Erwartungswert einer Poi-ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Fr 28.12.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe 1 | | Sei X eine Poissonverteilte Zufallsvariable mit Parameter [mm] \lambda [/mm] > 0. Berechne [mm] E\left(\frac{1}{1+X}\right). [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Sei X eine ZV mit Werten in [mm] \IN_0. [/mm] Zeige: [mm] E(X^2)=\summe_{n=1}^\infty(2n-1)P(X\ge [/mm] n). |
Hallo.
Aufgabe 1:
Ich habe hier zunächst die Transformationsformel benutzt
[mm] E\left(\frac{1}{1+X}\right) [/mm] = [mm] \summe_{x\in\Omega'}\frac{1}{1+x}P(X=x)
[/mm]
und dann weiter, dass X poissonverteilt ist
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\frac{1}{1+k}exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}.
[/mm]
Daraus erhält man schließlich [mm] \frac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}. [/mm] Stimmt das?
Aufgabe 2:
Wieder mit der Transformationsformel folgt [mm] E(X^2) [/mm] = [mm] $\summe_{x\in\Omega'}x^2P(X=x) [/mm] = [mm] \summe_{n\in\IN_0}n^2P(X=n) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}n^2P(X=n)$.
[/mm]
Nun liefert der erste Summand keinen Beitrag, so dass wir schreiben können
= $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n^2P(X=n) [/mm] $. Hier komme ich nicht weiter, wie komme ich z.B. von [mm] n^2 [/mm] auf die ungeraden Zahlen (2n-1)?
gruß triad
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Hallo triad,
eine Teilantwort zu 1)
> Sei X eine Poissonverteilte Zufallsvariable mit Parameter
> [mm]\lambda[/mm] > 0. Berechne [mm]E\left(\frac{1}{1+X}\right).[/mm]
> Sei X eine ZV mit Werten in [mm]\IN_0.[/mm] Zeige:
> [mm]E(X^2)=\summe_{n=1}^\infty(2n-1)P(X\ge[/mm] n).
> Hallo.
>
> Aufgabe 1:
>
> Ich habe hier zunächst die Transformationsformel benutzt
>
> [mm]E\left(\frac{1}{1+X}\right)[/mm] =
> [mm]\summe_{x\in\Omega'}\frac{1}{1+x}P(X=x)[/mm]
>
> und dann weiter, dass X poissonverteilt ist
>
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\frac{1}{1+k}exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}.[/mm]
>
> Daraus erhält man schließlich
> [mm]\frac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}.[/mm] Stimmt das?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Jo!
> gruß triad
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Sa 29.12.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ein Tipp zur 2. Aufgabe (bitte erstelle jeweils einen eigenen Thread fuer jede Aufgabe, sonst faellt es schwer, die Antworten auseinander zu halten).
Es ist ja [mm] $P(X\ge n)=P(X=n)+P(X=n+1)+\dots=:f_n+f_{n+1}+\dots$
[/mm]
Stelle dir einen unendlich grosse Matrix vor. In der 1. Spalte befinden sich die Zahlen [mm] $1f_1,1f_2,1f_3,\ldots$, [/mm] in der 2. Spalte die Zahlen [mm] $0,3f_2,3f_3,\ldots$, [/mm] in der 3. Spalte die Zahlen [mm] $0,0,5f_3,\ldots$, [/mm] usw. Die Summe der Eintraege stimmt mit [mm] $\summe_{n=1}^\infty(2n-1)P(X\ge [/mm] n)$ ueberein.
Lies jetzt die Matrix *zeilenweise*. Faellt dir etwas auf?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Sa 29.12.2012 | | Autor: | triad |
> Moin,
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> ein Tipp zur 2. Aufgabe (bitte erstelle jeweils einen
> eigenen Thread fuer jede Aufgabe, sonst faellt es schwer,
> die Antworten auseinander zu halten).
>
> Es ist ja [mm]P(X\ge n)=P(X=n)+P(X=n+1)+\dots=:f_n+f_{n+1}+\dots[/mm]
>
> Stelle dir einen unendlich grosse Matrix vor. In der 1.
> Spalte befinden sich die Zahlen [mm]1f_1,1f_2,1f_3,\ldots[/mm], in
> der 2. Spalte die Zahlen [mm]0,3f_2,3f_3,\ldots[/mm], in der 3.
> Spalte die Zahlen [mm]0,0,5f_3,\ldots[/mm], usw. Die Summe der
> Eintraege stimmt mit [mm]\summe_{n=1}^\infty(2n-1)P(X\ge n)[/mm]
> ueberein.
>
> Lies jetzt die Matrix *zeilenweise*. Faellt dir etwas auf?
>
> vg Luis
>
Hallo Luis.
