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Erweiterung endlicher Körper: Bitte um Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 Do 10.03.2011
Autor: Lippel

Aufgabe
Sei p prim, $n [mm] \in \IN$. [/mm]

Zeigen Sie:
(i) Für $f [mm] \in \IF_p[X]$ [/mm] irreduzibel gilt: $f [mm] \:|\: X^{p^n}-X \gdw deg\:f \:|\:n$ [/mm]
(ii) Für [mm] $X^{p^n}-X \in \IF_p[X]$ [/mm] gilt: [mm] $X^{p^n}-X [/mm] = [mm] \produkt_i{f_i}$, [/mm] wobei die [mm] $f_i$ [/mm] die irreduziblen, normierten Polynome aus [mm] $\IF_p[X]$ [/mm] seien, für die gilt: $deg [mm] \: [/mm] f [mm] \:|\: [/mm] n$

Hallo,

ich würde um eine Korrektur bitten, da mir die Aufgabe doch recht schwer gefallen ist:

(i) [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] $f [mm] \in \IF_p[X]$ [/mm] irred. und $f [mm] \:|\: X^{p^n}-X \Rightarrow [/mm] f$ ist Minimalpolynom eines Elements [mm] $\alpha \in \IF_{p^n}$ [/mm] über [mm] $\IF_p$, [/mm] da die Nullstellen von [mm] $X^{p^n}-X$ [/mm] gerade die Elemente von [mm] $\IF_{p^n}$ [/mm] sind.
Es gilt: [mm] $[\IF_{p}(\alpha):\IF_p]=deg\:f$ [/mm] und [mm] $n=[\IF_{p^n}:\IF_p]=[\IF_{p^n}:\IF_p(\alpha)][\IF_p(\alpha):\IF_p] [/mm] = [mm] deg\:f\: \cdot \: [\IF_{p^n}:\IF_p(\alpha)] \Rightarrow deg\:f \:|\: [/mm] n$

[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] $f [mm] \in \IF_p[X]$ [/mm] irred. und [mm] $deg\:f \:|\: [/mm] n$. Sei [mm] $\alpha$ [/mm] Nullstelle von [mm] $f\:$ [/mm] in einem algebraischen Abschluss [mm] $\overline{\IF_p}$ [/mm] von [mm] $\IF_p \Rightarrow [\IF_p(\alpha):\IF_p] [/mm] = deg [mm] \:f \:|\: [/mm] n [mm] \Rightarrow \alpha \in \IF_{p^{deg\:f}} \Rightarrow \alpha$ [/mm] ist Nullstelle von [mm] $X^{p^{deg\:f}}-X \Rightarrow$ [/mm] da es ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] gibt: [mm] $m\cdot deg\:f [/mm] = n$ folgt: [mm] $\alpha^{p^n}-\alpha [/mm] = [mm] \alpha^{p^{deg\:f \cdot m}}-\alpha [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \alpha$ [/mm] ist Nullstelle von [mm] $X^{p^n}-X \Rightarrow \alpha \in \IF_{p^n} \Rightarrow f=min_{\IF_p}(\alpha) \:|\: X^{p^n}-X$ [/mm]

(ii) Sei [mm] $\alpha$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] $f_i$ [/mm] in einem algebraischen Abschluss [mm] $\overline{\IF_p}$ [/mm] von [mm] $\IF_p \Rightarrow$ [/mm] da [mm] $f_i$ [/mm] irreduzibel und normiert in [mm] $\IF_p[X]$ [/mm] ist, ist [mm] $f_i$ [/mm] Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] über [mm] $\IF_p$ \Rightarrow$ [/mm] mit (i) folgt: [mm] $f_i \:|\: X^{p^n}-X$ [/mm] und damit ist [mm] $\alpha \in \IF_{p^n}$ [/mm] und somit Nullstelle von [mm] $X^{p^n}-X$. [/mm]
Sei andererseits [mm] $\alpha$ [/mm] Nullstelle von [mm] $X^{p^n}-X$ [/mm] in einem algebraischen Abschluss [mm] $\overline{\IF_p}$ [/mm] von [mm] $\IF_p \Rightarrow \alpha$ [/mm] ist Nullstelle von [mm] $f\:$, [/mm] einem Teiler von [mm] $X^{p^n}-X$ [/mm] aus [mm] $\IF_p[X]$, [/mm] der irreduzibel und normiert ist [mm] $\Rightarrow$ [/mm] aus (i) folgt damit [mm] $deg\:f \:|\: [/mm] n [mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \in \{f_i\}$. [/mm]
Die Nullstellen von [mm] $X^{p^n}-X$ [/mm] und [mm] $\produkt_i f_i$ [/mm] in einem algebraischen Abschluss stimmen also überein. [mm] $X^{p^n}-X$ [/mm] hat [mm] $p^n [/mm] = [mm] $#$\IF_{p^n}$ [/mm] ausschließlich verschiedene Nullstellen. [mm] $\produkt_i f_i$ [/mm] hat mindestens ebenso viele, da alle Minimalpolynome der Elemente aus [mm] $\IF_{p^n}$ [/mm] unter den [mm] $f_i$ [/mm] sind. Damit sind die beiden Polynome gleich.

