit X²+Y²=1 und A²+B²=C².
Wegen der allgemeinen Formel prim. pytg. Tripel gilt also: (1) X= [mm] \bruch{2UV}{U^{2}+V^{2}} [/mm] und Y= [mm] \bruch{U^{2}-V^{2}}{U^{2}+V^{2}} [/mm] und (2) X= [mm] \bruch{U^{2}-V^{2}}{U^{2}+V^{2}} [/mm] und Y= [mm] \bruch{2UV}{U^{2}+V^{2}} [/mm] mit U,V [mm] \in \IN [/mm] und teilerfremd. Zudem sind folgende Identitäten gegeben:
2UV = 2* ( [mm] (\bruch{U+V}{2})^{2}+ (\bruch{U-V}{2})^{2})
[/mm]
U² - V² = 4* [mm] \bruch{U+V}{2} [/mm] * [mm] \bruch{U-V}{2}
[/mm]
Ich soll jetzt zeigen, dass (2) aus (1) folgt, wenn U,V ungerade sind.
Zu zeigen, dass die Identitöten gelten konnt ich zeigen durch einfache Umformung.
Dennoch sitze ich jetzt seit einigen Stunden dran und schaffe es aber nicht das zu zeigen. Ich habe versucht, da U und V ungerade sein sollen, zu sagen: U= 2n+1 und V= 2k+1, habe dies dann für X in (1) eingesetzt und verscuht dadurch auf X in (2) zu kommen. Aber auch nach ewiger Rechnung komme ich nicht weiter. Daher meine Frage: Ist das ein richtiger Ansatz? Oder kann man das auch anders lösen?
Ich würde mich über Hilfe sehr freuen,
Beste Grüße Mariam
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 So 18.09.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
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> Danke, hab das mit der Formel nun auch verstanden.
> Ich hänge zur Zeit an einer Umformung, wo ich nicht ganz
> verstehe wo ich einen Fehler habe und würde mich über
> Hilfe freuen
>
> Es geht darum dass alle rationalen Punkte des
> Einheitskreises durch primitive pyth. Tripel dargestellt
> werden können. In meinem Text steht nun, dass wenn (A B C)
> ein Tripel ist, dann gilt X= [mm]\bruch{A}{C}[/mm] und Y=
> [mm]\bruch{B}{C}und[/mm] umgekehrt mit X²+Y²=1 und A²+B²=C².
> Wegen der allgemeinen Formel prim. pytg. Tripel gilt also:
> (1) X= [mm]\bruch{2UV}{U^{2}+V^{2}}[/mm] und Y=
> [mm]\bruch{U^{2}-V^{2}}{U^{2}+V^{2}}[/mm] und (2) X=
> [mm]\bruch{U^{2}-V^{2}}{U^{2}+V^{2}}[/mm] und Y=
> [mm]\bruch{2UV}{U^{2}+V^{2}}[/mm] mit U,V [mm]\in \IN[/mm] und teilerfremd.
> Zudem sind folgende Identitäten gegeben:
>
> 2UV = 2* ( [mm](\bruch{U+V}{2})^{2}+ (\bruch{U-V}{2})^{2})[/mm]
>
> U² - V² = 4* [mm]\bruch{U+V}{2}[/mm] * [mm]\bruch{U-V}{2}[/mm]
>
> Ich soll jetzt zeigen, dass (2) aus (1) folgt, wenn U,V
> ungerade sind.
Du hast sicher etwas missverstanden, denn die Zahlen $U$ und $V$ in $(1)$ sind nicht die selben wie in $(2)$. Beachte auch, dass Du Dich bei der erste Identität verschrieben hast.
Also gelte $X= [mm] \bruch{2UV}{U^{2}+V^{2}}$ [/mm] und $Y= [mm] \bruch{U^{2}-V^{2}}{U^{2}+V^{2}}$. [/mm] Finde nun $U'$ und $V'$ so, dass [mm] $X=\bruch{(U')^{2}-(V')^{2}}{(U')^{2}+(V')^{2}}$ [/mm] und [mm] $Y=\bruch{2U'V'}{(U')^{2}+(V')^{2}}$ [/mm] gilt.
