Erwartungswert eines Barwertes < Versicherungsmat < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Do 17.01.2008 | | Autor: | frenesi |
| Aufgabe | Betrachte eine reine Todesfallversicherung mit lebenslänglicher Deckung, bei der die Versicherungssumme 1 am Ende des Jahres ausbezahlt, in dem der Tod eingetreten ist.
Zu zeigen ist:
Wird der erwartete Barwert einer solchen Versicherung bis zum Eintritt des Versicherungsfalls verzinslich angelegt, so ergibt sich im Erwartungswert ein Kapital nicht kleiner als 1. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine erste Frage ist zunächst einmal, was eine reine Todesfallversicherung ist, bei der im Versicherungsfall die Summe 1 gezahlt wird?
Vielleicht komme ich dann bei der eigentlichen Bearbeitung der Aufgabe weiter.
Vielen Dank im voraus!
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Hi frenesi,
erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") *smile* !!!
> Meine erste Frage ist zunächst einmal, was eine reine
> Todesfallversicherung ist, bei der im Versicherungsfall die
> Summe 1 gezahlt wird?
Begrifflichkeit:
Es gibt verschiedene Arten von Versicherungen. Stets zahlt der Versicherer (die Versicherungsanstalt) dem Versicherten einen Betrag die Versicherungssumme aus, wenn der Versicherungsfall eintritt. Der Versicherungsfall ist irgend ein Ereignis, z.b. Ein Unfall, eine Feuersbrunst, ein Einbruch, eine Haftung für ein Verschulden, das Erleben eines bestimmten Alters, ein Todesfall u.a. m. Der Versicherte entrichtet dafür dem Versicherer eine einmalige oder eine jährliche Prämie. Die Höhe der Prämie ist ein bestimmter Bruchteil der Versicherungssumme. Dieser Bruchteil resultiert vor allem aus statistischen Daten über den Einritt des Versicherungsfalles.
Fachliteratur Personenversicherungen:
![[]](/images/popup.gif) Hier findest du Informationen bezüglich der reinen Todesfallversicherung in Kontext zur Varianz dieser uvm.
-> In deiner Aufgabe stellt die "Summe 1" dann wohl das gleiche dar, als wenn man sagen würde im Todesfall werden 100% ausgezahlt...  !
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Do 17.01.2008 | | Autor: | frenesi |
Vielen Dank für die herzliche Begrüßung und die ersten Informationen.
Mittlerweile glaube ich zu verstehen, worum es geht.
Allerdings reicht das nicht, um die Aufgabe zu bearbeiten.
Wie muss ich denn hier rangehen?
Würde mich freuen, wenn ich Hilfestellung bekomme!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:23 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo frenesi,
Eine Risikolebensversicherung ist eine Reine Todesfallversicherung.
1. reine Todesfallversicherung
a) lebenslängliche Todesfallversicherung
- nur bei Tod fällig
- Sterbegeldversicherung
- Erbschaftssteuerversicherung
- Übergang fließend zur gemischten Lebensversicherung bei:
Begrenzung der Beitragsdauer, Vorzug der Ablaufleistung durch Überschüsse
und Festlegung auf ein Höchst-Endalter
b) temporäre Todesfallversicherung (Risikolebensversicherung)
- nur bei Tod während der Vertragsdauer
- Umtauschrecht innerhalb der ersten 10 Jahre ohne erneute Gesundheitsprüfung in
eine Kapitallebensversicherung, aber neues Eintrittsalter!
- Restschuldversicherung; mit sinkender Todesfallleistung
- zur Absicherung von allg. Finanzierungen
- zur Hinterbliebenenversorgung in jungen Jahren und geringen Einkommen
Fundstelle
Es wird vereinbart, dass der Versicherungsbetrag (die Versicherungssumme) S am Ende des Versicherungsjahres ausgezahlt wird, in welchem der Todesfall eingetreten ist. die Zahlung des Sofortbetrages [mm] A_x [/mm] erfolge zu Beginn des Jahres x, dies sei auch der Vergleichszeitpunkt für das Äquivalenzprinzip. Nach Ablauf der einzelnen Jahre werden die jeweils Verstorbenen gezählt ( [mm] d_x, d_{x+1} [/mm] ...) und auf den Anfangszeitpunkt diskontiert, wobei als Versicherungssumme jedes Versicherungsnehmers der Einfachheit halber 1 Euro genommen wird.
Viele Grüße
Josef
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:07 Fr 18.01.2008 | | Autor: | frenesi |
Vielen Dank für Deine Antwort:
Damit habe ich bislang folgendes zeigen können:
Barwert des auzuzahlenden Kapitals: Z
Einmaleinlagen=erwarteter Barwert:[mm]E(Z)=A_x[/mm].
Beim Tod wird eine Zahlung vom Betrag 1 fällig.
Die Zufallsvariable Z nimmt dann folgende Werte an: [mm]v, v^2,...[/mm]
Mit Hilfe des Skriptes habe ich nun nachgerechnet, dass gilt:
[mm]E(Z)=...=\frac{M_x}{D_x}[/mm]
Damit bin ich aber noch nicht fertig. Ich verstehe nicht genau, was noch zu zeigen ist. Als Hinweis wurde noch gegeben, dass [mm]E(Z)E(Z^{-1})\geq 1[/mm].
