Erwartungswert,Verteilung,Vari < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Sa 10.01.2015 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Seien [mm] $X_1,...,X_n$unabhängig [/mm] und identisch verteilt mit
[mm] $P(X_1=-1)=q [/mm] $ und [mm] $P(X_1)=1-q$
[/mm]
Ferner sei
[mm] $Y_i [/mm] := [mm] max\{X_i,X_{i+1}\} [/mm] $ für $1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n-1$
$a)$ Bestimmen sie Verteilung,Erwartungswert und Varainz von [mm] $Y_1,...,Y_{n-1}.$
[/mm]
$b)$ Bestimmen sie Verteilung von $Z:= [mm] Y_1Y_2. [/mm] $ Betrachten sie anschließend [mm] $Cov(Y_i,Y_j) [/mm] $ für $1 [mm] \leq [/mm] i,j [mm] \leq [/mm] n-1$ |
zur a)
ich hab mir gedacht,dass die Verteliung von [mm] $Y_1,...,Y_{n-1}.$ [/mm] Multinominal ist.
Ich hab mir das so geacht. [mm] X_1 [/mm] ist ja Binomial verteilt,da
[mm] $P(X_1=-1)=q [/mm] $ und [mm] $P(X_1)=1-q$ [/mm] sein kann. Das gleiche gilt für [mm] X_2,X_3 [/mm] bis [mm] X_n. [/mm] Da dachte ich,dass [mm] Y_1,...,Y_n, [/mm] weil es halt mehrere Ausgangsmöglichkeiten gibt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Mo 12.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo LGS!
> [mm]P(X_1=-1)=q[/mm] und [mm]P(X_1)=1-q[/mm]
Der letzte Ausdruck macht leider nicht viel Sinn.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Di 13.01.2015 | | Autor: | LGS |
Hallo die Acht,
sorry dann muss ich mich verschrieben haben ich korriegiere das selbstverständlich sofort
also $ [mm] P(X_1=-1)=q [/mm] $ und $ [mm] P(X_1=1)=1-q [/mm] $
so steht's auf dem frewiligen Arbeitsblatt :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Di 13.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> Seien [mm]X_1,...,X_n[/mm]unabhängig und identisch verteilt mit
>
> [mm]P(X_1=-1)=q[/mm] und [mm]P(X_1=1)=1-q[/mm]
>
> Ferner sei
>
> [mm]Y_i := max\{X_i,X_{i+1}\}[/mm] für [mm]1 \leq i \leq n-1[/mm]
>
> [mm]a)[/mm] Bestimmen sie Verteilung,Erwartungswert und Varainz von
> [mm]Y_1,...,Y_{n-1}.[/mm]
Moin, *ich* lese die Aufgabe so, dass du nicht die *gemeinsame* Verteilung von [mm](Y_1,...,Y_{n-1})[/mm], sondern die $n-1$ Randverteilungen von [mm]Y_1,...,Y_{n-1}[/mm] bestimmen sollst.
[mm] $X_1$ [/mm] ist nicht binomialverteilt. Das waere so, wenn z.B. [mm]P(X_1=\red{0})=q[/mm] und [mm]P(X_1=1)=1-q[/mm] waere.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 13.01.2015 | | Autor: | LGS |
hallo es ist ja
$ [mm] P(X_1=-1)=q [/mm] $ und $ [mm] P(X_1=1)=1-q [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Di 13.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> hallo es ist ja
>
> [mm]P(X_1=-1)=q[/mm] und [mm]P(X_1=1)=1-q[/mm]
Den kleinsten Wert, den eine binomialverteilte Zufallsvariable annehmen kann, ist $0$, nicht $-1$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Di 13.01.2015 | | Autor: | LGS |
kannst du mir irgendwie eine idee geben ,wie ich an die Aufgabe angehen soll. Mein problem ist ,ich verstehe nicht,was ich hier überhaupt machen soll ,also dieser Grundgedanke fehlt mir...:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Di 13.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> kannst du mir irgendwie eine idee geben ,wie ich an die
> Aufgabe angehen soll. Mein problem ist ,ich verstehe
> nicht,was ich hier überhaupt machen soll ,also dieser
> Grundgedanke fehlt mir...:/
Fangen wir an mit $ [mm] Y_1= \max\{X_1,X_{2}\} [/mm] $. [mm] $Y_1$ [/mm] nimmt nur die Werte $-1$ und $+1$ an, und zwar gilt [mm] $P(Y_1=-1)=P(X_1=-1,X_2=-1))=q^2$ [/mm] wegen der Unabhaengigkeit. Es folgt [mm] $P(Y=1)=1-q^2$. [/mm] Hieraus kannst du leicht Erwartungswert und Varianz berechnen (nicht die einer Binomialverteilung).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Di 13.01.2015 | | Autor: | LGS |
ahh cool
ich hab das jetzt verstanden ,was $ [mm] Y_1= \max\{X_1,X_{2}\} [/mm] $ aussagt.Gilt das jetzt auch für alle restlichen [mm] $Y_{n-2}$? [/mm] müsste ja eigentlich nicht weil es ist ja nur angegeben $ [mm] P(X_1=-1)=q [/mm] $ und $ [mm] P(X_1=1)=1-q [/mm] $
jedoch kann ich keine Verteilung benennen die,diesen Ausgang pflegt also $1 $und $-1.$ Ich hab nen Kumpel aussem Studium angerufen und er hatte auch keine idee.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Di 13.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> ahh cool
>
> ich hab das jetzt verstanden ,was [mm]Y_1= \max\{X_1,X_{2}\}[/mm]
> aussagt.Gilt das jetzt auch für alle restlichen [mm]Y_{n-2}[/mm]?
