Erwartungswert und covarianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein fairer Würfel wird einmal gewürfelt. $X$ bezeichne die doppelte Augenzahl und $ Y$ sei wie folgt definiert
[mm] $Y:=\begin{cases} 1 , & falls die Augenzahl gerade ist \\ 0, & sonst \end{cases}$
[/mm]
Bestimmen sie die Verteilung von $X,Y$ und$ E[X+Y],Cov(X,Y) $und $Var(X+Y)$. |
Hallo erstmal
mein prof hat mir am freitag aufgaben zur Übung gegeben und die wollte ich mal durch ackern.
Also erst mal die Verteilung von$ Y [mm] \sim B(1,\frac{1}{6})$
[/mm]
weil der Ausgang kann ja nur $1$ oder $ 0 $ sein und die W'keit das ein zahl gerade ist liegt ja bei [mm] $\frac{1}{6}$.
[/mm]
Nun ich habe jetzt ein Problem mir das vorzustellen. ich erkläre warum!
Wenn ich ,wie in der aufgaben gefordert, einen Würfel nun einmal werfe und $ X $ die doppelte Augenzahl ist, ist $X$ dann nicht immer gerade, weil es ist ja dann $2*k$ mit [mm] $k\in \{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] oder nicht? müsste $X$ dann nicht diskret gleichverteilt sein von $2$ bis $12$ mit W'keit [mm] $\frac{1}{6}$ [/mm] für$ [mm] \{2,4,6,8,10,12\}?$
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Sa 31.01.2015 | | Autor: | luis52 |
Moin PeterPaul
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Also erst mal die Verteilung von[mm] Y \sim B(1,\frac{1}{6})[/mm]
>
> weil der Ausgang kann ja nur [mm]1[/mm] oder [mm]0[/mm] sein und die W'keit
> das ein zahl gerade ist liegt ja bei [mm]\frac{1}{6}[/mm].
>
Hm, ist dein Wuerfel kaputt?  Meiner hat 3 gerade Zahlen drauf: 2, 4, 6.
>
> Nun ich habe jetzt ein Problem mir das vorzustellen. ich
> erkläre warum!
>
> Wenn ich ,wie in der aufgaben gefordert, einen Würfel nun
> einmal werfe und [mm]X[/mm] die doppelte Augenzahl ist, ist [mm]X[/mm] dann
> nicht immer gerade, weil es ist ja dann [mm]2*k[/mm] mit [mm]k\in \{1,2,3,4,5,6\}[/mm]
> oder nicht? müsste [mm]X[/mm] dann nicht diskret gleichverteilt
> sein von [mm]2[/mm] bis [mm]12[/mm] mit W'keit [mm]\frac{1}{6}[/mm] für[mm] \{2,4,6,8,10,12\}?[/mm]
>
Alles korrekt. Wo ist das Problem?
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ja was mache ich jetzt um den Erwartungswert zu bestimmen. Faltung oder erzeugenden funktion?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Sa 31.01.2015 | | Autor: | luis52 |
$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ und $ Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)$ ...
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$ Y [mm] \sim B(1,\frac{1}{2}) [/mm] , E[Y]= [mm] \frac{1}{2} [/mm] , Var(Y)= [mm] \frac{1}{4}$
[/mm]
$ X [mm] \sim \mu_{[2,12]}$ [/mm] , ich hab jetzt als $ E[X] = [mm] \frac{13}{3}$ [/mm] , ist der EW. richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Sa 31.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> [mm]X \sim \mu_{[2,12]}[/mm] , ich hab jetzt als [mm]E[X] = \frac{13}{3}[/mm]
> , ist der EW. richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
$E[X]=7$
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$E[X] = [mm] \frac{1}{6}*2+\frac{1}{6}*4+\frac{1}{6}*6+\frac{1}{6}*8+\frac{1}{6}*10+\frac{1}{6}*12 [/mm] = [mm] \frac{42}{6}= [/mm] 7$
[mm] $E[X^2]= \frac{1}{6}*2^2+\frac{1}{6}*4^2+\frac{1}{6}*6^2+\frac{1}{6}*8^2+\frac{1}{6}*10^2+\frac{1}{6}*12^2 [/mm] = [mm] \frac{364}{6}= [/mm] 60,666$
