Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Do 03.08.2006 | | Autor: | ClaudiV |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Erwartungswert einer Zufallsvariablen mit der Dichtefunktion f(x) = [mm] \bruch{\lambda^{x} e^{-\lambda}}{x!} [/mm] für x=0, 1, 2,....
b) Berechnen Sie das zweite Moment einer Zufallsvariablen mit der oben angegebenen Dichte und leiten Sie daraus die Varianz ab.
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Das geht ja glaub ich irgendwie mit [mm] \integral_{0}^{\infty}{x*f(x)dx}
[/mm]
Also hier:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x* \bruch{\lambda^{x} e^{-\lambda}}{x!} dx}
[/mm]
Also man muss das ja wohl mit der partiellen Integration lösen. Dabei ist allerdings dann der Bruch das Problem. Also ich weiß weder wie man x! noch wie man [mm] \lambda^{x} [/mm] integriert.
zu b): Also das zweite Moment ist ja eigentlich die Varianz dachte ich immer. Wie soll denn das gemeint sein mit Varianz daraus ableiten?
Und die Varianz berechnet man ja eigentlich so:
V[X] = E[X²]-(E[X])² Das kann ich nur noch nicht machen, weil mir ja der Erwartungswert noch fehlt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 Fr 04.08.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Claudia!
> Berechnen Sie den Erwartungswert einer Zufallsvariablen mit
> der Dichtefunktion f(x) = [mm]\bruch{\lambda^{x} e^{-\lambda}}{x!}[/mm]
> für x=0, 1, 2,....
> b) Berechnen Sie das zweite Moment einer Zufallsvariablen
> mit der oben angegebenen Dichte und leiten Sie daraus die
> Varianz ab.
>
> Das geht ja glaub ich irgendwie mit
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x*f(x)dx}[/mm]
> Also hier:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x* \bruch{\lambda^{x} e^{-\lambda}}{x!} dx}[/mm]
Zunächst ein kl. Hinweis: Die Forenregeln erlauben die reichliche Verwendung von Wörtern wie 'hallo', 'bitte', 'danke', 'tschüß' usw.
Zu deinem Problem: Dein Integral ist in Wirklichkeit eine Summe, weil deine Verteilung eine diskrete Verteilung ist. Wenn du das Ding als Summe schreibst
[mm] \summe_{0}^{\infty}{x* \bruch{\lambda^{x} e^{-\lambda}}{x!}}
[/mm]
dann kannst du ein x wegkürzen und ein [mm] \lambda [/mm] und [mm] e^{-\lambda} [/mm] vor die Summe ziehen. Dann bleibt
[mm] \lambda*e^{-\lambda} \summe_{1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}
[/mm]
Ich geb dir noch 2 mathematische Hinweise: Reihenentwicklung von e und Poisson-Verteilung
Jetzt mach du bitte erstmal weiter.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:07 Fr 04.08.2006 | | Autor: | BAGZZlash |
Hi!
Zur Varianz:
Mit "zweites Moment" ist hier wohl nicht die Varianz gemeint, denn die Varianz ist das "zweite zentrale Moment". Beides ist nur identisch, wenn der Erwartungswert Null ist. Bei stationären Prozessen ist das oft der Fall, deswegen wird das in der Statistik oft etwas flapsig gehandhabt: "Varianz gleich zweites Moment!"
Das n-te Moment einer Verteilung existiert, wenn alle i-ten Momente mit i = 1, ..., n-1 existieren. Zentrale Momente existieren, wenn nicht-zentrale Momente existieren und umgekehrt.
Richtig, für das zweite zentrale Moment benötigt man den Erwartungswert. Es berechnet sich so:
[mm]
\sigma^{2}=var(x)= \begin{cases} \summe_{i=1}^{n}{(x_{i}-\mu)^{2}f(x_{i})}, & \mbox{f(x) diskret} \\ \integral_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^{2}f(x)dx, & \mbox{f(x) stetig} \end{cases}
[/mm]
mit [mm]\mu = E[X][/mm].
Du siehst, wie zentrales und nicht zentrales Moment identisch sind, wenn [mm]\mu = 0[/mm] ist.
Man kann auch schon sehen, wie sich die bekannten Varianzformeln usw. herleiten, um empirische Varianzen auszurechnen (im Grundstudium 'rauf- und 'runtergerechnet). Dabei handelt es sich um Momentenschätzer!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Fr 04.08.2006 | | Autor: | ClaudiV |
Huhu,
so jetzt bin ich mal gespannt, ob das klappt. Hab ewig lang gesucht wie man überhaupt nochmal was dazu schreiben kann.