Vielen Dank für die Hilfe!

LG Lippel

        
Bezug
Erweiterung endlicher Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Do 10.03.2011
Autor: felixf

Moin!

> Sei p prim, [mm]n \in \IN[/mm].
>  
> Zeigen Sie:
>  (i) Für [mm]f \in \IF_p[X][/mm] irreduzibel gilt: [mm]f \:|\: X^{p^n}-X \gdw deg\:f \:|\:n[/mm]
>  
> (ii) Für [mm]X^{p^n}-X \in \IF_p[X][/mm] gilt: [mm]X^{p^n}-X = \produkt_i{f_i}[/mm],
> wobei die [mm]f_i[/mm] die irreduziblen, normierten Polynome aus
> [mm]\IF_p[X][/mm] seien, für die gilt: [mm]deg \: f \:|\: n[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich würde um eine Korrektur bitten, da mir die Aufgabe
> doch recht schwer gefallen ist:
>  
> (i) "[mm]\Rightarrow[/mm]" [mm]f \in \IF_p[X][/mm] irred. und [mm]f \:|\: X^{p^n}-X \Rightarrow f[/mm]
> ist Minimalpolynom eines Elements [mm]\alpha \in \IF_{p^n}[/mm]
> über [mm]\IF_p[/mm], da die Nullstellen von [mm]X^{p^n}-X[/mm] gerade die
> Elemente von [mm]\IF_{p^n}[/mm] sind.
>  Es gilt: [mm][\IF_{p}(\alpha):\IF_p]=deg\:f[/mm] und
> [mm]n=[\IF_{p^n}:\IF_p]=[\IF_{p^n}:\IF_p(\alpha)][\IF_p(\alpha):\IF_p] = deg\:f\: \cdot \: [\IF_{p^n}:\IF_p(\alpha)] \Rightarrow deg\:f \:|\: n[/mm]
>  
> "[mm]\Leftarrow[/mm]" [mm]f \in \IF_p[X][/mm] irred. und [mm]deg\:f \:|\: n[/mm]. Sei
> [mm]\alpha[/mm] Nullstelle von [mm]f\:[/mm] in einem algebraischen Abschluss
> [mm]\overline{\IF_p}[/mm] von [mm]\IF_p \Rightarrow [\IF_p(\alpha):\IF_p] = deg \:f \:|\: n \Rightarrow \alpha \in \IF_{p^{deg\:f}} \Rightarrow \alpha[/mm]
> ist Nullstelle von [mm]X^{p^{deg\:f}}-X \Rightarrow[/mm] da es ein [mm]m \in \IN[/mm]
> gibt: [mm]m\cdot deg\:f = n[/mm] folgt: [mm]\alpha^{p^n}-\alpha = \alpha^{p^{deg\:f \cdot m}}-\alpha = 0 \Rightarrow \alpha[/mm]
> ist Nullstelle von [mm]X^{p^n}-X \Rightarrow \alpha \in \IF_{p^n} \Rightarrow f=min_{\IF_p}(\alpha) \:|\: X^{p^n}-X[/mm]

[ok]

