Erwartungswert und Varianz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein fairer Würfel wird 3-mal geworfen. Die Zufallsvariable Xi bezeichne das
Ergebnis des i-ten Wurfs. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von
X = X1 + X2 − X3. |
Kann mir wer hierbei helfen ? Ich steh hier vollkommen auf dem Schlauch.
Muss ich hier zuerst die W'keiten für X1, X2, X3 ausrechnen und einsetzen ?!
denn jede Augenzahl bei X1, X2, X3 hat ja die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
wäre nett wenn mir jemand ein wenig auf die Sprünge helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Di 11.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Ein fairer Würfel wird 3-mal geworfen. Die Zufallsvariable
> Xi bezeichne das
> Ergebnis des i-ten Wurfs. Bestimmen Sie Erwartungswert und
> Varianz von
> X = X1 + X2 − X3.
> Kann mir wer hierbei helfen ? Ich steh hier vollkommen auf
> dem Schlauch.
>
> Muss ich hier zuerst die W'keiten für X1, X2, X3 ausrechnen
> und einsetzen ?!
>
> denn jede Augenzahl bei X1, X2, X3 hat ja die
> Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
>
> wäre nett wenn mir jemand ein wenig auf die Sprünge helfen
> könnte.
Hallo,
der Erwartungswert einer Summe/Differenz ist gleich der Summe/Differenz der Erwartungswerte. Es genügt also, für einen Wurf den EW auszurechnen (der EW ist bei jedem der drei Würfe gleich).
Ob das bei der Varianz genauso funktioniert, glaube ich nicht. Da wirst du wohl die Varianz "von Hand" ausrechnen müssen. Mögliche Werte für X sind ja -4 bis 11.
Gruß Abakus
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das heißt E(X) = 3,5 ?!
und Var(X) = 2,92 ?!
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E(X) sieht gut aus, aber Var(X) gefällt mir nicht. Wie ist denn die [mm] Var(X_i)? [/mm] Wenn ich richtig rechne: [mm]11 \bruch{2}{3}[/mm].
Wie verhält sich die Varianz, wenn man unabhängige Zufallsvariablen addiert?
Schau mal (X, Y unabhängige ZV) ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") :
[mm]\begin{matrix}
Var(X+Y) &=& E\{(X+Y)^2\} - (E(X+Y))^2 \\
\ &=& E(X^2 + 2XY + Y^2) - (E(X)+E(Y))^2 \\
\ &=& E(X^2) + 2E(XY) + E(Y^2) - E(X)^2 - 2E(X)E(Y) - E(Y)^2 \\
\ &=& E(X^2) - E(X)^2 + E(Y^2) - E(Y)^2 \\
\ &=& Var(X) + Var(Y)
\end{matrix}[/mm]
Wegen der Unabhängigkeit (und da wird sie eben auch ausgenutzt) ist [mm]E(XY)=E(X)E(Y)[/mm]. Damit fielen die beiden Terme weg.
Die Herleitung für [mm]Var(X-Y)[/mm] schaffst du jetzt auch selbst...
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kann jetzt vllt an meinem Verständnis liegen aber ich muss doch um in der Aufgabenstellung gefordert die Varianz von X raus zu bekommen die Varianz der einzelnen Würfel ausrechnen ?! Also für X1, X2, X3
für einen Würfel müsste ich demnach rechnen:
[mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (1-3.5)^2 [/mm] +
[mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (2-3.5)^2 [/mm] +
[mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (3-3.5)^2 [/mm] +
[mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (4-3.5)^2 [/mm] +
[mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (5-3.5)^2 [/mm] +
[mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (6-3.5)^2 [/mm] =2.9216666667
Da ein würfel ja 6 verscheidene ZVs hat
Bei X1 + X2 - X3 heißt das wiederum für mich
2.9216666667 + 2.9216666667 - 2.9216666667 = etwa 2.92
oder ist mein denkansatz jetzt so falsch ?!
Den Du hast ja geschrieben:
Var (X+Y) = Var (X) + Var (Y)
Somit wäre dann doch auchin meinem fall: Var (X) bzw Var (X1 + X2 - X3) = Var (X1) + Var (X2) - Var (X3)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Do 13.03.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Tim,
> für einen Würfel müsste ich demnach rechnen:
>
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm](1-3.5)^2[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm](2-3.5)^2[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm](3-3.5)^2[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm](4-3.5)^2[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm](5-3.5)^2[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm](6-3.5)^2[/mm] =2.9216666667
>
> Da ein würfel ja 6 verscheidene ZVs hat
>
> Bei X1 + X2 - X3 heißt das wiederum für mich
>
> 2.9216666667 + 2.9216666667 - 2.9216666667 = etwa 2.92
>
> oder ist mein denkansatz jetzt so falsch ?!
Stimmt. (Kleine Korrektur: 2.9167)
>
> Den Du hast ja geschrieben:
>
> Var (X+Y) = Var (X) + Var (Y)
>
> Somit wäre dann doch auchin meinem fall: Var (X) bzw Var
> (X1 + X2 - X3) = Var (X1) + Var (X2) - Var (X3)
Das kann nicht stimmen, denn wenn [mm] $\operatorname{Var}[X]< \operatorname{Var}[Y]$, [/mm] so waere
[mm] $\operatorname{Var}[X-Y]=\operatorname{Var}[X]-\operatorname{Var}[Y]<0$,
[/mm]
was nicht moeglich ist. Tatsaechlich gilt bei Unabhaengigkeit von X und Y:
[mm] $\operatorname{Var}[X-Y]=\operatorname{Var}[X]+\operatorname{Var}[Y]<0$.
[/mm]
vg Luis
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Hups, leicht verrechnet (kommt davon, wenn man alles nur im Kopf macht). Hatte vergessen, die 3,5 von E(X) zu quadrieren.
[mm]E(X^2)=15 \bruch{1}{6}[/mm], daher [mm]Var(X)=15 \bruch{1}{6} - 3,5^2 = 2 \bruch{11}{12}[/mm]
Aber die eigentliche Aussage ging ohnehin um die Varianz von Summen. Und wie Luis richtig bemerkt, addieren sich die Varianzen auch, wenn man Differenzen bildet. Das kommt natürlich daher, dass man es - bis auf wegfallende Terme - nur mit Quadraten zu tun hat.
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