Also danke erstmal. Das hat mir schon viel weiter geholfen.
Also zu Der Erwartungswertaufgabe: Das müsste dann denke ich /hoffe ich so gehen:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} x*\bruch{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}
[/mm]
= [mm] \lambda e^{-\lambda} \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{\lambda^{x-1}}{(x-1)!} [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda} \summe_{x'=0}^{\infty} \bruch{\lambda^{x'}}{x'!}
[/mm]
Die Summe ist jetzt die Taylorentwicklung von der e-Funktion also:
[mm] \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
zum 2. Moment:
Das hab ich auch mal probiert zu berechnen, steck da aber irgendwie fest:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (xi-\mu)^{2} [/mm] f(xi)
[mm] \summe_{i=1}^{n} (xi-\lambda)^{2} \bruch{\lambda^{xi} e^{-\lambda}}{xi!} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (xi-\lambda)^{2} [/mm] * [mm] e^{-\lambda} \summe_{i=1}^{n} \bruch{\lambda^{xi}}{xi!}
[/mm]
Wenn man das [mm] e^{-\lambda} [/mm] vor die Summe zieht, ergibt sich wieder die Taylorentwicklung der e-Funktion. Dadurch kürzt sich die 2. Summe raus. Bleibt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (xi-\lambda)^{2} [/mm]
Hm die Varianz von der Poissonverteilung ist allerdings V[X] = [mm] \lambda
[/mm]
Also hab ich wohl irgendwas falsch gemacht oder es geht noch irgendwie weiter und ich weiß nicht wie... Wär super, wenn ihr mir nochmal weiterhelfen könntet.
Chaoi Claudia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Fr 04.08.2006 | | Autor: | DirkG |
Nimm mir's nicht übel, aber dein buntes Durcheinanderwerfen der Indizes $x$ und $i$ in ein- und derselben Formel ist zum Haareausraufen, einfach fürchterlich!
Also mal ganz langsam nochmal den Erwartungswert:
[mm] $$\summe_{x=0}^{\infty} x\cdot{}\bruch{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda} \summe_{x=1}^{\infty} \bruch{\lambda^{x-1}}{(x-1)!} [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda} \summe_{x'=0}^{\infty} \bruch{\lambda^{x'}}{x'!} [/mm] = [mm] \lambda$$
[/mm]
Und jetzt erstmal zum zweiten Moment, also noch nicht die Varianz (s.o.):
[mm] $$\summe_{x=0}^{\infty} x^2\cdot{}\bruch{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} [/mm] = [mm] \summe_{x=0}^{\infty} x(x-1)\cdot{}\bruch{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} [/mm] ~ + ~ [mm] \summe_{x=0}^{\infty} x\cdot{}\bruch{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}$$
[/mm]
Dieser "Zerlegungstrick" [mm] $x^2=x(x-1)+x$ [/mm] sichert, dass du im folgenden ähnlich wie beim Erwartungswert oben die Fakultäten kürzen kannst, hier nur eben sogar [mm] $x(x-1)\cdot \frac{1}{x!} [/mm] = [mm] \frac{1}{(x-2)!}$ [/mm] für alle [mm] $x\geq [/mm] 2$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 Mo 07.08.2006 | | Autor: | ClaudiV |
Hallo nochmal,
also das mit dem Erwartungswert hab ich nun verstanden. Danke!
Aber das 2. Moment bereitet mir noch Probleme. Wär super wenn mir nochmal jemand helfen könnte.
> Und jetzt erstmal zum zweiten Moment, also noch nicht die
> Varianz (s.o.):
> [mm][mm] \summe_{x=0}^{\infty} x^2\cdot{}\bruch{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} [/mm]
Hm also ich nehme mal an, dass jetzt für [mm] \mu [/mm] einfach 0 eingesetzt wurde aber woher weiß man, dass das 0 ist? Einfach weil es meist so ist? Weil ich dachte dann ist es die Varianz, aber wir berechnen hier ja noch nicht die Varianz...Hm...
