Erwartungswert Pasch < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 Mi 15.12.2021 | | Autor: | Andi354 |
| Aufgabe | Bei einem bekannten Brettspiel wird bei jedem Wurf mit zwei Würfeln geworfen. Wirft ein Spieler einen Pasch (d.h. mit beiden Würfeln die selbe Augenzahl), so darf er nochmal Würfeln. Insgesamt sind höchsten zwei Extrawürfe möglich. Das heißt, ein Spieler darf jede Runde höchstens dreimal würfeln.
Sei W eine Zufallsvariable für die Anzahl der Würfe eines Spielers in einer Runde. Bestimmen Sie den Erwartungswert von W.
Lösung: E(W) = [mm] 1*\bruch{5}{6}+2*\bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}+3*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6} [/mm] = [mm] 1\bruch{7}{36} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Lösung für die die Aufgabe ist bereits gegeben, allerdings verstehe ich nicht, wie man auf diese kommt. Ich weiß, dass man für den Erwartungswert [mm] \summe_{i=1}^{3}(i*p[W=i]) [/mm] ausrechnen muss, jedoch nicht wie man auf die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten in der Lösung kommt. Wäre nett, wenn es mir jemanden hier erklären könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Mi 15.12.2021 | | Autor: | Fulla |
> Lösung: E(W) =
> [mm]\blue{1}*\bruch{5}{6}+\blue{2}*\bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}+\blue{3}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}[/mm]
> = [mm]1\bruch{7}{36}[/mm]
Hallo Andi!
der Editor spinnt leider gerade etwas, aber ich habe oben im Zitat die Faktoren 1, 2 und 3 blau eingefärbt. Diese Zahlen stehen für die Anzahl der Würfe (man kann ja 1, 2 oder 3 mal würfeln), der Rest sind die Wahrscheinlichkeiten für die jeweilige Anzahl an Würfen.
Im Fall von "nur einmal würfeln" ist der erste Würfel egal, der Zweite darf aber nicht dieselbe Zahl zeigen (sonst hätten wir ja einen Pasch und dürften nochmal würfeln). Das ist in [mm] $\frac [/mm] 56$ der möglichen Würfe der Fall. Hier versteckt sich eigentlich eine 1 als Faktor für den ersten Würfel, d.h. man könnte hier auch schreiben [mm] $1*\frac [/mm] 56$.
Bei "genau zweimal würfeln" ist auch der erste Würfel egal, aber der Zweite muss dieselbe Augenzahl zeigen, wie der Erste. Daher das [mm] $\frac [/mm] 16$. Dann wird erneut geworfen, der erste Würfel ist wieder egal, aber aber der Zweite darf keinen Pasch erzeugen, er muss also eine andere Augenzahl zeigen, darum die [mm] $\frac [/mm] 56$. Auch hier versteckt sich da noch eine 1, d.h. [mm] $1*\frac 16*1*\frac [/mm] 56$.
Den Fall "dreimal würfeln" kriegst du bestimmt selber hin, aber hier noch die Erklärung: Bei den ersten zwei Würfen brauchen wir jeweils einen Pasch. Dabei ist der erste Würfel egal, aber der jeweils Zweite muss "passen", also dieselbe Zahl zeigen, beim dritten Wurf ist dann alles egal, weil es eh der letzte Wurf ist. Wir haben also [mm] $1*\frac [/mm] 16 [mm] *1*\frac [/mm] 16 *1*1$ (die 1er stehen dabei jeweils für "es ist egal, was bei diesem Wurf/Würfel passiert").
Wenn diese Wahrscheinlichkeiten jeweils mit der Anzahl der Würfe multipliziert werden, bekommst du den Erwartungswert für die Anzahl der Würfe.
Ich hoffe, das war einigermaßen klar, ansonsten frag einach nochmal nach.
Lieben Gruß
Fulla
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Es gibt eine weitere (und in meinen Augen einfachere) Erklärung, die aber einen anderen Rechenweg nimmt.
In jeder Runde wird auf jeden Fall einmal geworfen.
Mit der W. 1/6, also durchschnittlich jedes 6. Mal, kommt ein zweiter Wurf hinzu, pro Runde also durchschnittlich noch 1/6 Wurf.
Mit der W. 1/6*1/6 = 1/36 kommt noch ein weiterer Wurf hinzu, also pro Runde noch 1/36 Wurf.
Macht zusammen 1 + 1/6 + 1/36 = 1 [mm] \bruch{7}{36}.
[/mm]
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