Erwartungswert Ungleichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Mi 11.05.2011 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für jede kontinuierliche Zufallsvariable X mit Dichte und jede reelle Zahl a > 0 gilt:
[mm] P(|X|\ge a)\le \bruch{E(|X|)}{a}.
[/mm]
Hinweis: Implizit nehmen wir hier an, dass E(|X|) auch existiert. |
Hallo,
also folgendes habe ich mir gedacht:
Statt [mm] P(|X|\ge a)\le \bruch{E(|X|)}{a} [/mm] zu zeigen, versuche ich es lieber bei
[mm] P(|X|\ge a)*a\le [/mm] E(|X|).
[mm] P(|X|\ge [/mm] a) = 1 - [mm] \integral_{-a}^{a}{f(y) dy} [/mm] bzw.
[mm] P(|X|\ge [/mm] a)*a = a - a* [mm] \integral_{-a}^{a}{f(y) dy}.
[/mm]
E(|X|) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x* f(x) dx}.
[/mm]
Ich dachte, dass es am besten durch abschätzen der einzelnen Integrale
zu beweisen wäre. Ich würde also bei der rechten Seite anfangen und immer weiter abschätzen:
E(|X|) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x* f(x) dx} \ge \integral_{-a}^{a}{x* f(x) dx} \ge [/mm] ...bis ich irgendwann a - a* [mm] \integral_{-a}^{a}{f(y) dy} [/mm] stehen habe.
Meine Fragen nun dazu:
1. Sind meine bischerigen Überlegungen richtig?
2. Wenn ja wie kann man das weiter abschätzen? Ich weiss wirklich nicht
wie man das weiter abschätzen könnte, sodass man auf das letzte Integral kommt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $E(|X|) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x\cdot{} f(x) dx} \ge \integral_{-a}^{a}{x\cdot{} f(x) dx} \ge [/mm] $
hier fehlt der Betrag ums x.
Zeig mal mit Fubini
[mm] $E(Y)=\int_0^\infty P(Y\geq [/mm] a)\ da$
(Y nichtnegative ZV mit Dichte, E(Y) existiert)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Do 12.05.2011 | | Autor: | folken |
Danke erstmal für die schnelle Antwort,
ich versteh leider noch nicht ganz was mir das so bringt das zu zeigen, bzw.
wo ich das in meinen bisherigen Schritten genau anwenden muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Do 12.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> ich versteh leider noch nicht ganz was mir das so bringt das zu zeigen, bzw.
Es bringt Dir, daß
[mm] $\int_0^\infty P(Y\geq [/mm] z)\ dz [mm] \geq [/mm] a [mm] P(Y\geq [/mm] a)$
für alle [mm] $a\in\IR^+$, [/mm] weil [mm] $P(Y\geq [/mm] a)$ monoton fallend ist. Damit bist Du dann effektiv fertig. =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:47 Do 12.05.2011 | | Autor: | folken |
Danke, ich habs jetzt.
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