Erwartungswert und Varianz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 So 06.05.2012 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | sei X eine poissonverteilte Zufallsvariable mit X [mm] \sim P(\lambda), [/mm] d.h. [mm] f_{X} (x;\lambda) [/mm] = [mm] \bruch{\lambda^{x}}{x!} e^{-\lambda}, x\in\IN_{0}, \lambda [/mm] > 0.
berechnen Sie den Erwartungswert und Varianz von X. |
E= [mm] \summe_{x=0}^{\infty} x*\bruch{\lambda^{x}}{x!} e^{-\lambda} [/mm] = [mm] e^{-\lambda} \summe_{x=1}^{\infty} \bruch{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}*\lambda [/mm]
hier ist mein Problem: dass auf ein mal x-1 ist, ist es, weil unter der summe x=1 steht? aber warum wird hier nochmal mal [mm] \lambda [/mm] genommen und wo ist *x hin?
danke schon mal!
kioto
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Hiho,
machen wir den Spaß mal langsam:
[mm] $\summe_{x=0}^\infty x*f(x,\lambda) [/mm] = [mm] 0*f(x,\lambda) [/mm] + [mm] \summe_{x=1}^\infty x*f(x,\lambda) [/mm] = [mm] \summe_{x=1}^\infty x*f(x,\lambda) [/mm] = [mm] e^{-\lambda}\summe_{x=1}^\infty x*\bruch{\lambda^x}{x!} [/mm] = [mm] e^{-\lambda}\summe_{x=1}^\infty \bruch{x}{x!}*\lambda^x [/mm] = [mm] e^{-\lambda}\summe_{x=1}^\infty \bruch{1}{(x-1)!}*\lambda^{x-1}*\lambda [/mm] = [mm] e^{-\lambda}\summe_{x=1}^\infty \bruch{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}\lambda [/mm] $
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 So 06.05.2012 | | Autor: | kioto |
hallo
> [mm]\summe_{x=0}^\infty x*f(x,\lambda) = 0*f(x,\lambda) + \summe_{x=1}^\infty x*f(x,\lambda) = \summe_{x=1}^\infty x*f(x,\lambda) = e^{-\lambda}\summe_{x=1}^\infty x*\bruch{\lambda^x}{x!} = e^{-\lambda}\summe_{x=1}^\infty \bruch{x}{x!}*\lambda^x = e^{-\lambda}\summe_{x=1}^\infty \bruch{1}{(x-1)!}*\lambda^{x-1}*\lambda = e^{-\lambda}\summe_{x=1}^\infty \bruch{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}\lambda[/mm]
ich glaub ich kann nicht mehr rechnen..... siehe ich das richtig, hast du beim vorletzten schritt durch x geteilt? steht ja ne 1 über dem Bruchstrich....bin grad doof: ist dann [mm] \lambda^{x} [/mm] durch x = [mm] \lambda^{x-1}?
[/mm]
kioto
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Hiho,
> ich glaub ich kann nicht mehr rechnen.....
scheint so.
> siehe ich das richtig, hast du beim vorletzten schritt durch x geteilt?
Nein, ich habe gekürzt.
Was ist denn x! ausgeschrieben?
Und das mit dem [mm] \lambda [/mm] ergibt sich aus dem vorherigen Schritt ganz einfach aus [mm] $\lambda^x [/mm] = [mm] \lambda^{x-1}*\lambda$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 So 06.05.2012 | | Autor: | kioto |
ahh.....hab sehen, hatte vorher das * [mm] \lambda [/mm] am ende über sehen, x! ist ja x(x-1)!, stimmst? jetzt ist die Welt wieder in Ordnung....
aber warum bleibt am ende nur ein [mm] \lambda [/mm] übrig?
danke nochmal!
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> ahh.....hab sehen, hatte vorher das * [mm]\lambda[/mm] am ende über
> sehen, x! ist ja x(x-1)!, stimmst? jetzt ist die Welt
> wieder in Ordnung....
> danke nochmal!
so ist es, es ist einfach eine günstige Umformung, die sich nicht aus Kürzen ergibt, [mm] $\lambda^x$ [/mm] wäre unabhängig vom Schritt mit dem Kürzen des x, man schreibt einfach die Fakultät aus.
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Hiho,
> aber warum bleibt am ende nur ein [mm]\lambda[/mm] übrig?
[mm] $\lambda$ [/mm] rausziehen, Indexverschiebung machen und dann die Reihendarstellung der e-Funktion nutzen.
MFG,
Gono.
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