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| Aufgabe | | Seien X und Y unabhängige ZVen, für die [mm] E(X^2) [/mm] und [mm] E(Y^2) [/mm] existieren. Weiter sei c eine reelle Zahl. Berechnen Sie: Cov(X + c; Y ). |
Die Lösung die ich habe, lautet so:
Cov(x+c,y) = E ((x+c)y) - E(x+c) E(y)
= E (xy + cy) - E(x+c) E(y)
= E (xy) + E(cy) - E(E(y)x + E(y)c)
= E (xy) + cE(y) - E(E(y)x) + E(E(y)c)
= E (xy) + cE(y) - E(y) E(x) - E(y)c
= E (xy) - E(y) = E(xy) - E(xy) = c
Ist diese Lösung korrekt? Die letzten beiden Zeilen leuchten mir nicht so recht ein. Würde mich über eine Antwort sehr freuen, da ich am Freitag die Klausur schreibe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Seien X und Y unabhängige ZVen, für die [mm]E(X^2)[/mm] und [mm]E(Y^2)[/mm]
> existieren. Weiter sei c eine reelle Zahl. Berechnen Sie:
> Cov(X + c; Y ).
> Die Lösung die ich habe, lautet so:
>
> Cov(x+c,y) = E ((x+c)y) - E(x+c) E(y)
> = E (xy + cy) - E(x+c) E(y)
> = E (xy) + E(cy) - E(E(y)x + E(y)c)
> = E (xy) + cE(y) - E(E(y)x) + E(E(y)c)
> = E (xy) + cE(y) - E(y) E(x) - E(y)c
> = E (xy) - E(y) = E(xy) - E(xy) = c
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> Ist diese Lösung korrekt? Die letzten beiden Zeilen
> leuchten mir nicht so recht ein. Würde mich über eine
> Antwort sehr freuen, da ich am Freitag die Klausur
> schreibe.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Nein, die Lösung ist so nicht ganz korrekt!
Es muss in jedem Fall Null rauskommen, was es auch tut, wenn man es bis zum Schluss richtig hinschreibt.
Denn es gilt Cov(X+c,Y)=Cov(X,Y)=0, da X und Y unabhängig!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Mi 16.02.2011 | | Autor: | DARKMAN_X |
Könntest du mir die korrekte Lösung aufschreiben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Mi 16.02.2011 | | Autor: | MaTEEler |
> Könntest du mir die korrekte Lösung aufschreiben?
Ich probiers mal:
1. Schritt: Nach Verschiebungssatz von Steiner
[mm]Cov(X+c,Y) = E ((X+c)*Y) - E(X+c)*E(Y)=[/mm]
2. Schritt: Ausmultiplizieren im Argument des Erwartungswerts und Ausnutzen der Linearität:
[mm]=E(XY+cY)-E(X+c)*E(Y)=E(XY)+E(cY)-E(X+c)*E(Y)=E(XY)+c*E(Y)-E(X+c)*E(Y)=[/mm]
3. Schritt: Ausnutzen weiterer Eigenschaften des Erwartungswerts (Produkt des Erw. von unabh. ZV´s, Lineare Trafo v. ZV´s):
[mm]=E(X)*E(Y)+c*E(Y)-(E(X)+c)*E(Y)=E(X)*E(Y)+c*E(Y)-E(X)*E(Y)-c*E(Y)=[/mm]
4.Schritt: Zusammenfassen bzw. Wegstreichen der Summanden:
[mm]=E(X)*E(Y)-E(X)*E(Y)+c*E(Y)-c*E(Y)=0[/mm]
Fertig!
Und dass muss auch so sein!
Das ganze geht kürzer, wenn entsprechende Sätze/Eigenschaften der Kovarianz bereits bewiesen sind und angewendet werden dürfen, denn so erspart man sich den Umweg und die Mühe über den Erwartungswert zu gehn:
[mm]Cov(X+c,Y)=Cov(X,Y)=0[/mm]
denn 1. Schritt: Ausnutzen der Linearität der Kovarianz (gilt, da Bilinearform) und [mm]Cov(c,Y)=0[/mm]
und 2. Schritt: X,Y unabh. ZV´s
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Fr 18.02.2011 | | Autor: | DARKMAN_X |
Dankeschön für deine Hilfe.
Habe eine Aufgabe gefunden und mal gelöst müsste eigentlich alles korrekt sein. Wäre nett, wenn du mal ein Auge drauf wirfst.
Cov (X+Y, X-Y) mit Var(X) = Var(Y).
Cov (X+Y, X-Y) = E((X+Y)(X-Y)) - E(X+Y) E(X-Y)
= [mm] E((X^2) [/mm] - [mm] (Y^2)) [/mm] - [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] E(Y^2)
[/mm]
= [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] E(Y^2) [/mm] - [mm] E(E(X^2) [/mm] - [mm] E(Y^2)
[/mm]
= [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] E(Y^2) [/mm] - [mm] E(X^2) [/mm] + [mm] E(Y^2)
[/mm]
= [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] E(Y^2) [/mm] + [mm] E(Y^2)
[/mm]
[mm] E(X^2) [/mm] - [mm] E(X^2) [/mm] = [mm] E(Y^2) [/mm] - [mm] E(Y^2)
[/mm]
Var(X) = Var(Y)
MfG
[mm] DARKMAN_X
[/mm]
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