Dazu kannst Du Du direkt die korrigierten Identitäten verwenden.
> Zu zeigen, dass die Identitöten gelten konnt ich zeigen
> durch einfache Umformung.
>
> Dennoch sitze ich jetzt seit einigen Stunden dran und
> schaffe es aber nicht das zu zeigen. Ich habe versucht, da
> U und V ungerade sein sollen, zu sagen: U= 2n+1 und V=
> 2k+1, habe dies dann für X in (1) eingesetzt und verscuht
> dadurch auf X in (2) zu kommen. Aber auch nach ewiger
> Rechnung komme ich nicht weiter. Daher meine Frage: Ist das
> ein richtiger Ansatz? Oder kann man das auch anders
> lösen?
> Ich würde mich über Hilfe sehr freuen,
>
> Beste Grüße Mariam
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Hallo,
Ja ich habe mich tatsächlich verschrieben, das + bei der ersten Identität müsste ein - sein.
Erstmal Danke für den Tipp. Dass es zwei verschiedene Zahlen sind, wusste ich wirklich nicht. Ich hab jetz mal versucht, solche U' und V' zu finden. Allerding hänge ich immer noch daran. Ich habe versucht, die Identitäten quasi in X und Y einzusetzen, und umzuformen, doch das bringt mich nicht weiter, da ich dann wieder auf den Anfang komme... meine zweite Idee war, da im Text steht das U,V ungerade sind für (2), dass damit nochmals zu versuchen, aber auch hier war ich erfolglos... Ich würde mich daher über weitere Hilfe freuen. :)
BG Mariam
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:41 Mo 19.09.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
sollst du wirklich 2) aus 1) zeigen?
das ist doch nur eine Vertauschung der Namen A und B bzw, x und y
kannst du die exakte Aufgabe posten?
Gruß leduart
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| Aufgabe | Erfüllen X,Y [mm] \in \IQ [/mm] die Gleichung X²+Y² = 1, so gibt es teilerfremde A B C [mm] \in \IZ, C\not= [/mm] 0 mit:
(1) X = [mm] \bruch{A}{C}, [/mm] Y = [mm] \bruch{B}{C} [/mm] und [mm] A^{2} [/mm] + [mm] B^{2}=C^{2}
[/mm]
und umgekehrt. Bis auf das Vorzeichen und bis auf die Ausnahme X = 0 bzw. Y=0 werden die rationalen Punkte des Einheitskreises K, also durch primitive pyt. Tripel beschrieben. Nach der allg. Formel py. Tripel gilt also:
(2) U,V [mm] \in \IZ [/mm] teilerfremd mit
(3) X= [mm] \bruch{2UV}{U^{2}+V^{2}} [/mm] und Y= [mm] \bruch{U^{2} - V^{2}}{U^{2}+V^{2}} [/mm] oder mit
(3') X = [mm] \bruch{U^{2} - V^{2}}{U^{2}+V^{2}} [/mm] und Y= [mm] \bruch{2UV}{U^{2}+V^{2}}
[/mm]
Die erwähnten Ausnahmen sind jetzt mit enthalten. Folgende Identitäten sind gegeben
2UV= 2* [mm] ((\bruch{U+V}{2})^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{U - V}{2})^{2})
[/mm]
[mm] U^{2} [/mm] - [mm] V^{2} [/mm] = 4* [mm] \bruch{U+V}{2} [/mm] * [mm] \bruch{U-V}{2}
[/mm]
[mm] U^{2} [/mm] + [mm] V^{2} [/mm] = 2* [mm] ((\bruch{U+V}{2})^{2} [/mm] + [mm] (\bruch{U - V}{2})^{2})
[/mm]
Zeige mithilfe der Identitäten, dass man Fall (3') aus (3)für ungerade U, V erhält. |
Klar, oben ist die Aufgabe. Hoffe, dass hilft
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Mo 19.09.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe die Aufgabe noch nicht.
