Ermittlung von Intervallen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mo 17.07.2006 | | Autor: | nina13 |
| Aufgabe | Ermittle die Intervalle, in denen f monoton ist.
a) f(x)= [mm] \bruch{1}{3}x^3-9x+1
[/mm]
b) f(x)= [mm] \wurzel{x}-2 [/mm] |
Ich verstehe im Prinzip die ganze Aufgabe nicht, denn mir ist erstens nicht klar, was monoton ist und zweitens weiß ich nicht, wie ich auf die Intervalle kommen soll.
Wäre toll, wenn jemand helfen könnte.
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Mo 17.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Nina!
> Ermittle die Intervalle, in denen f monoton ist.
>
> a) f(x)= [mm]\bruch{1}{3}x^3-9x+1[/mm]
>
> b) f(x)= [mm]\wurzel{x}-2[/mm]
> Ich verstehe im Prinzip die ganze Aufgabe nicht, denn mir
> ist erstens nicht klar, was monoton ist und zweitens weiß
> ich nicht, wie ich auf die Intervalle kommen soll.
Wenn das im Unterricht nicht erklärt worden ist, ist die Aufgabe natürlich daneben. Anschaulich gesprochen, ist eine Funktion monoton, wenn ihr Graph nur steigt oder nur fällt. Dabei muß man auch noch klären, was mit einer konstanten Funktion sein soll. Und (siehe Aufgabe) es gibt natürlich Funktionen, die in Teilen ihres Definitionsgebietes steigen und in anderen fallen.
Anschaulich ist dir hoffentlich klar, daß die Steigung (also die 1. Ableitung) einer monoton steigenden Funktion jedenfalls [mm] \ge [/mm] 0 ist. Und umgekehrt: Überall wo die Ableitung > 0 ist, steigt die Funktion.
In einem 1. Schritt müßtest du also mal die Ableitungen deiner beiden Funktionen untersuchen und prüfen, wo sie > ( oder < ) 0 sind.
Wenn gewünscht, kann ich das Ganze auch noch ausführlich und exakt hinschreiben, aber dann gerät man leicht in die Anfänge der Uni-Mathematik.
Was hast du denn in deinen Aufzeichnungen?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mo 17.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Also, soweit ich dich jetzt verstanden habe, ist das Schaubild einer Funktion monoton, wenn der Graph nur steigt oder nur fällt, das heißt wenn er keine Kurven macht.
Ich habe jetzt mal die Ableitungen gemacht:
a) [mm] f'(x)=x^2-9
[/mm]
b) f'(x)= [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x}}
[/mm]
Was muss ich jetzt machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mo 17.07.2006 | | Autor: | statler |
Hi!
> Also, soweit ich dich jetzt verstanden habe, ist das
> Schaubild einer Funktion monoton, wenn der Graph nur steigt
> oder nur fällt, das heißt wenn er keine Kurven macht.
>
> Ich habe jetzt mal die Ableitungen gemacht:
>
> a) [mm]f'(x)=x^2-9[/mm]
>
> b) f'(x)= [mm]\bruch{1}{2 \wurzel{x}}[/mm]
> Was muss ich jetzt machen?
Jetzt suchst du die Bereiche (Intervalle), in denen f' > 0 ist und auch die, in denen f' < 0 ist.
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Mo 17.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Hmm, und wie genau geht das? Verstehe das jetzt gerade irgendwie nicht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Mo 17.07.2006 | | Autor: | statler |
.. Nina, [mm] x^{2} [/mm] - 9 ist manchmal > 0, an 2 Stellen = 0 und manchmal < 0.
Für welche x'e ist das wie?
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mo 17.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Also,
für x=3 und x=-3 ist es 0
für alle x>3 ist es größer als 0
für alle x<3 außer bei x=-3 ist es kleiner als 0
stimmt das soweit?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Mo 17.07.2006 | | Autor: | statler |
> -
> Also,
>
> für x=3 und x=-3 ist es 0
>
> für alle x>3 ist es größer als 0
>
> für alle x<3 außer bei x=-3 ist es kleiner als 0
>
>
> stimmt das soweit?
Das stimmt so nicht, Nina. Der Graph ist doch eine nach oben geöffnete Parabel. Wo liegt sie ober(unter-)halb der x-Achse?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Mo 17.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Ich komme jetzt absolut nicht weiter. Das Schaubild geht doch praktisch zuerst nach oben, dann wieder nach unten und dann wieder nach oben.
Es ist doch punktsymmetrisch, um es mal genauer zu beschreiben.
Könntest du mir vielleicht mal genau die Schritte erklären, wie ich auf das Ergebnis komme?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Mo 17.07.2006 | | Autor: | statler |
> -
> Ich komme jetzt absolut nicht weiter. Das Schaubild geht
> doch praktisch zuerst nach oben, dann wieder nach unten und
> dann wieder nach oben.
> Es ist doch punktsymmetrisch, um es mal genauer zu
> beschreiben.
>
> Könntest du mir vielleicht mal genau die Schritte erklären,
> wie ich auf das Ergebnis komme?
Bist du jetzt bei der Original-Funktion (vermutlich ja) oder bei der Ableitung? Die Ableitung [mm] x^{2} [/mm] - 9 ist für x < -3 positiv, für x zwischen -3 und 3 negativ und für x > 3 wieder positiv. Entsprechend ist die Funktion selbst erst monoton steigend ('geht nach oben'), dann monoton fallend und schließlich wieder steigend.