> (ii) Sei [mm]$\alpha$[/mm] eine Nullstelle von [mm]$f_i$[/mm] in einem
> algebraischen Abschluss [mm]$\overline{\IF_p}$[/mm] von [mm]$\IF_p \Rightarrow$[/mm]
> da [mm]$f_i$[/mm] irreduzibel und normiert in [mm]$\IF_p[X]$[/mm] ist, ist
> [mm]$f_i$[/mm] Minimalpolynom von [mm]$\alpha$[/mm] über [mm]$\IF_p$ \Rightarrow$[/mm]
> mit (i) folgt: [mm]$f_i \:|\: X^{p^n}-X$[/mm] und damit ist [mm]$\alpha \in \IF_{p^n}$[/mm]
> und somit Nullstelle von [mm]$X^{p^n}-X$.[/mm]
>  Sei andererseits [mm]\alpha[/mm] Nullstelle von [mm]X^{p^n}-X[/mm] in einem
> algebraischen Abschluss [mm]\overline{\IF_p}[/mm] von [mm]\IF_p \Rightarrow \alpha[/mm]
> ist Nullstelle von [mm]f\:[/mm], einem Teiler von [mm]X^{p^n}-X[/mm] aus
> [mm]\IF_p[X][/mm], der irreduzibel und normiert ist [mm]\Rightarrow[/mm] aus
> (i) folgt damit [mm]deg\:f \:|\: n \Rightarrow f \in \{f_i\}[/mm].
>  
> Die Nullstellen von [mm]X^{p^n}-X[/mm] und [mm]\produkt_i f_i[/mm] in einem
> algebraischen Abschluss stimmen also überein.

[ok]

> [mm]X^{p^n}-X[/mm]
> hat [mm]p^n = [/mm]#[mm]\IF_{p^n}[/mm] ausschließlich verschiedene
> Nullstellen. [mm]\produkt_i f_i[/mm] hat mindestens ebenso viele, da
> alle Minimalpolynome der Elemente aus [mm]\IF_{p^n}[/mm] unter den
> [mm]f_i[/mm] sind. Damit sind die beiden Polynome gleich.

Nein, das reicht so nicht. Du musst noch zeigen, dass (mindestens) eins der Polynome quadratfrei ist.

Oder zeig alternativ: beide Polynome sind quadratfrei (das ist einfacher). Daraus, und daraus dass alle Nullstellen gleich sind und beide Polynome normiert sind, folgt bereits die Gleichheit.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Erweiterung endlicher Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Fr 11.03.2011
Autor: Lippel

Hallo,

> > [mm]X^{p^n}-X[/mm]
> > hat [mm]p^n = [/mm]#[mm]\IF_{p^n}[/mm] ausschließlich verschiedene
> > Nullstellen. [mm]\produkt_i f_i[/mm] hat mindestens ebenso viele, da
> > alle Minimalpolynome der Elemente aus [mm]\IF_{p^n}[/mm] unter den
> > [mm]f_i[/mm] sind. Damit sind die beiden Polynome gleich.
>  
> Nein, das reicht so nicht. Du musst noch zeigen, dass
> (mindestens) eins der Polynome quadratfrei ist.

Die Quadratfreiheit von [mm] $X^{p^n}-X$ [/mm] folgt doch daraus, dass das Polynom, wie ich oben geschrieben habe, nur verschiedene Nullstellen besitzt. Daher hatte ich es erwähnt. Oder reicht das nicht?

LG Lippel


Bezug
                        
Bezug
Erweiterung endlicher Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Sa 12.03.2011
Autor: felixf

Moin!

> > > [mm]X^{p^n}-X[/mm]
> > > hat [mm]p^n = [/mm]#[mm]\IF_{p^n}[/mm] ausschließlich verschiedene
> > > Nullstellen. [mm]\produkt_i f_i[/mm] hat mindestens ebenso viele, da
> > > alle Minimalpolynome der Elemente aus [mm]\IF_{p^n}[/mm] unter den
> > > [mm]f_i[/mm] sind. Damit sind die beiden Polynome gleich.
>  >  
> > Nein, das reicht so nicht. Du musst noch zeigen, dass
> > (mindestens) eins der Polynome quadratfrei ist.
>  
> Die Quadratfreiheit von [mm]X^{p^n}-X[/mm] folgt doch daraus, dass
> das Polynom, wie ich oben geschrieben habe, nur
> verschiedene Nullstellen besitzt. Daher hatte ich es
> erwähnt. Oder reicht das nicht?

Doch, das reicht.

Ansonsten kurz ableiten, dann siehst du sofort dass die Ableitung teilerfremd zum Polynom selber ist :)

LG Felix


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