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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Di 15.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Zeigen sie :
Der Erwartungswert einer [mm] \IN_{0} [/mm] -wertigen Zufallsgröße X (egal ob er endlich ist oder nicht) ist gegeben durch :
E[X] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] P(X > k) |
Hallo Leute, ich brauche bei der Aufgabe einen Tipp.
Also ich habe so angefangen :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] P(X > k) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} 1-P(X\le [/mm] k) =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} 1-P(X\le [/mm] k) =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n- [mm] \summe_{k=0}^{n}P(X\le [/mm] k) =
...
... = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] k P(X=k) = E[X]
Wie drösele ich das ding vor dem ... weiter auf? Wie mache ich aus P(X [mm] \le [/mm] k) = P(X = k) ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 15.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
$P(X>k)=P(X=k+1) + P(X=k+2) + [mm] P(X=k+3)+\ldots$
[/mm]
Du kannst das auch mit [mm] $P(X\leq [/mm] k)$ machen, aber es ist wesentlich einfacher, wenn Du gleich am Anfang
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] P(X > k)$
ersetzt.
> Wie mache ich aus P(X $ [mm] \le [/mm] $ k) = P(X = k) ?
Bitte gewöhn Dir ab, ein "=" wie ein Komma oder einen Gedankenstrich zu verwenden.
$P(X [mm] \le [/mm] k) = P(X = k) $
ist eine Aussage, und diese Aussage ist falsch. (i.a. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Di 15.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Ja habe ich auch erst im Nachhinein gemerkt,dass das Geschriebene unsinnig ist.
Danke für die Antwort, allerdings sehe ich nicht, was mir der Tipp genau bringt?
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] P(X > k) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] P(X=k+1) + P(X=k+2) + [mm] P(X=k+3)+\ldots
[/mm]
Ich summiere dann P(X = k+i) auf bis i -> unendlich? Wo ist denn da das k-fache?
lg
EDIT :
Also vlt doch :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] P(X=k+1) + P(X=k+2) + [mm] P(X=k+3)+\ldots [/mm] =
0*P(X=0)+[P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+...]+[P(X=2)+P(X=3)+....]+[P(X=3)+...]+ [mm] \summe_{k=3}^{\infty} [/mm] P(X=k+1) + P(X=k+2) + [mm] P(X=k+3)+\ldots [/mm] =
0*P(X=0)+1*P(X=1)+2*P(X=2)+3*P(X=3)+.... = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] k*P(X=k) = E[X]
Geht doch wunderbar auf, ich hoffe,sowas reicht als Beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Di 15.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
1. schreib's schön als Dreieck, d.h.
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| | 2: | P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + ...
| | 3: | + P(X=2) + P(X=3) + ...
| | 4: | + P(X=3) + ...
| | 5: | + ...
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2. Warum darfst Du die Summationsreihenfolge ändern?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Di 15.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Hmm,... durfte man das eigentlich nicht nur bei endlichen Reihen/Summen? ..
Dann dürften wir das hier doch gar nicht?
lg
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Hiho,
> Hmm,... durfte man das eigentlich nicht nur bei endlichen Reihen/Summen?
Was sind denn endliche Reihen? Was sind endliche Summen?
Nachschlagen! Tipp: Absolute Konvergenz.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Di 15.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Ja klar kenne ich absolute konvergenz, dies isth alt,wenn die summe der einzelbeträge konvergiert.
Aber hier in dem Fall wissen wir doch nichts über die Summanden? In der Aufgabe steht sogar, egal OB endlich oder nicht?
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Hiho,
> Aber hier in dem Fall wissen wir doch nichts über die Summanden?
Ach nicht? Was weißt du denn allgemein über [mm] $\IP(A)$?
[/mm]
Ich weiß recht sicher, dass $0 [mm] \le \IP(A) \le [/mm] 1$ und damit sind insbesondere alle Summanden nichtnegativ!
Damit ist die Summe also was?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Di 15.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Jap das weiß ich auch,aber was ist mit dem Fall,dass es ein unendlicher Erwartungswert ist? Dann kann man auch nichts über die Summanden sagen und somt nicht umordnen und somit gälte die Formel aus der AUfgabenstellung nicht?
lg
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Hiho,
> Jap das weiß ich auch,aber was ist mit dem Fall,dass es ein unendlicher Erwartungswert ist? Dann kann man auch nichts über die Summanden sagen und somt nicht umordnen und somit gälte die Formel aus der AUfgabenstellung nicht?
Warum sollte man das nicht können?
Ist der Erwartungswert unendlich und sind alle Summanden nichtnegativ, so hat auch jede Umordnung den Wert unendlich.
Ergo: Umordnungen ändern nix.
Wenn du das nicht nachvollziehen kannst, nacharbeiten!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Di 15.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Du meintest doch : Stichwort absolute konvergenz? Wenn eine Reihe absolut konvergent ist, ist sie endlich -> man kann sie umordnen.
Im dem Fall,dass der Erwartungswert unendlich ist, ist somit doch auch die Reihe nicht konvergent(somit auch auf jedenfall nicht absolut konvergent), ergo ich kann sie nicht umordnen?
Sehe ich iwas falsch oder was sollte ich bei absoluter Konvergenz nachgucken? Vlt. habe ich es falsch aufgegriffen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Du meintest doch : Stichwort absolute konvergenz? Wenn eine Reihe absolut konvergent ist, ist sie endlich -> man kann sie umordnen.
Wenn das "->" ein "und" ersetzen soll, dann ist das richtig. Ein [mm] $\Rightarrow$ [/mm] wäre hingegen falsch, weil daraus, daß sie endlich ist, nix folgt.
> Im dem Fall,dass der Erwartungswert unendlich ist, ist somit doch auch die Reihe nicht konvergent(somit auch auf jedenfall nicht absolut konvergent), ergo ich kann sie nicht umordnen?
Dieses ergo ist logisch abenteuerlich. Zur Erläuterung eine äquivalente Schlußfolgerung:
"Ich heiße Stefan und hab alle Tassen im Schrank. Du heißt nicht Stefan (nehm ich an), ergo hast Du nicht mehr alle Tassen im Schrank."
Selbst wenn Du zertifiziert beknackt wärst (man beachte den Irrealis), würde das nicht an Deinem suboptimalen Vornamen liegen. Das "ergo" ist Quark. =)
Richtig ist:
Reihe absolut konvergent [mm] $\gdw$ [/mm] Reihe unbedingt konvergent [mm] ($\hat [/mm] =$ man kann umordnen, ohne den Grenzwert zu verändern)
Zu zeigen:
Reihen mit nur positiven Gliedern können immer umgeordnet werden.
1. Fall: Die Reihe ist konvergent. Dann ist die Aussage trivial, weil die Reihe ihre eigene Absolutreihe ist.
2. Fall: Die Reihe ist unendlich...
Tip: Widerspruchsbeweis
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Mi 16.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Und man muss wirklich hier einen Beweis führen oder sollte das nur für mich sein? ;)
Weil wir haben ja nur positive Summanden, können also umordnen und ich kann meine Aufgabe lösen :)
lg und danke
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Hiho,
> Und man muss wirklich hier einen Beweis führen oder sollte
> das nur für mich sein? ;)
das musst du wissen, was erwartet wird. Das gehört aber eigentlich zum Standardwissen aus Analysis II.
> Weil wir haben ja nur positive Summanden, können also
> umordnen und ich kann meine Aufgabe lösen :)
Jop.
MFG,
Gono.
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