> müsste ja eigentlich nicht weil es ist ja nur angegeben
> [mm]P(X_1=-1)=q[/mm] und [mm]P(X_1=1)=1-q[/mm]
>
Ich lese in der Aufgabenstellung
Seien $ [mm] X_1,...,X_n [/mm] $unabhängig und identisch verteilt mit
$ [mm] P(X_1=-1)=q [/mm] $ und $ [mm] P(X_1)=1-q [/mm] $
Identisch verteilt!
> jedoch kann ich keine Verteilung benennen die,diesen
> Ausgang pflegt also [mm]1 [/mm]und [mm]-1.[/mm] Ich hab nen Kumpel aussem
> Studium angerufen und er hatte auch keine idee.
>
Macht nichts, nennen wir sie LGS-Verteillung.
Nun mal los: Berechne Erwartungswert und Varianz der LGS-Verteilung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Di 13.01.2015 | | Autor: | LGS |
sorry wenn ich bisschen blöd bin ,aber ist dann [mm] Y_1 [/mm] bis [mm] Y_{n-1} [/mm] auch identisch verteilt ? weil das ist ja dann in a) gefordert
ja formel ist ja da es diskret ist
[mm] E(Y_1)=1-P(Y=1)+-1*P(Y=-1)= 1*(1-q^2)+-1*q^2 [/mm] = [mm] 1+-2q^2 [/mm] als Erwartungswert.
Ich weis , aus der Vorlesung :" Sind X und Y identisch verteilt, dann haben sie den selben Erwartungswert und die selbe Varianz". aber ich weis nicht wir mir das weiter hilft. ich hab momentan so ein Brett vorm kopf in stocha. Sorry wenn der [mm] E(Y_1) [/mm] falsch ist....:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Di 13.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> sorry wenn ich bisschen blöd bin ,aber ist dann [mm]Y_1[/mm] bis
> [mm]Y_{n-1}[/mm] auch identisch verteilt ? weil das ist ja dann in
> a) gefordert
Ja.
>
>
> ja formel ist ja da es diskret ist
>
> [mm]E(Y_1)=1-P(Y=1)+-1*P(Y=-1)= 1*(1-q^2)+-1*q^2[/mm] = [mm]1+-2q^2[/mm] als
> Erwartungswert.
Genau, [mm]E[Y_1]=\dots=E[Y_{n-1}]=1-2q^2[/mm]
>
> Ich weis , aus der Vorlesung :" Sind X und Y identisch
> verteilt, dann haben sie den selben Erwartungswert und die
> selbe Varianz".
Korrekt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Di 13.01.2015 | | Autor: | LGS |
$Var(Y) = [mm] (1-(1-2q^2))^2*1+(-1-(1-2q^2))^2*-1 [/mm] = [mm] 4+8q^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow Var(Y_1)=.......=Var(Y_{n-1})=4+8q^2$
[/mm]
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Di 13.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> [mm]Var(Y) = (1-(1-2q^2))^2*1+(-1-(1-2q^2))^2*-1 = 4+8q^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow Var(Y_1)=.......=Var(Y_{n-1})=4+8q^2[/mm]
>
> richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]Var(Y) = (1-(1-2q^2))^2*(1-q^2)+(-1-(1-2q^2))^2*q^2 = 4q^2(1-q^2)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Di 13.01.2015 | | Autor: | LGS |
da hab ich nen bock geschossen beim aus binomieren.
$b) [mm] P(Y_1=y_1,Y_2=y_2)= P(Y_1=y_1)*P(Y_2=y_2)= P(Y_1=1)*P(Y_2=1)+P(Y_1=-1)*P(Y_2=-1)= (1-q^2 )^2+(q^2)^2= 1+-2q^2+q^4+q^4= 2q^4-2q^2+1$
[/mm]
für [mm] $Cov(Y_i,Y_j) [/mm] $gönn ich ich mir den Verschiebungssatz
[mm] $\operatorname{Cov}(X,Y) [/mm] = [mm] \operatorname{E}(XY) [/mm] - [mm] \operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)$
[/mm]
ich fang mit
[mm] $\operatorname{E}(Y_1Y_2)= E(Y_1)*E(Y_2) [/mm] , $da die unabhängig sind .
Nun ist $ [mm] E[Y_1]=\dots=E[Y_{n-1}]=1-2q^2 [/mm] $
[mm] ${E}(Y_1Y_2)=(1-2q^2) *(1-2q^2 [/mm] )= [mm] 4q^4 -4q^2 [/mm] +1 - [mm] E(Y_1)*E(Y_2)= (4q^4 -4q^2 +1)-(4q^4 -4q^2 [/mm] +1)= 0$
das heißt [mm] $Cov(Y_i,Y_j)= [/mm] 0 $ für $ 1 [mm] \leq [/mm] i,j [mm] \leq [/mm] n-1 $
richtig oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Mi 14.01.2015 | | Autor: | luis52 |
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> [mm]b) P(Y_1=y_1,Y_2=y_2)= P(Y_1=y_1)*P(Y_2=y_2)= P(Y_1=1)*P(Y_2=1)+P(Y_1=-1)*P(Y_2=-1)= (1-q^2 )^2+(q^2)^2= 1+-2q^2+q^4+q^4= 2q^4-2q^2+1[/mm]
Wieso unterstellst du, dass [mm] $Y_1=\max\{X_1,X_2\}$ [/mm] und [mm] $Y_2=\max\{X_2,X_3\}$ [/mm] unabhaengig sind?
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