$Var(X)= [mm] E[X^2]-(E[X])^2 [/mm] = [mm] 60,66-7^2= [/mm] 60,66-49= 11,66$
jetzt$ Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)$
was fehlt$ 2Cov(X,Y)$
nun $Cov(X,Y)= E[XY]-E[X]E[Y]$
$Cov(X,Y)= [mm] E[XY]-(7*\frac{1}{2}) [/mm] $
bei mir hakts an dem $E[XY]$ das macht mich mad, weil ich weis nicht,ob die abhängig sind oder nicht
wenn die unabhängig sind [mm] $\Rightarrow [/mm] Cov(X,Y)= 0 $ , aber mir fällt das prüfen auch mega schwer ,denn $P(X [mm] \cap [/mm] Y)= P(X)*P(Y) $
$P(X)*P(Y) = [mm] \frac{1}{6}*\frac{1}{2}= \frac{1}{12}$
[/mm]
aber $ P(X [mm] \cap [/mm] Y)$ fällt mir schwer... :( argghh..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 So 01.02.2015 | | Autor: | luis52 |
> [mm]E[X] = \frac{1}{6}*2+\frac{1}{6}*4+\frac{1}{6}*6+\frac{1}{6}*8+\frac{1}{6}*10+\frac{1}{6}*12 = \frac{42}{6}= 7[/mm]
>
> [mm]E[X^2]= \frac{1}{6}*2^2+\frac{1}{6}*4^2+\frac{1}{6}*6^2+\frac{1}{6}*8^2+\frac{1}{6}*10^2+\frac{1}{6}*12^2 = \frac{364}{6}= 60,666[/mm]
>
>
> [mm]Var(X)= E[X^2]-(E[X])^2 = 60,66-7^2= 60,66-49= 11,66[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> jetzt[mm] Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)[/mm]
>
> was fehlt[mm] 2Cov(X,Y)[/mm]
>
> nun [mm]Cov(X,Y)= E[XY]-E[X]E[Y][/mm]
>
> [mm]Cov(X,Y)= E[XY]-(7*\frac{1}{2})[/mm]
>
> bei mir hakts an dem [mm]E[XY][/mm] das macht mich mad, weil ich
> weis nicht,ob die abhängig sind oder nicht
>
Vermutlich nicht. Gehe vor wie in dem anderen Thread: Es koennen sich die Augenzahlen 1,2,3,4,5,6 jeweils mit der Wsk 1/6 realisieren. Die zugehoerigen Werte von $X_$ bzw. $Y_$ sind 2,4,6,8,10,12 bzw. 0,1,0,1,0,1 ....
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1: [,1] X Y
2: [1,] 1 2 1
3: [2,] 2 4 1
4: [3,] 3 6 1
5: [4,] 4 8 1
6: [5,] 5 10 1
7: [6,] 6 12 1
$P(X=2,Y=1)=P(X=4,Y=1) =P(X=6,Y=1) =P(X=8,Y=1) =P(X=10,Y=1) =P(X=12,Y=1) [mm] =\frac{1}{6}*\frac{1}{2}= \frac{1}{12}$
[/mm]
$E[X*Y]= [mm] \frac{1}{12}$
[/mm]
$Cov(X,Y)= [mm] \frac{1}{12}-\frac{7}{2}= \frac{1}{12}-\frac{42}{12} [/mm] = [mm] -\frac{41}{12}$
[/mm]
mhh bin mir aber total unsicher
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 So 01.02.2015 | | Autor: | luis52 |
> 1: [,1] X Y
> 2: [1,] 1 2 1
> 3: [2,] 2 4 1
> 4: [3,] 3 6 1
> 5: [4,] 4 8 1
> 6: [5,] 5 10 1
> 7: [6,] 6 12 1
\| 1: | 1: [,1] X Y
| | 2: | 2: [1,] 1 2 0
| | 3: | 3: [2,] 2 4 1
| | 4: | 4: [3,] 3 6 0
| | 5: | 5: [4,] 4 8 1
| | 6: | 6: [5,] 5 10 0
| | 7: | 7: [6,] 6 12 1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 So 01.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo PeterPaul und !
> Wenn ich ,wie in der aufgaben gefordert, einen Würfel nun
> einmal werfe und [mm]X[/mm] die doppelte Augenzahl ist, ist [mm]X[/mm] dann
> nicht immer gerade, weil es ist ja dann [mm]2*k[/mm] mit [mm]k\in \{1,2,3,4,5,6\}[/mm]
> oder nicht?
Nein, das stimmt nicht. Wir setzen
[mm] \Omega:=\{1,\ldots,6\}.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \{2*k\mid k\in\Omega\}=\{2,4,8,10,12\}.
[/mm]
[mm] $X\$ [/mm] ist eine Zufallsvariable, also eine Abbildung! Hier ist
[mm] X\colon\Omega\to\{2,4,8,10,12\}.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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