1. es lässt sich sowohl in 3 wie in 3' leicht (durch dieselbe Rechnung nachweisen. d einfach indem man [mm] x^2+y^2 [/mm] bildet dass [mm] x^2+y^2=1
[/mm]
damit ist C [mm] =U^2+V^2 [/mm] A=2UV [mm] B=U^2-V^2 [/mm]
und man hat ein pythagoräisches Tripel
welche der beiden Teile man dann A oder B bzw x oder y nennt ist egal. aber wenn man sich festgelegt hat, etwa U=5, V=3
dann ist x=30/34 und y=16/34
gekürzt x=15/17 y=8/17
aber 16/34 kann ich auf keine Weise als 2U'V'/(U'^2+V'^2) schreiben außer als [mm] 32/68=2*(8*2)/(8^2+2^2), [/mm] U'=8 , V'=2 beide gerade.
also muss was anderes gemeint sein.
vielleicht sieht jemand anders was man da soll.
Gruß leduart
ich seh auch nicht, was es hilft U und V ungerade zu wählen .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Mo 19.09.2016 | | Autor: | hippias |
Es steht doch alles da:
Gelte $X= [mm] \frac{2UV}{U^{2}+ V{2}}$ [/mm] und $Y= [mm] \frac{U^{2}-V^{2}}{U^{2}+V^{2}}$. [/mm] Setze $U'= [mm] \frac{U+V}{2}$ [/mm] und $V'= [mm] \frac{U-V}{2}$. [/mm] Die Identitäten besagen nun, dass $X= [mm] \frac{U'^{2}-V'^{2}}{U'^{2}+V'^{2}}$ [/mm] und $Y= [mm] \frac{2U'V'}{U'^{2}+ V'{2}}$ [/mm] gilt. Warum gilt aber $U', [mm] V'\in \IN$?
[/mm]
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Hallo Mariam und alle Interessierten
Bei diesem Beispiel einer Aufgabe zu modulo - Rechnungen
wird wieder einmal klar, wie sehr wohl vielen die verschiedenen
Schreibweisen in diesem Zusammenhang Mühe bereiten.
Eine erste Art der Notation ist etwa (in einem Beispiel) :
$\ 257\ [mm] \equiv [/mm] \ 2$ (mod 5)
Dabei soll die am Ende der Zeile in Klammern angegebene
Bemerkung "mod 5" besagen, dass die davor stehende
Gleichung als Äquivalenzgleichung in [mm] \IZ [/mm] bezüglich der
Relation $\ x [mm] \equiv [/mm] y\ [mm] :\gdw\ [/mm] 5|(x-y)$ oder eben als
"Äquivalenz modulo 5" zu verstehen ist.
Diese Schreibweise ist aber eher angestaubt und angesichts
der heute gängigen Schreibweisen eigentlich auch vermeidbar.
Oft findet man auch etwa die Schreibweise:
257 mod 5 = 2
welche aber in manchen Zusammenhängen ebenfalls zu
Verständnisproblemen führt.
Nach meiner Ansicht wäre es sinnvoll, die veraltete und für
manche schwer verständliche Schreibweise zu vermeiden,
indem man einfach konsequent die Funktionsschreibweise
verwendet. Wie es in vielen Programmiersprachen schon
lange üblich ist, kann man die zweistellige Funktion mod
verwenden, welche einem Paar (m,n) von ganzen Zahlen
(mit [mm] n\not= [/mm] 0) den in der Menge [mm] $\{0,1,2, ..... ,\ n-1\} [/mm] liegenden Rest
der Division von m durch n zuordnet.
Aus dem obigen Beispiel wird dann einfach:
mod(257,5) = 2
Mittels konsequenter Anwendung dieser Notation ließen sich
bestimmt manche Missverständnisse vermeiden.
LG , Al-Chwarizmi
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