Wenn ich die erste Zeile betrachte ergibt die Summe der Einträge genau den ersten Summanden der Summe $ [mm] \summe_{n=1}^\infty(2n-1)P(X\ge [/mm] n) $. Verstehe aber nicht wie mir das nun weiterhilft?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 29.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis.
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> Wenn ich die erste Zeile betrachte ergibt die Summe der
> Einträge genau den ersten Summanden der Summe
> [mm]\summe_{n=1}^\infty(2n-1)P(X\ge n) [/mm]. Verstehe aber nicht
> wie mir das nun weiterhilft?
Nein, die erste Zeile besteht aus den Zahlen [mm] $1f_1,0,0,0,\ldots$, [/mm] die zweite aus den Zahlen [mm] $1f_1,3f_2,0,0,\ldots$, [/mm] die dritte aus [mm] $1f_1,3f_2,5f_3,0,\ldots$, [/mm] usw.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 01.01.2013 | | Autor: | triad |
> Nein, die erste Zeile besteht aus den Zahlen
> [mm]1f_1,0,0,0,\ldots[/mm], die zweite aus den Zahlen
> [mm]1f_1,3f_2,0,0,\ldots[/mm], die dritte aus
> [mm]1f_1,3f_2,5f_3,0,\ldots[/mm], usw.
Stimmt, da hatte ich mich verlesen.
Wenn ich jetzt die Reihenschreibweise [mm] P(X\ge n)=\summe_{k=n}^{\infty}P(X=k) [/mm] verwende und einsetze
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left((2n-1)\summe_{k=n}^{\infty}P(X=k)\right)
[/mm]
darf ich dann die Summation über n und k vertauschen? Und wie stelle ich das an, man darf ja nicht einfach die beiden Summen vertauschen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Di 01.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Stimmt, da hatte ich mich verlesen.
>
> Wenn ich jetzt die Reihenschreibweise [mm]P(X\ge n)=\summe_{k=n}^{\infty}P(X=k)[/mm]
> verwende und einsetze
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left((2n-1)\summe_{k=n}^{\infty}P(X=k)\right)[/mm]
>
> darf ich dann die Summation über n und k vertauschen? Und
> wie stelle ich das an, man darf ja nicht einfach die beiden
> Summen vertauschen.
Ich weiss nicht, worauf du hinaus willst. Der erste Summand in [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left((2n-1)\summe_{k=n}^{\infty}P(X=k)\right)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist $\summe_{k=1}^{\infty}P(X=k)\right)$, nicht etwa $ f_1+0+0+0+\dots $.
Du brauchst eine Darstellung fuer $(f_1+0+0+0+\dots)+(f_1+3f_2+0+0+\dots) + (f_1+3f_2+5f_3+0+\dots)$.
PS: Ich merke gerade, dass ich dich anscheinend etwas hinter die Fichte gefuehrt habe: Die ersten drei Zeilen der o.g. Matrix besteht naemlich aus
$1f_1,0,0,0,\ldots $, $ 1f_2,3f_2,0,0,\ldots $, $ 1f_3,3f_3,5f_3,0,\ldots $.
Die umgeordnete Summe ist dann
$(f_1+0+0+0+\dots)+(f_2+3f_2+0+0+\dots) + (f_3+3f_3+5f_3+0+\dots)+\ldots$
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Mi 02.01.2013 | | Autor: | triad |
Hab jetzt nochmal von meinem ersten Ansatz ausgehend was zusammengebastelt:
z.z.: $ [mm] E(X^2)=\summe_{n=1}^\infty(2n-1)P(X\ge [/mm] n). $
Bew.:
Mit der Transformationsformel folgt $ [mm] E(X^2) [/mm] = [mm] \summe_{x\in\Omega'}x^2P(X=x) [/mm] = [mm] \summe_{n\in\IN_0}n^2P(X=n) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}n^2P(X=n). [/mm] $
Nun liefert der erste Summand keinen Beitrag, so dass wir schreiben können
= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n^2P(X=n) [/mm] = [mm] 1*P(X=1)+4*P(X=2)+9*P(X=3)+\dots [/mm] ,
und diese Summe konvergiert absolut. Deshalb können wir umordnen und erhalten somit
[mm] E(X^2) [/mm] =
[mm] 1*P(X=1)+4*P(X=2)+9*P(X=3)+\dots [/mm] =
[mm] (1*P(X=1)+1*P(X=2)+1*P(X=3)+\dots) [/mm] + [mm] (3*P(X=2)+3*P(X=3)+3*P(X=4)+\dots) [/mm] + [mm] (5*P(X=3)+5*P(X=4)+\dots)+\dots [/mm] =
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left((2n-1)\summe_{k=n}^{\infty}P(X=k)\right) [/mm] =
[mm] \summe_{n=1}^\infty(2n-1)P(X\ge [/mm] n).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Mi 02.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Hab jetzt nochmal von meinem ersten Ansatz ausgehend was
> zusammengebastelt:
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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