Erwartung bei Stoppzeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mo 26.05.2014 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | Sei [mm] $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] ein Martingal bzgl. einer FIltration [mm] $\mathcal{F}:=(\mathcal{F}_n)_{n\in\mathbb{N}}$. [/mm] Es gebe $M>0$, sodass [mm] $\forall n\in\mathbb{N}:|X_{n+1}-X_n|\leq [/mm] M$. Weiter sei $T$ eine Stoppzeit bzgl. [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $E[T]<\infty$. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] $E[X_T]=E[X_0]$ [/mm] |
Hi,
bisher hab ich die Behauptung nur unter der Vorausstzung zeigen können, dass [mm] $X_n$ [/mm] und $T$ unabhängig:
[mm] $E[X_T]=E[X_n|T=n]\stackrel{Martingal}{=}E[E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]|T=n]\stackrel{Def.}{=}\frac{E[E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n],T=n]}{P(T=n)}$
[/mm]
[mm] $\stackrel{\text{Messb. von }\mathbf{1}}{=}\frac{E[E[X_{n+1}\mathbf{1}_{T=n}|\mathcal{F}_n]]}{E[\mathbf{1}_{T=n}]}\stackrel{Unabh.}{=}E[X_{n+1}]\stackrel{Martingal}{=}E[X_0]$
[/mm]
Ok, aber ich glaub so nen Ansatz kann ich vergessen, da ich nicht einmal die Voraussetzungen aus der Aufgabe verwendet habe. Mir ist noch in einem Buch (Durrett) ein Satz aufgefallen, der besagt, dass aus [mm] $|X_{n+1}-X_n|$ [/mm] und [mm] $E[X_n]<\infty$ [/mm] folgt: [mm] $P(\lim X_n \text{ existiert und ist endlich})=1$.
[/mm]
Aber wie könnte mir fast sichere Konvergenz nützen?
Danke für die Hilfe,
nbt
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Hiho,
klar sollte sein, dass [mm] $(X_n^T)_{n\in\IN} [/mm] = [mm] (X_{n\wedge T})_{n\in\IN}$ [/mm] ein Martingal ist und damit
[mm] $E[X_n^T] [/mm] = [mm] E[X_0]$.
[/mm]
Klar ist auch sofort:
[mm] $E[X_T] [/mm] = [mm] E[\lim_{n\to\infty} X_{n\wedge T}]$
[/mm]
Die Frage ist jetzt also: Wie bekommen wir den Grenzwert aus dem Erwartungswert.
Hilfreich dafür könnte der Prozess $M= [mm] |X_0| [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{T - 1}\left|X_{k+1} - X_k\right|$ [/mm] sein.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Di 27.05.2014 | | Autor: | nbt |
Hi, danke für den Hinweis:
Wir haben bereits in der Vorlesung gezeigt, dass das gestoppte Folge [mm] $(X_{n\wedge T})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] sogar ein Martingal bzgl. der Filtration ist, zu der [mm] $(X_n)_n$ [/mm] adaptiert ist.
Wir wissen also, dass
[mm] $E[X_{n\wedge T}|\mathcal{F}_0]=X_0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow E[E[X_{n\wedge T}|\mathcal{F}_0]]=E[X_0]$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}E[E[X_{n\wedge T}|\mathcal{F}_0]]=\lim_{n\to\infty}E[X_0]=E[X_0]$
[/mm]
Demnach muss man nur noch zeigen, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}E[X_{n\wedge T}]=E[\lim_{n\to\infty}X_{n\wedge T}]=E[X_T]$ [/mm] gilt.
Dazu schreiben wir, wie du angedeutet hast: [mm] $|X_{n\wedge T}|=\sum_{i=0}^{(n\wedge T)-1}|X_{i+1}-X_i|$. [/mm] Das können wir nun mit der Voraussetzung abschätzen:
[mm] $\sum_{i=0}^{(n\wedge T)-1}|X_{i+1}-X_i|\leq [/mm] TM$
Wir haben also eine Majorante [mm] $g(\omega)\equiv [/mm] TM$ mit [mm] $E[TM]=ME[T]<\infty$ [/mm] nach Voraussetzung. Damit sind Limes und Integral vertauschbar und es folgt [mm] $\lim_{n\to\infty}E[X_{n\wedge T}]=E[X_T]$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Di 27.05.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Dazu schreiben wir, wie du angedeutet hast: [mm]|X_{n\wedge T}|=\sum_{i=0}^{(n\wedge T)-1}|X_{i+1}-X_i|[/mm].
das stimmt ja nicht.
Gruß
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Do 29.05.2014 | | Autor: | nbt |
Hi,
sry, so sollte es jetzt stimmen:
[mm] $|X_{n\wedge T}|=|X_0+\sum_{k=0}^{(n\wedge T)-1}(X_{i+1}-X_i)|\leq |X_0|+\sum_{k=0}^{T-1}| X_{i+1}- X_i |\leq|X_0|+TM$
[/mm]
Dann ist die von $n$ unabhängige Majorante [mm] $g(\omega)=|X_0(\omega)|+MT(\omega)$
[/mm]
VG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Do 29.05.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
sieht gut aus 
Gruß,
Gono.
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