Erwartungswerte < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Mo 02.06.2014 | | Autor: | petapahn |
| Aufgabe | Seien A und [mm] X_{k} [/mm] unabhängige Zufallsvariablen. [mm] X_{k} [/mm] definiert auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum.
Beweise, dass [mm] E[e^{it*\sum_{k\in \IN}{X_{k}1_{A=k}}}]=\sum_{k\in \IN}{E[e^{itX_{k}}]*E[1_{A=k}]} [/mm] |
Hallo,
Kann mir jemand helfen. Ich komme nicht auf die notwendigen Schritte.
LG
petapahn
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Hallo,
wende einfach die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion [mm] $e^{x+y}=e^{x}*e^{y}$ [/mm] mehrfach an und nutze dann die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen [mm] $X_{k}$ [/mm] und $A$.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 02.06.2014 | | Autor: | petapahn |
Hallo,
danke erstmal für die Antwort. Genau das, was du gesagt hast versuche ich schon die ganze Zeit zu machen, aber:
[mm] E[e^{it\sum_{k\in\IN}{X_{k}1_{A=k}}}]=E[\produkt_{k\in\IN}{e^{it*X_{k}1_{A=k}}}]=\produkt_{k\in\IN}E[e^{it*X_{k}1_{A=k}}]
[/mm]
So und ab da weiß ich eigtl nicht mehr weiter weil die Unabhängigkeit von A und [mm] X_{k} [/mm] mir doch da nichts hilft, oder kann ich trotz der e-Fkt den Erwartungswert auseinanderziehen?
LG
petapahn
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Hiho,
das liegt einfach an mehreren Dingen:
Mit welcher Begründung ziehst du das Produktzeichen aus dem Erwartungswert?
Selbst wenn das ginge, wäre der Schritt leider nicht zielführend.
Dann: Du enthältst wichtige Informationen vor. z.B. muss zwingend gelten, dass A als Wertemenge nur [mm] \IN [/mm] umfasst, sonst stimmt obige Gleichheit nämlich nicht.
Poste das nächste Mal also bitte die komplette Aufgabenstellung.
Dann mach dir klar, dass gilt:
[mm] $\summe_{k\in\IN}e^{itX_k}*1_{\{A = k\}} [/mm] = [mm] e^{it\summe_{k\in\IN}X_k1_{\{A=k\}}}$
[/mm]
Verwende dafür, dass die [mm] $\{A = k\}$ [/mm] eine disjunkte Zerlegung von [mm] \Omega [/mm] darstellen.
Gruß,
Gono.
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