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Forum "Uni-Stochastik" - Erwartungswert
Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 Di 15.07.2008
Autor: GrandHill

Aufgabe
Es ist gegeben: u.i.v Daten (Zufallsvariablen) [mm] x_{1},...,X_{N} [/mm] mit einer Dichte
p(x; [mm] \lambda)=\begin{cases} \bruch{2x}{\lambda^{2}} e^{-(\bruch{x}{\lambda})^{2} }, & \mbox{falls } x \mbox{ >0} \\ 0, & \mbox{sonst. } \end{cases} [/mm]
Dabei sei [mm] \lambda [/mm] > 0 unbekannt.
Berechnen Sie den Erwartungswert [mm] EX_{1} [/mm]

Hallo zusammen,
leider bekomme ich bei dem Erwartungswert unendlich raus...kann aber nicht wirklich sein.
Kann mir einer den Erwartungswert sagen?
Wie es funktionieren sollte ist mir schon klar: [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x p(x; \lambda) dx} [/mm]

Danke für eure Hilfe!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:16 Di 15.07.2008
Autor: Al-Chwarizmi

rein numerisch erhalte ich das Ergebnis   [mm] \approx 0.8862269*\lambda [/mm]

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Di 15.07.2008
Autor: GrandHill

hmm, dann weiß ich auch nicht weiter.

Ich habe mal meine Schritte als Datei angehängt. Vielleicht kann da einer mal drüberschauen...Hab ich vielleicht eine Stammfunktion falsch gemacht?

Danke nochmal!


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Di 15.07.2008
Autor: Somebody


> hmm, dann weiß ich auch nicht weiter.
>  
> Ich habe mal meine Schritte als Datei angehängt. Vielleicht
> kann da einer mal drüberschauen...Hab ich vielleicht eine
> Stammfunktion falsch gemacht?

Du hast schon Deinen Faktor $v(x)$ falsch angesetzt, denn wenn Dein erster Faktor [mm] $u(x)=x^2$ [/mm] sein soll, dann ist Dein zweiter Faktor [mm] $v(x)=e^{-\frac{x^2}{\theta^2}}$. [/mm]
Leider lässt sich dieser Integrand, [mm] $x^2\cdot e^{-\frac{x^2}{\theta^2}}$, [/mm] nicht elementar integrieren.


Bezug
        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 Di 15.07.2008
Autor: Somebody


> Es ist gegeben: u.i.v Daten (Zufallsvariablen)
> [mm]x_{1},...,X_{N}[/mm] mit einer Dichte
>  p(x; [mm]\lambda)=\begin{cases} \bruch{2x}{\lambda^{2}} e^{-(\bruch{x}{\lambda})^{2} }, & \mbox{falls } x \mbox{ >0} \\ 0, & \mbox{sonst. } \end{cases}[/mm]
>  
> Dabei sei [mm]\lambda[/mm] > 0 unbekannt.
>  Berechnen Sie den Erwartungswert [mm]EX_{1}[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  leider bekomme ich bei dem Erwartungswert unendlich
> raus...kann aber nicht wirklich sein.
>  Kann mir einer den Erwartungswert sagen?

Ja, der ist [mm] $\frac{\sqrt{\pi}\lambda}{2}$. [/mm]

>  Wie es funktionieren sollte ist mir schon klar:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x p(x; \lambda) dx}[/mm]

Dieses Integral kannst Du auf die []Gammafunktion zurückführen.

Bezug
        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Di 15.07.2008
Autor: luis52

Moin GrandHill,

zunaechst ein [willkommenmr]

Machen wir doch gleich Naegel mit Koepfen und berechnen
[mm] $\operatorname{E}[X^n]$. [/mm] Mit [mm] $u=(x/\lambda)^2$, $x=\lambda u^{1/2}$, $dx=\lambda du/(2u^{1/2})$ [/mm] erhaelt man:


[mm] \begin{matrix} \operatorname{E}[X^n] &=&\frac{2}{\lambda^2}\int_0^\infty x^{n+1}e^{-(x\lambda)^2}\,dx \\ &=&\frac{2}{\lambda^2}\int_0^\infty\lambda^{n+1} u^{n/2+1/2}e^{-u}\,\frac{\lambda du}{2u^{1/2}} \\ &=&\lambda^n\int_0^\infty u^{(n/2+1)-1}e^{-u}\, du \\ &=& \lambda^n\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right) \end{matrix} [/mm]






vg Luis
            

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:50 Mi 16.07.2008
Autor: GrandHill

An alle ein herzliches Dankeschön!!!
Das ist echt super!!

Bezug
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