Erwartungstreue Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:01 Fr 29.09.2006 | | Autor: | petem |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Verwende in der Gleichung y_{i}= \alpha + \beta x _{i} + \varepsilon_{i} für \beta den Schätzer \bruch{y_{i}-y_{j}}{{x_{i}-x_{j}}
a) Ist der Schätzer erwartungstreu für \beta, warum (nicht)?
b) Welche Varianz besitzt der Schätzer?
c) Wie verhält sich die Varianz verglichen mit V(b), warum?
d) Ist der Schätzer konsistent, warum (nicht)? |
Hallo,
mir fehlt bei dieser Aufgabe leider der Ansatz. Ich habe den sehr umfangreichen Beweis des Profs nachvollzogen, dass b erwartungstreu für \beta ist, aber da gab es auch einige \sigma und andere Sachen, die ich vereinfachen kann, aber hier? Wie gehe ich am besten vor?
Muss ich den Erwartungswert von dem \beta Ausdruck ermitteln oder das ganze in die y Gleichung einsetzen? Wie komme ich zur Varianz? Und bei der Konsistenz weiß ich ja nicht einmal ob Zähler und Nenner positiv oder negativ sind für größere i's?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:06 Fr 29.09.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo petem,
ich nenne den von dir betrachten Schaetzer [mm] $\hat\beta_{ij}$. [/mm] Der kann
in der Form geschrieben werden [mm] ($x_i\ne x_j$):
[/mm]
[mm] $\hat\beta_{ij}=\frac{Y_i-Y_j}{x_i-x_j}=\frac{\beta(x_i-x_j)+(\varepsilon_i-\varepsilon_j)}{x_i-x_j} =\beta+\frac{\varepsilon_i-\varepsilon_j}{x_i-x_j}$
[/mm]
Jetzt ueberlege dir: Was ist stochastisch, was ist nichtstochastisch?
Welche Eigenschaften besitzen die eingehenden Zufallsvariablen?
Leider ist deine Beschreibung der Aufgabe unvollstaendig: Wie sind die
Stoervariablen verteilt? Was meinst du mit $b$? Den kQ-Schaetzer? Was
ist [mm] $\sigma$? [/mm] Ich habe da meine Vermutungen, aber das auch nur, weil ich
meine Glaskugel zu Rate gezogen habe. 
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Fr 29.09.2006 | | Autor: | petem |
Hallo luis52,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Entschuldige bitte, bei "b" handelt es sich in der Tat um den KQ Schätzer. Über die Verteilung der Störvariablen wurde in dem ganzen Kurs noch nichts gesagt, daher gehe ich von einer Normalverteilung aus!
Ich muss als nun den Erwartungswert,die Varianz und die Konsistenz anhand des letzten Termes ermitteln?
Gerade bei der Konsistenz wundert mich, dass ich zwar weiß dass der Nenner positiv ist, ich aber über den Nenner des Bruches keine Aussage habe, ob er positiv/negativ ist und ob er größer/kleiner wird? Also kann ich daraus nur "nicht konsistent" schließen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Fr 29.09.2006 | | Autor: | luis52 |
> Hallo luis52,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> Entschuldige bitte, bei "b" handelt es sich in der Tat um
> den KQ Schätzer. Über die Verteilung der Störvariablen
> wurde in dem ganzen Kurs noch nichts gesagt, daher gehe ich
> von einer Normalverteilung aus!
> Ich muss als nun den Erwartungswert,die Varianz und die
> Konsistenz anhand des letzten Termes ermitteln?
Ja.
> Gerade bei der Konsistenz wundert mich, dass ich zwar weiß
> dass der Nenner positiv ist, ich aber über den Nenner des
> Bruches keine Aussage habe, ob er positiv/negativ ist und
> ob er größer/kleiner wird? Also kann ich daraus nur "nicht
> konsistent" schließen, oder?
Konsistenz ist eine asymptotische Eigenschaft. Du musst dich also fragen,
was mit dem mit dem Erwartungswert und der Varianz deines Schaetzers passiert, wenn die Zahl deiner Beobachtungen gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt.
hth
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