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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Erwartungswert:Element finden
Erwartungswert:Element finden < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Erwartungswert:Element finden: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 So 16.12.2012
Autor: yonika

Aufgabe
In einem unsortierten Array befinden sich n Elemente, wir wollen ein bestimmtes Element x finden.
Wir ziehen nacheinander zufällig einzelne Elemente und pruefen, ob wir erfolgreich sind. Das machen wir solange, bis Element x gefunden wurde.
Wenn wir ein Element geprueft haben, wird es nicht zurueckgelegt.
Was ist die erwartete Anzahl an Schritten bis wir x gefunden haben?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Mein Ansatz:

[mm] p_{i} [/mm] Wahrscheinlichkeit, x in Schritt i zu finden
[mm] k_{i} [/mm] Wahrscheinlichkeit, x bis (einschliesslich) Schritt i nicht gefunden zu haben

Notation fuer Ereignisse:
i = 2   <=>  x in Schritt 2 finden
i [mm] \not=2 [/mm]   <=>  x bis einschliesslich Schritt 2 nicht finden

[mm] p_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm]
[mm] k_{1} [/mm] = 1 - [mm] p_{1} [/mm] =  [mm] \bruch{n-1}{n} [/mm]

[mm] p_{2} [/mm] = [mm] k_{1} [/mm] * P(i=2|i [mm] \not=1) [/mm] = [mm] k_{1} [/mm] * P(i=2 [mm] \cap [/mm] i [mm] \not=1) [/mm] / [mm] k_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] * [mm] \bruch{n-1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm]
[mm] k_{2} [/mm] = [mm] k_{1} [/mm] * [mm] P(i\not=2|i \not=1) [/mm] = [mm] k_{1} [/mm] * [mm] P(i\not=2 \cap [/mm] i [mm] \not=1) [/mm] / [mm] k_{1} [/mm] = [mm] \bruch{n-1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{n-2}{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{n-2}{n} [/mm]

[mm] p_{3} [/mm] = [mm] k_{2} [/mm] * P(i=3|i [mm] \not=2) [/mm] = [mm] k_{2} [/mm] * P(i=3 [mm] \capi \not=2) [/mm] / [mm] k_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-2} [/mm] * [mm] \bruch{n-2}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm]
[mm] k_{3} [/mm] = [mm] k_{2} [/mm] * [mm] P(i\not=3|i \not=2) [/mm] = [mm] k_{2} [/mm] * [mm] P(i\not=3 \cap [/mm] i [mm] \not=2) [/mm] / [mm] k_{2} [/mm] = [mm] \bruch{n-2}{n} [/mm] * [mm] \bruch{n-3}{n-2} [/mm] = [mm] \bruch{n-3}{n} [/mm]

...


[mm] p_{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm]
[mm] k_{i} [/mm] = [mm] \bruch{n-i}{n} [/mm]

Erwartete Anzahl Schritte:
E[x] = [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] * [mm] p_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i * [mm] \bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] =  [mm] \bruch{n+1}{2} [/mm]

Vielen Dank fuer Korrekturvorschläge!
Schönen Gruss

        
Bezug
Erwartungswert:Element finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 So 16.12.2012
Autor: luis52

Moin

>  
> Vielen Dank fuer Korrekturvorschläge!

Es gibt nichts auszusetzen. [ok]

>  Schönen Gruss

Ebenfalls,

Luis


Bezug
                
Bezug
Erwartungswert:Element finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:36 So 16.12.2012
Autor: yonika

Vielen Dank!

Bezug
        
Bezug
Erwartungswert:Element finden: Folgefrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 So 16.12.2012
Autor: yonika

Aufgabe
Ist der Erwartungswert geringer als die erwarteten Anzahl an Schritte, wenn man bereits gepruefte Elemente wieder zuruecklegt?

Ohne Zuruecklegen:

E[x] = [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] * [mm] p_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i * [mm] \bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] =  [mm] \bruch{n+1}{2} [/mm]


Mit Zuruecklegen:

E[x] = [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] * [mm] p_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i * [mm] (\bruch{n-1}{n})^{i-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n} [/mm] =  [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i * ( [mm] \bruch{n-1}{n} )^{i-1} [/mm]

Wie ich auf [mm] p_{i} [/mm] =  [mm] (\bruch{n-1}{n})^{i-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n} [/mm] kam:

Um genau in Schritt i Erfolg zu haben..
...muessen Schritte k < i fehlgeschlagen haben: [mm] (\bruch{n-1}{n})^{i-1} [/mm]
...muss Schritt i erfolgreich sein: [mm] \bruch{1}{n} [/mm]


Ich gehe davon aus, dass die erwartete Anzahl Schritte mit Zuruecklegen geringer sein muesste, jedoch gilt offensichtlich:

[mm] (\bruch{n-1}{n})^{i-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n} [/mm]

Vielleicht könnt ihr mir ja sagen, wo ich einem Denkfehler unterliege?



Bezug
                
Bezug
Erwartungswert:Element finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 So 16.12.2012
Autor: luis52

Moin, hier bin ich mit deiner Rechnung nicht einverstanden. Wenn du mit Zuruecklegen ziehst, ist die Anzahl der Zuege  unbegrenzt. Es laeuft dann auf eine geometrische Verteiung hinaus.

vg Luis

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert:Element finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:07 So 16.12.2012
Autor: yonika

Ah, vielen Dank fuer den Hinweis!

Schönen Gruss

Bezug
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