Erwartungswert von ZV en < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Fr 16.05.2014 | | Autor: | sosoo |
Hallo,
ich hätte eine Frage und zwar wenn ich jetzt den Erwartungswert von einer t- Verteilten ZV berechnen will welches als [mm] V_r [/mm] = [mm] X/(U_r/r)^{1/2} [/mm] definiert wird mit der Dichte [mm] f_(V_R)= \Gamma((r+1)/2))/ \Gamma(r/2) [/mm] * [mm] 1/\wurzel{r*pi}(1+x^2/r)^{(r+1)/2} [/mm] und mit den unabhängigen ZV en X~N(0,1) und [mm] U_r [/mm] Chi-Quadrat-Verteilt.
Muss ich dann über [mm] \int_{-\infty}^{\infty} V_r [/mm] * [mm] f_(Vr)\, [/mm] dx
ODER
über
[mm] \int_{-\infty}^{\infty} [/mm] x * [mm] f_(Vr)\, [/mm] dx
integrieren?
Und die Varianz [mm] V_r [/mm] dann
[mm] \int_{-\infty}^{\infty} V_r^2 [/mm] * [mm] f_(Vr)\, [/mm] dx
ODER
[mm] \int_{-\infty}^{\infty} x^2 [/mm] * [mm] f_(Vr)\, [/mm] dx
Da [mm] V_r [/mm] = [mm] E(V_r [/mm] ^2)
bräuchte eure Hilfe und würde mich auf jede Hilfe freuen.
Liebe Grüße
sosoo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Sa 17.05.2014 | | Autor: | sosoo |
Ist die Frage schlecht formuliert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Sa 17.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Ist die Frage schlecht formuliert?
Nein, es war gerade nur scheinbar noch keiner da, der sie beantworten kann.
Marius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Sa 17.05.2014 | | Autor: | DesterX |
Hallo,
die Dichte der t-Verteilung mit r Freiheitsgeraden ist ja gerade gegeben durch:
$ [mm] f_r(x) [/mm] = [mm] \frac{\Gamma\left(\frac{r+1}{2}\right)} {\sqrt{r\pi}\Gamma\left(\frac{r}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{r}\right)^{-\frac{r+1}{2}}.$
[/mm]
Um nun zum Beispiel das zweite Moment der ZV'en [mm] V_r [/mm] zu berechnen, gilt es:
[mm] $\int_\Omega V_r^2 [/mm] \ [mm] dP(\omega)$ [/mm]
zu bestimmen.
Nach Transformation und wegen der Existenz einer Dichte ist das nicht anderes als:
[mm] $E(V_r^2 )=\int_\Omega V_r^2 [/mm] \ [mm] dP(\omega)=\int_\mathbb{R} x^2 [/mm] \ [mm] dP_{V_r}(x) [/mm] = [mm] \int_\mathbb{R} x^2 f_r(x) [/mm] \ dx$
Hierbei bezeichnet [mm] $P_{V_r}$ [/mm] die Verteilung von [mm] $V_r$. [/mm] Die Varianz lässt sich dann mittels
[mm] $Var(V_r)=E(V_r^2)-E(V_r)^2$
[/mm]
berechnen.
Viele Grüße,
Dester
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Sa 17.05.2014 | | Autor: | sosoo |
Hallo Dester,
erst mal vielen Dank.
Den Erwartungswert für r >1 habe ich berechnet der ist 0. Jedoch habe ich Probleme bei der Berechnung vom zweiten Moment Substitution habe ich schon versucht in dem ich [mm] x^2 [/mm] = u setzte und dx= [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{u}}
[/mm]
c= [mm] \bruch{\Gamma(\bruch{r+1}{2})}{\wurzel{r*pi}*\Gamma(\bruch{r}{2})} [/mm]
& r>2
[mm] c*2*\int_{0}^{\infty} x^2(1+x^2/r)^{-(r+1)/2}\, [/mm] dx =c * [mm] \bruch{2}{2}\int_{0}^{\infty} \bruch{u}{\wurzel{u}} \bruch{1+u}{r}^{-\bruch{r+1}{2}} [/mm] du = c [mm] *\int_{0}^{\infty} \wurzel{u}\bruch{1+u}{r}^{-\bruch{r+1}{2}} [/mm] du
Im weiteren bringt mich die Partielle Integration auch nicht weiter und ich rechne ewig lang rum. Gibts da einen bestimmen Trick?
Liebe Grüße
sosoo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Sa 17.05.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin, das zweite Moment der t-Verteilung existiert nicht.
![[]](/images/popup.gif) Hier findest du, wohin die Reise geht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Sa 17.05.2014 | | Autor: | sosoo |
Hallo,
wie soll ich dann aber die Varianz berechnen? Dadurch, dass der Erwartungswert 0 ist ist die Varianz doch der zweite Moment ? Und laut Wikipedia [mm] \bruch{n}{n-2} [/mm] also hier dann [mm] \bruch{r}{r-2} [/mm] oder verstehe ich das ganze hier falsch [mm] o_O [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Sa 17.05.2014 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
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> wie soll ich dann aber die Varianz berechnen?
Berechne den Erwartungswert unter der Annahme $r>1$ und die Varianz unter der Annhame $r>2$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Sa 17.05.2014 | | Autor: | sosoo |
Hallo luis52,
ja das versuche ich auch aber da häng ich ja auch leider. Mit der Substitution und anschließend mit partieller Integration komm ich nicht weiter und bräuchte eure Hilfe.
Liebe Grüße
sosoo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 18.05.2014 | | Autor: | DesterX |
Hallo,
du musst wie du schon sagtest $ [mm] c\cdot{}2\cdot{}\int_{0}^{\infty} x^2(1+x^2/r)^{-(r+1)/2} [/mm] dx$ bestimmen. Substituiere nun [mm] $t=x^2/n$, [/mm] du erhälst schließlich
[mm] $cn^{3/2} \int_{0}^{\infty} t^{3/2-1}(1+t)^{-3/2-(n/2-1)}dt$. [/mm]
Jetzt schau dir die Beta-Funktion an und den Zusammenhang mit der Gamma-Funktion. Anschließend setzt du $c$ wieder ein und kürzt fleißig.
Viel Erfolg,
Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Mo 19.05.2014 | | Autor: | sosoo |
Vielen Dank!
Liebe Grüße
sosoo
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