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Hallo!
Sietze mal wieder vor einen Stochastik-Aufgabe und komme nicht weiter:
Roulette-Spiel:
Man spielt über mehrere Runden und setzt jedesmal auf "rot", bis zum ersten Mal tatsächlich "rot" kommt
(WSK [mm] \bruch{18}{27}).
[/mm]
Dann beendet man das Spiel.
Die Höhe des Einstzes beträgt in der 1. Runde 1 Euro, in der ggf. 2. Runde 2 Euro,
allg. in der n-ten Runde (falls man so lang spielen muss: [mm] 2^{n-1} [/mm] Euro.
Beim Roulette erh. man beim Setzen auf "rot" den doppeltren Einsatz zurück,
falls auch "rot" kommt, ansonsten verfällt der Einsatz.
a)
Was sind Verteilung & Erwartungswert des Gesamtgewinnes X, wenn man die Strategie bis zum Ende durchhält?
Wie lange muss man im Mittel spielen?
Welchen Betrag hat man im Mittel bis zur letzten Runde gesetzt?
b)
Wenn man über 1,1 Mrd. Euro verfügt, können Sie die Verdopplungs-Strategie höchstens bis zur 30. Runde durchstehen.
Wie sieht die Verteilung und der Erwartungswert des Gesamtgewinns X aus,
wenn das Spiel nach der 30. Runde abgebrochen wird?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Wäre Euch sehr dankbar!
GuK
Karin
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Hallo karin1982!
a) in der 1. Runde hast Du 1 Euro gesetzt und kannst 2 gewinnen. Der Reingewinn beträgt dann 1 Euro, fall Du gewinnst. in der zweiten Runde hättest Du 1 Euro verloren, 2 gesetzt und kannst 4 gewinnen. wenn Du gewinnst, machst Du also einen Euro Gewinn. Wenn Du Dir die geometrische Reihe für den Einsatz ansieht und mit dem möglichen Gewinn in dieser Runde vergleichst erhälts Du allgemein.
Einsatz in der k-ten Runde: [mm] \summe_{i=0}^{k-1} 2^{i} [/mm] = [mm] 2^{k}-1
[/mm]
Gewinn in der k-ten Runde: [mm] 2*2^{k-1} [/mm] = [mm] 2^{k}
[/mm]
Differenz: 1
Falls Du gewinnst - und irgendwann tust Du das - gewinnst Du 1 Euro. Daher ist das auch der Erwartungswert für den Gewinn.
Sei nun X die Zufallsvariable, die mißt, in welcher Runde Du gewinnst. Diese ist geometrisch verteilt. D.h. es gilt: p(X=k) = [mm] (1-p)^{k-1} [/mm] * p, wobei p die Gewinnwahrscheinlichkeit ist, in unserem Fall ist p=18/37.
Wir suchen nun das kleinste n, für das gilt [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] p(X=k) [mm] \ge [/mm] 1/2
Dieses n ist dan die wahrscheinliche Spieldauer. Nach Verwandlung der Summe in eine geometrische Reihe erhält man n=2. Man muß also in der Regel nur 2 Runden spielen, bis man Erfolg hat.
Da die Wahrscheinlichkeit inder 1. Runde zu gewinnen gleich 18/37 ist, und die in der 2. zu gewinnen gleich (19/37)*(18/37) ist und die Einsätze bis dahin 1 bzw 3 Euro betrugen, ist der durchschnittliche Einsatz bis zum Gewinn gleich
(18/37)*1 + (19/37)*(18/37)*3 =1,24 Euro
b) Wenn Du 30 Runden spielt und dann abbrichst, dann ist die Wahscheinlichkeit, immer zu verlieren gleich q=(19/37)^30, die Wahrscheinlichkeit einmal zu gewinnen entsprechend 1-q.
Bis zur 30. Runde hast Du 2^30-1 Euro ist Spiel gesteckt. Der Erwartungswert des Gewinns ist dann
(1-q)*1-q*(2^30-1)=-1.225646449
Zur Verteilung:
p(Gewinn = 1) = 1-q
p(Gewinn = -2^30+1) = q
p(sonst) = 0
Du siehst, wenn Du ewig spielen könnest, gewinnst Du sicher, wenn Du nur 30 Runden spielen darfst, dann verlierst Du wahrscheinlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Do 13.01.2005 | | Autor: | karin1982 |
Vielen Dank für Deine nette Hilfe!
GuK
Karin
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