Könnt ihr mir an dieser Stelle weiterhelfen?
Vielen Dank und viele Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo frenesi,
>
> Damit habe ich bislang folgendes zeigen können:
>
> Barwert des auzuzahlenden Kapitals: Z
> Einmaleinlagen=erwarteter Barwert:[mm]E(Z)=A_x[/mm].
>
> Beim Tod wird eine Zahlung vom Betrag 1 fällig.
> Die Zufallsvariable Z nimmt dann folgende Werte an: [mm]v, v^2,...[/mm]
>
> Mit Hilfe des Skriptes habe ich nun nachgerechnet, dass
> gilt:
> [mm]E(Z)=...=\frac{M_x}{D_x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
für die Versicherungssumme S = 1, bzw. allgemein gilt:
[mm] A_x [/mm] = [mm] \bruch{M_x}{D_x} [/mm] * S
Anstelle von [mm] A_x [/mm] = [mm] \bruch{M_x}{D_x} [/mm] kann hergeleitet werden:
[mm] \bruch{M_x}{D_x} [/mm] = [mm] 1-(1-v)\bruch{N_x}{D_x};
[/mm]
zur Beweisführung sind die Definitionen der Kommutationszahlen zu verwenden.
>
> Damit bin ich aber noch nicht fertig. Ich verstehe nicht
> genau, was noch zu zeigen ist. Als Hinweis wurde noch
> gegeben, dass [mm]E(Z)E(Z^{-1})\geq 1[/mm].
>
> Könnt ihr mir an dieser Stelle weiterhelfen?
>
Hierbei bin ich überfragt.
> Einmaleinlagen=erwarteter Barwert:$ [mm] E(Z)=A_x [/mm] $.
Danach gilt: [mm] A_x*\bruch{1}{A_x}
[/mm]
Ist das nicht immer 1?
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 22.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo frenesi,
> Betrachte eine reine Todesfallversicherung mit
> lebenslänglicher Deckung, bei der die Versicherungssumme 1
> am Ende des Jahres ausbezahlt, in dem der Tod eingetreten
> ist.
> Zu zeigen ist:
> Wird der erwartete Barwert einer solchen Versicherung bis
> zum Eintritt des Versicherungsfalls verzinslich angelegt,
> so ergibt sich im Erwartungswert ein Kapital nicht kleiner
> als 1.
3.) sofort beginnende, lebenslange Todesfallversicherung:
Die VS 1 wird am Ende desjenigen Jahres ausgezahlt in dem der VN stirbt, egal wann das
der Fall ist (in jedem Fall wird irgendwann 1 gezahlt).
siehe Weiteres unter:
3.) sofort beginnende, lebenslange Todesfallversicherung
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Sa 19.01.2008 | | Autor: | frenesi |
Hallo Josef,
vielen Dank erst einmal für Deine Bemühungen.
Aber leider hilft mir Dein Tip nicht weiter. Das Problem ist, dass ich gar nicht so recht verstehe, was ich noch zu zeigen habe, da die Formulierung der Aufgabenstellung für mich schwierig zu übersetzen ist:
Wie kann also mathematisch mit der bisherigen Notation formuliert werden, was noch zu zeigen ist? Welches Kapital wird verzinslich angelegt?
Aber vielleicht schaffe ich das ja noch mit Eurer Hilfe.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo frenesi,
Es ist klar: Die Leistungen der Versicherung werden durch die Pramien der Versicher-
ten finanziert. Bei der Frage, wie diese Pramien bestimmt werden, orientiert man sich
an einem naheliegenden Grundsatz, dem individuellenAquivalenzprinzip: Es besagt ein-
fach, daß im Erwartungswert jeder Versicherungsnehmer mit den Beitragen, die er bezahlt,
genau die Leistungen finanziert, die er erhalt (plus die Verwaltungskosten der Versicherung,
naturlich).
Versicherungsmath. Barwert der Pramien = Versicherungsmath. Barwert der Leistungen.
Fundstelle
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Sa 19.01.2008 | | Autor: | frenesi |
Vielen Dank für Deine Bemühungen.
Aber ich weiss nicht, was ich noch machen muss. Verstehe das einfach nicht, was noch zu zeigen ist.
Vielleicht könnte mir ein Ansatz helfen.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 So 20.01.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo frenesi,
Versicherungsmath. Barwert der Pramien = Versicherungsmath. Barwert der Leistungen.
Muss immer [mm] \ge [/mm] 1 ergeben.
Ein Beispiel:
Ein 50-jähriger Mann schließt eine Lebensversicherung über die Versicherungssumme 100.000 Euro auf den Todesfall ab. Mit welchem Sofortbetrag kommt er zum Vertrag?
Ergebnis: Aus den Tabellen folgt 43.632 Euro.
Zinssatz zur Erstellung der Kommutationszahlen ist einheitlich 4 %
[mm] A_x [/mm] = [mm] \bruch{M_x}{D_x} [/mm] * S
[mm] A_x [/mm] = [mm] \bruch{5568,45}{12762,3}*100.000
[/mm]
[mm] A_x [/mm] = 43.632
Viele Grüße
Josef
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