Erwartungswert eines W-maßes < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Sa 04.09.2010 | | Autor: | chris3 |
Hallöchen!
Ich frage mich gerade, was der Erwartungswert eines Wahrscheinlichkeitsmaßes P ist. P ist ja eine Funktion, die jeder Zufallsvariablen (auf dem entsprechenden) W-Raum eine Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet. Ist also P dann eine deterministische Funktion, und der Erwartungswert von P ist einfach P selbst?
Ich habe mir die Frage gestellt, weil wir den Erwartungswert von Funktionen definiert haben und das W-Maß ja auch eine Funktion ist...
Für eure Tipps und Erklärungen bin ich sehr dankbar!!
lg chris
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Hallo Chris,
> P ist ja eine Funktion, die jeder Zufallsvariablen (auf dem entsprechenden) W-Raum
> eine Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet.
Öhm, nein!
P ist eine Funktion, die jeder Menge der [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] auf der P definiert ist, eine Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet
Nicht einer Funktion!
> Ist also P dann eine deterministische Funktion, und der Erwartungswert von P ist
> einfach P selbst?
Einen Erwartungswert von P zu definieren, macht keinen Sinn (zumindest nicht auf dem Raum, für den man P einsetzt), da eine Meßbare Funktion, von der ich den Erwartungswert berechnen kann auf einem ganz anderen Raum definiert ist, als P.
Wenn f auf [mm] \Omega [/mm] definiert ist, ist P immer auf einer Teilmenge von der Potenzmenge von Omega definiert, was zwei verschiedene paar Schuhe sind.
> Ich habe mir die Frage gestellt, weil wir den
> Erwartungswert von Funktionen definiert haben und das
> W-Maß ja auch eine Funktion ist...
Stimmt, die sich aber durch ihren Definitionsbereich komplett unterscheiden.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Mo 06.09.2010 | | Autor: | chris3 |
Hallo Gono!
Danke für deine Antwort!
Ich hab mir jetzt ziemlich viele Gedanke darüber gemacht, aber ich verstehe deine Begründungen immer noch nicht!
> Einen Erwartungswert von P zu definieren, macht keinen Sinn
> (zumindest nicht auf dem Raum, für den man P einsetzt), da
> eine Meßbare Funktion, von der ich den Erwartungswert
> berechnen kann auf einem ganz anderen Raum definiert ist,
> als P.
was heißt "zumindest nicht auf dem Raum, für den man P einsetzt"
und wieso muss jene messbare Funktion auf einem ganz anderen Raum definiert sein als P??
MfG Chris
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Hiho,
fangen wir mal hinten an:
> und wieso muss jene messbare Funktion auf einem ganz
> anderen Raum definiert sein als P??
halten wir fest:
Ein W-Maß auf einem Maßraum [mm] $(\Omega, \mathcal{A}, \IP)$ [/mm] ist eine Abbildung [mm] $\IP: \mathcal{A} \to [/mm] [0,1]$ mit besonderen Eigenschaften, wobei [mm] $\mathcal{A}\subset\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] soweit klar?
Eine Meßbare Funktion f AUF [mm] \Omega [/mm] ist eine Abbildung $f: [mm] \Omega \to \IR$ [/mm] und der Erwartungswert $E[f]$ ist definiert als:
$E[f] = [mm] \integral_{\IR} [/mm] f [mm] d\IP$
[/mm]
Wie man nun leicht erkennt, ist der Erwartungswert nur für meßbare Funktionen $f: [mm] \Omega \to \IR$ [/mm] definiert und nicht für Funktionen $f: [mm] \mathcal{P}(\Omega) \to \IR$, [/mm] zu denen [mm] \IP [/mm] aber zählt.
> was heißt "zumindest nicht auf dem Raum, für den man P einsetzt"
Nunja, wir könnten uns jetzt einen neuen Maßraum [mm] $(\Omega',\mathcal{A'},\IP')$ [/mm] definieren mit [mm] $\Omega' [/mm] = [mm] \mathcal{P}(\Omega)$
[/mm]
Dann gilt [mm] $\IP: \Omega' \to \IR$ [/mm] und wenn [mm] \IP [/mm] meßbar ist, macht es überhaupt Sinn [mm] E_{\IP'}[\IP] [/mm] = [mm] \integral_{\IR} \IP d\IP'$ [/mm] zu definieren.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Di 07.09.2010 | | Autor: | chris3 |
hmm, ok danke für deine ausführliche Erklärung!
Ich denke, ich muss das Thema nochmal von ganz vorne bearbeiten :-(
mfg
chris
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