Ermittlung komplexer Werte < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folgende Werte sollen ermittelt werden:
a) [mm] $i^{-i}$
[/mm]
b) [mm] $i^{\wurzel{i}}$ [/mm] |
Hallo!,
ich brauche bitte eure Hilfe.
Zu Aufgabe a) hab ich mir folgendes gedacht.
[mm] $z\in\IC$
[/mm]
$z = x+iy$
Wobei x = 0 und y = 1. Somit ergibt sich
[mm] $z_1 [/mm] = i$
[mm] $z_1 [/mm] = [mm] |z|e^{i arccos(0)} [/mm] = [mm] e^{i 0.5\pi}$
[/mm]
[mm] $z_2 [/mm] = -i$
[mm] $z_2 [/mm] = [mm] |z|e^{-i arccos(0)} [/mm] = [mm] e^{-i 0.5\pi}$
[/mm]
$z = [mm] z_1^{z_2}$
[/mm]
$z = [mm] exp\{i 0.5\pi\}^{exp\{-i 0.5\pi\}}$
[/mm]
Nun ist es ja so, dass ich wiederum i durch die exponential Funktion ersetzen müsste. Wenn ich das oft genug mache, dann hab ich schlussendlich $z = [mm] exp\{exp\{\infty\} 0.5\pi\}^{exp\{exp\{-\infty\} 0.5\pi\}}$ [/mm] dastehn, was ja $z = [mm] exp\{\infty\}^{exp\{0\}}$ [/mm] wäre.
Kann mir bitte jemand sagen, wie ich von dieser Form auf $z = [mm] e^{0.5 \pi}$ [/mm] komme?
mfg,
dreamweaver
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Hallo,
es sind
[mm] i=e^{i*\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
[mm] \wurzel{i}=\bruch{\wurzel{2}}{2}*(1+i) [/mm] [Hauptwert]
Damit und mit den Potenzgesetzen sind diese Rechnungen einfach.
Deine Rechnungen sind IMO falsch und auch schwer nachvollziehbar.
> Nun ist es ja so, dass ich wiederum i durch die exponential
> Funktion ersetzen müsste. Wenn ich das oft genug mache,
> dann hab ich schlussendlich [mm]z = exp\{exp\{\infty\} 0.5\pi\}^{exp\{exp\{-\infty\} 0.5\pi\}}[/mm]
> dastehn, was ja [mm]z = exp\{\infty\}^{exp\{0\}}[/mm] wäre.
>
> Kann mir bitte jemand sagen, wie ich von dieser Form auf [mm]z = e^{0.5 \pi}[/mm]
> komme?
Je nachdem, wie man die komplexe Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen einführt, ist es entweder eine Definition, oder eine aus den zugehörigen Potenzreihen abgeleitete Folgerung, dass
[mm] i=e^{i*\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
gilt (Eulersche Darstellung). Dafür gelten die Potenzgesetze für gleiche Basen. Eine Rechnung wie zu a) könnte so aussehen:
[mm] i^i=\left(e^{i*\bruch{\pi}{2}}\right)^i
[/mm]
[mm] =e^{i^2*\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
[mm] =e^{-\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{e^{\pi}}}
[/mm]
Kannst du das nachvollziehen? Dann wende es mal auf deine beiden Aufgaben an.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hitch |
Danke hatte ein ähnliches Problem!
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Danke vielmals für deine Erklärung! Jetz hab ichs auch!
lg
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