Erwartungswert bei unabhängige < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Mi 01.07.2009 | | Autor: | taelli |
Hallo,
ich bin gerade am Verzweifeln und ich hoffe mir kann jemand helfen. Mir wäre es wichtig, dass die Hilfe mit Erklärung ist, sonst bin ich beim nächsten Mal so schlau wie jetzt.
Es geht um den Beweis zum Erwartungswert für unabhängige Zufallsvariablen: E(X)*E(Y)=E(X*Y). An sich ist er mir klar, aber mit den Indizes da habe ich arge Probleme.
Es ist zu zeigen, dass für unabhängige Zufallsvariablen X und Y E(X*Y)=E(X)*E(Y) gilt.
Seien X und Y zwei diskrete Zufallsvariablen, mit der gemeinsamen Verteilung [mm] (x_i,y_i,P(X=x_i,Y=y_i). [/mm] Die Zufallsvariabel X kann also die Werte [mm] x_i=1,2…n [/mm] und die Zufallsvariable Y die Werte [mm] y_j=1,2…n [/mm] mit der Wahrscheinlichkeit [mm] P(X=x_i) [/mm] bzw. [mm] P(Y=y_i) [/mm] annehmen.
Ich will es nur für diskrete Zufallsvariablen zeigen. Also lasse ich die Indizes von 1 bis n laufen, wobei n die abzählbaren und abzählbar unendlichen miteinschließt?
Zur Ermittlung des Erwartungswertes von E(X*Y) muss jedes [mm] x_i [/mm] mit jedem [mm] y_j [/mm] multipliziert werden und mit der Wahrscheinlichkeit des Auftretens multipliziert werden, bevor ich es aufaddiere. Anschließend brauche ich ja nur noch die Unabhängigkeit ausnutzen und hätte es.
Aber die Indizes???
LG taelli
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mi 01.07.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Tanja,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Nicht verzweifeln, Hilfe naht. 
Wir verallgemeinern mal die Aufgabe etwas, indem wir annahmen, dass die
gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben ist durch [mm] $P(X=x_i,Y=y_j)$
[/mm]
fuer [mm] $x=x_1,\dots,x_m$ [/mm] und [mm] $y=y_1,\dots,x_n$. [/mm] Im allgemeinen ist der
Erwartungswert nach [mm] $\operatorname{E}[XY]=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^nx_iy_jP(X=x_i,Y=y_j)$ [/mm] zu berechnen. Nun sind $X_$ und $Y_$ unabhaengig, so dass gilt [mm] $P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)$ [/mm] fuer alle $i,j_$. Mithin ist
[mm] \begin{matrix}
\operatorname{E}[XY]
&=&\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^nx_iy_jP(X=x_i,Y=y_j) \\
&=&\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^nx_iy_jP(X=x_i)P(Y=y_j) \\
&=&\sum_{i=1}^mx_iP(X=x_i) \sum_{j=1}^ny_jP(Y=y_j) \\
&=& \operatorname{E}[X]\operatorname{E}[Y]\,.
\end{matrix}
[/mm]
vg Luis
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