Naja ich hab das jetzt einfach mal probiert auszurechnen:
[mm] \summe_{x=0}^{\infty} x^{2} \bruch{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} [/mm] = [mm] \summe_{x=0}^{\infty} [/mm] x(x-1) [mm] \bruch{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} [/mm] + [mm] \summe_{x=0}^{\infty} [/mm] x [mm] \bruch{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} [/mm] = [mm] \summe_{x=2}^{\infty} \bruch{\lambda^{x-2}e^{-\lambda}}{(x-2!)} [/mm] + [mm] \summe_{x=1}^{\infty} \bruch{\lambda^{x-1}e^{-\lambda}}{(x-1)!} [/mm] = [mm] e^{-\lambda} (\summe_{x'=0}^{\infty} \bruch{\lambda^{x'}}{x'!} [/mm] + [mm] \summe_{x'=0}^{\infty} \bruch{\lambda^{x'}}{x'!}) [/mm] = [mm] e^{-\lambda} (e^{\lambda} [/mm] + [mm] e^{\lambda}) [/mm] = [mm] 2*e^{-\lambda+\lambda} [/mm] = 2
Hm 2 wäre also wenn meine Rechnung stimmt das 2. Moment. Ist das richtig? Und wie kann ich nun daraus die Varianz ableiten. Diese ist bei der Poissonverteilung ja [mm] \lambda [/mm] und nicht 2 :-(
Chao Claudia
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Um das zweite zentrale Moment auszurechnen, brauchst Du den Erwartungswert, den Du vorher berechnet haben mußt. Bei der Poissonverteilung ist [mm]\mu=E[X]=\lambda[/mm], damit ist dann auch das zweite zentrale Moment, die Varianz, ebenfalls [mm]var(X)=\lambda[/mm].
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Mo 07.08.2006 | | Autor: | DirkG |
Original ClaudiV:
[mm]\summe_{x=0}^{\infty}[/mm] x(x-1) [mm]\bruch{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}[/mm] + [mm]\summe_{x=0}^{\infty}[/mm] x [mm]\bruch{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}[/mm] = [mm]\summe_{x=2}^{\infty} \bruch{\lambda^{x-2}e^{-\lambda}}{(x-2!)}[/mm] + [mm]\summe_{x=1}^{\infty} \bruch{\lambda^{x-1}e^{-\lambda}}{(x-1)!}[/mm]
Und da ist er schon passiert, der Rechenfehler! Richtig ist an der Stelle
[mm] $$\summe_{x=0}^{\infty} [/mm] x(x-1) [mm] \bruch{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} [/mm] + [mm] \summe_{x=0}^{\infty} [/mm] x [mm] \bruch{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} [/mm] = [mm] \lambda^2\summe_{x=2}^{\infty} \bruch{\lambda^{x-2}e^{-\lambda}}{(x-2!)} [/mm] + [mm] \lambda \summe_{x=1}^{\infty} \bruch{\lambda^{x-1}e^{-\lambda}}{(x-1)!}$$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mo 07.08.2006 | | Autor: | ClaudiV |
Ohje....das sind dann immer so die Klausurfehler, wo man vergisst das davor zu schreiben oder n Vorzeichen vergisst oder so....Also nochmal...
[mm] \lambda^{2} e^{-\lambda} \summe_{x=2}^{\infty} \bruch{\lambda^{x-2}}{(x-2)!} [/mm] + [mm] \lambda e^{-\lambda} \summe_{x=1}^{\infty} \bruch{\lambda^{x-1}}{(x-1)!} [/mm] = [mm] e^{-\lambda} (\lambda^{2} \summe_{x'=0}^{\infty} \bruch{\lambda^{x'}}{x'!} [/mm] + [mm] \lambda \summe_{x'=0}^{\infty} \bruch{\lambda^{x'}}{x'!}) [/mm] = [mm] e^{-\lambda} (\lambda^{2} e^{\lambda}+ \lambda e^{\lambda}) [/mm] = [mm] e^{-\lambda} e^{\lambda} \lambda [/mm] + [mm] e^{-\lambda} e^{\lambda} \lambda^{2} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] + [mm] \lambda^{2}
[/mm]
Hm ist das jetzt so richtig? Aber auch wenn ich da vielleicht auf der Leitung stehe, hab ich immernoch nicht verstanden wie man jetzt daraus das 2. zentrale Moment (die Varianz) ableiten kann, die ja nun [mm] \lambda [/mm] ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mo 07.08.2006 | | Autor: | DirkG |
Ja, so stimmt's.
Und zur Berechnung der Varianz $V(X) = [mm] E(X-E(X))^2$ [/mm] nutzt du jetzt am besten die alternative Darstellung $V(X) = [mm] E(X^2)-(E(X))^2$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 08.08.2006 | | Autor: | ClaudiV |
Juhu!
Danke für die viele Hilfe!
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