Die x-Intervalle, wo was ist, kannst du jetzt hoffentlich genau hinschreiben, oder?
Bsp.: Für [mm] -\infty [/mm] < x < -3 ist f(x) mon. steigend.
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mo 17.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Wäre die Lösung der Aufgabe dann:
für x [mm] \ge3 [/mm] f'(x) --> monoton steigend
für x [mm] \le3 [/mm] f'(x) --> monoton steigend
für -3<x<3 f'(x) --> monoton fallend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Mo 17.07.2006 | | Autor: | statler |
> -
> Wäre die Lösung der Aufgabe dann:
>
> für x [mm]\ge3[/mm] f'(x) --> monoton steigend
>
> für x [mm]\le3[/mm] f'(x) --> monoton steigend
>
> für -3<x<3 f'(x) --> monoton fallend
für x [mm]\ge 3[/mm] f(x) --> monoton steigend
für x [mm]\le -3[/mm] f(x) --> monoton steigend
für -3<x<3 f(x) --> monoton fallend
Die Punkte x = -3 und x = 3 kannst du auch zu beiden angrenzenden Bereichen nehmen.
Jetzt die andere Funktion mit der Wurzel.
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mo 17.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Zu b)
Wenn ich mir jetzt die Ableitung f'(x)= [mm] \bruch{1}{2* \wurzel{x}} [/mm] ansehe, fällt mir auf, dass ich ja für x keine negativen Werte einsetzen darf, da es ja untzer der Wurzel steht.
Und sehe ich mir das Schaubild an, dann wird x ja nie 0. Folglich müsste ich ja für x alle positiven Werte>0 einsetzen dürfen, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Mo 17.07.2006 | | Autor: | statler |
> -
> Zu b)
>
> Wenn ich mir jetzt die Ableitung f'(x)= [mm]\bruch{1}{2* \wurzel{x}}[/mm]
> ansehe, fällt mir auf, dass ich ja für x keine negativen
> Werte einsetzen darf, da es ja untzer der Wurzel steht.
>
> Und sehe ich mir das Schaubild an, dann wird x ja nie 0.
> Folglich müsste ich ja für x alle positiven Werte>0
> einsetzen dürfen, oder?
Das ist alles richtig, aber jetzt zum Kern der Untersuchung: Für welche x hat f' welches Vorzeichen? Dazu hast du noch nichts gesagt. Du prüfst das Vorzeichen der Ableitung und machst daraus Aussagen über die Monotonie der Funktion selbst.
Dieter 
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mo 17.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Das habe ich doch im Prinzip schon gemacht oder?
Negative Werte darf ich ja schonmal nicht einsetzen, das fällt also weg.
Und 0 darf ich auch nicht einsetzen, da man ja nicht durch null teilen darf.
also ist f'(x) doch für alle positiven x>o monoton steigend.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mo 17.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Nina!
> Das habe ich doch im Prinzip schon gemacht oder?
>
> Negative Werte darf ich ja schonmal nicht einsetzen, das
> fällt also weg.
>
> Und 0 darf ich auch nicht einsetzen, da man ja nicht durch
> null teilen darf.
>
> also ist f'(x) doch für alle positiven x>o monoton
> steigend.
Damit hast du den Definitionsbereich von f' geklärt. Wir müssen aber rauskriegen, welche Werte f' annimmt, also die y's. Interessieren tut uns nur, ob f'(x) >, < oder = 0 ist. Daraus ziehen wir dann Schlüsse über f nach dem Prinzip 'wenn f' > 0, dann f monoton steigend'.
Ob f' monoton ist oder nicht, ist im Moment ohne jeden Belang.
Schreib das mal richtig schön auf, Text ist wichtig, und mach dir eine Zeichnung mit f und f' (bitte).
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Mo 17.07.2006 | | Autor: | nina13 |
für x>0 ist f'(x)>0
für x<0 ist f'(x)<0
weil ich ja weiß, dass ich keine Werte einsetzen darf, die kleiner als 0 sind, kann ich doch nun sagen, dass f für alle x>0 monoton steigend sein muss, oder?
PS: Die Graphen habe ich mir angesehen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Mo 17.07.2006 | | Autor: | statler |
> für x>0 ist f'(x)>0
und damit f monoton steigend
> für x<0 ist f'(x)<0
>
> weil ich ja weiß, dass ich keine Werte einsetzen darf, die
> kleiner als 0 sind, kann ich doch nun sagen, dass f für
> alle x>0 monoton steigend sein muss, oder?
Nein, für x < 0 gibt es doch gar kein f', also kannst du auch keine Gleichungen oder Ungleichungen dafür hinschreiben. Für x > 0 ist deine Aussage über f richtig, für x [mm] \ge [/mm] 0 übrigens auch, obwohl f' für x = 0 nicht definiert ist.
Hoffentlich habe ich dich nicht zur Verzweiflung getrieben, Mathe ist eine sehr pedantische Angelegenheit.
Genieß das Superwetter! Oder geht es noch um Noten?
Dieter
> PS: Die Graphen habe ich mir angesehen
Und siehst du einen Zusammenhang zwischen "f steigend" und " f' > 0 "?
|
|
|
|
