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Forum "Zahlentheorie" - Erw. Eukl. Alg. Inverse
Erw. Eukl. Alg. Inverse < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Erw. Eukl. Alg. Inverse: Frage zu Beispiel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 So 02.09.2012
Autor: Jack159

Hallo,

Ich habe glaube ich noch nicht so ganz verstanden, wie man an die Inverse beim Erweiterten Euklidischen Algorithmus kommt.

Dazu hier 2 Beispiele.

1. Beispiel (Hier verstehe ich alles):

Es soll die modulare Inverse c berechnet werden, sodass gilt: 13*c=1 (mod 160)

Euklidischer Algorithmus:
160=12*13+4
13=3*4+1
4=4*1+0

Erweiteter Euklidischer Algorithmus:
1=13-3*(160-12*13)=13-3*160+36*13=37*13-3*16

Modulare Inverse c=37

Probe:
13*37=481=1 (mod 160)

--------------------------------------------------------------------------------------

2. Beispiel (hier habe ich ein Problem):


Es soll die modulare Inverse c berechnet werden, sodass gilt: 5*c=1 (mod 48)

Euklidischer Algorithmus:
48=9*5+3
5=1*3+2
3=1*2+1
2=2*1+0


Erweiteter Euklidischer Algorithmus:
1=3-1*(5-1*3)=3-1*5+1*3=2*3-1*5=2*48-18*5-1*5=2*48-19*5

Modulare Inverse c=-19

Probe:
5*(-19)=-95=-47 (mod 48)

c=-19 scheint also falsch zu sein?! Wo liegt mein Fehler?

        
Bezug
Erw. Eukl. Alg. Inverse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 So 02.09.2012
Autor: reverend

Hallo Jack,

nach wie vor: es geht nicht um Reste, sondern um Restklassen.

Du hast alles richtig gemacht.
Am Ende musst Du bedenken/erkennen, dass [mm] -47\equiv 1\mod{48} [/mm] ist.

Vielleicht wäre es daher auch besser, nicht -19 als Inverses zu [mm] 5\mod{48} [/mm] anzugeben, sondern den Hauptrepräsentanten der Restklasse, also 29, denn [mm] 29\equiv -19\mod{48}. [/mm]

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Erw. Eukl. Alg. Inverse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 So 02.09.2012
Autor: Jack159


>  Am Ende musst Du bedenken/erkennen, dass [mm]-47\equiv 1\mod{48}[/mm]
> ist.

Ahh ok, jetzt weiß ich wie man darauf kommt:
-95 ist kongruent modulo 48 zu allen Zahlen, die sich von -95 um
ein Vielfaches von 48 unterscheiden.
[mm] 48\equiv-47\equiv1 [/mm] (mod 48)


> Vielleicht wäre es daher auch besser, nicht -19 als
> Inverses zu [mm]5\mod{48}[/mm] anzugeben, sondern den
> Hauptrepräsentanten der Restklasse, also 29, denn [mm]29\equiv -19\mod{48}.[/mm]

Dasselbe gilt dann auch hier:
-19 ist kongruent modulo 48 zu allen Zahlen, die sich von -19 um
ein Vielfaches von 48 unterscheiden.
[mm] -19\equiv29\equiv77 [/mm] (mod 48)


Diesen kleinen Satz sollte ich einfach Auswendig lernen, denn ich komme da ziemlich schnell durcheinander...
Danke schonmal bis hierhin ;)



1 kleine Frage habe ich noch:
Wenn ich das ganze in der Klausur nun formal/mathematisch sauber und korrekt hinschreiben will:

(Ich hab jetzt den erweiterten Eukl. Alg. angewandt und habe rausbekommen):
1=2*48-19*5

Somit gilt:
-19*5=1 (mod 48) |+48*5
29*5=1 (mod 48)



Wäre diese Rechnung mathematisch korrekt aufgeschrieben?




Bezug
                        
Bezug
Erw. Eukl. Alg. Inverse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 So 02.09.2012
Autor: leduart

Hallo
richtig aufgeschrieben!
andere Möglichkeit ist -19=48-19=29 mod 48
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Erw. Eukl. Alg. Inverse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 So 02.09.2012
Autor: teo


> Hallo
>  richtig aufgeschrieben!
>  andere Möglichkeit ist -19=48-19=29 mod 48
>  Gruss leduart

Hallo, ich wollt nur auf eins kurz hinweisen. Es muss eigentlich -19 [mm] \equiv [/mm] 48 -19 = 29 mod 48 sein. Denn -19 [mm] \not= [/mm] 48-19 und 48-19 = 29.

Grüße

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