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| Aufgabe | Berechne Erweiterungsgrad [K:k] für den Zerfällungskröper K des Polynoms [mm]f\in k[X][/mm]
a) [mm]X^3-7\in\IQ[X][/mm]
b) [mm]X^4+2\in\IQ(i)[X][/mm]
c) [mm]X^3+4X-6\in\IQ[X][/mm] |
Also zu a)
[mm]K=\IQ(\wurzel[3]{7},\alpha*\wurzel[3]{7},\alpha^2*\wurzel[3]{7})=\IQ(\wurzel[3]{7},\alpha)[/mm] wobei [mm]\alpha=\exp(i\frac{2\pi}{3})[/mm]
Damit wäre der Zerfällungsgrad 2*3=6
Also zu b)
[mm]K=\IQ(\wurzel[4]{2},\alpha*\wurzel[4]{2},\alpha^2*\wurzel[4]{2},\alpha^3*\wurzel[4]{2})=\IQ(\wurzel[4]{2},\alpha)[/mm] wobei [mm]\alpha=\exp(i\frac{2\pi}{4})[/mm]
Damit käme ich auf 4*2=8
Also zu c)
Hier weiß ich nicht so recht, was ich machen soll. Es gibt nur eine reelle Nullstelle (das war ein Hinweis, den wir verwenden dürfen)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:52 So 12.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Berechne Erweiterungsgrad [K:k] für den
> Zerfällungskröper K des Polynoms [mm]f\in k[X][/mm]
> a)
> [mm]X^3-7\in\IQ[X][/mm]
> b) [mm]X^4+2\in\IQ(i)[X][/mm]
> c) [mm]X^3+4X-6\in\IQ[X][/mm]
>
> Also zu a)
>
> [mm]K=\IQ(\wurzel[3]{7},\alpha*\wurzel[3]{7},\alpha^2*\wurzel[3]{7})=\IQ(\wurzel[3]{7},\alpha)[/mm]
> wobei [mm]\alpha=\exp(i\frac{2\pi}{3})[/mm]
>
> Damit wäre der Zerfällungsgrad 2*3=6
Ja, hier geht das so einfach, da 2 und 3 teilerfremd sind.
> Also zu b)
>
> [mm]K=\IQ(\wurzel[4]{2},\alpha*\wurzel[4]{2},\alpha^2*\wurzel[4]{2},\alpha^3*\wurzel[4]{2})=\IQ(\wurzel[4]{2},\alpha)[/mm]
> wobei [mm]\alpha=\exp(i\frac{2\pi}{4})[/mm]
> Damit käme ich auf 4*2=8
Und warum ist [mm] $\alpha \not\in \IQ(\sqrt[4]{2})$? [/mm] 2 und 4 sind ja gerade nicht teilerfremd, also kannst du nicht einfach mit dem Gradsatz argumentieren.
> Also zu c)
> Hier weiß ich nicht so recht, was ich machen soll. Es
> gibt nur eine reelle Nullstelle (das war ein Hinweis, den
> wir verwenden dürfen)
Sei [mm] $\alpha$ [/mm] die reelle Nullstelle. Dann ist [mm] $\IQ(\alpha)$ [/mm] nicht der Zerfaellungskoerper (warum?) und hat Grad 3 ueber [mm] $\IQ$ [/mm] (warum?).
Beachte, dass der Zerfaellungskoerper ein Erweiterungskoerper von [mm] $\IQ(\alpha)$ [/mm] ist. Was kannst du also bzgl. des Grades des ZK ueber [mm] $\IQ$ [/mm] aussagen in Bezug auf den Grad 3 von [mm] $\IQ(\alpha)$?
[/mm]
Und wenn du Polynomdivision machst ueber [mm] $\IQ(\alpha)$, [/mm] bleibt ja ein Polynom von Grad 2 uebrig. Wenn du davon eine Nullstelle zu [mm] $\IQ(\alpha)$ [/mm] adjungierst, wie gross kann der relative Erweiterungsgrad also hoechstens sein? Und wie gross ist er dann wirklich?
Und aendert sich noch etwas am Grad, wenn du schliesslich die dritte Nullstelle hinzuadjungierst?
LG Felix
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> Moin!
>
> > Berechne Erweiterungsgrad [K:k] für den
> > Zerfällungskröper K des Polynoms [mm]f\in k[X][/mm]
> > a)
> > [mm]X^3-7\in\IQ[X][/mm]
> > b) [mm]X^4+2\in\IQ(i)[X][/mm]
> > c) [mm]X^3+4X-6\in\IQ[X][/mm]
> >
> > Also zu a)
> >
> >
> [mm]K=\IQ(\wurzel[3]{7},\alpha*\wurzel[3]{7},\alpha^2*\wurzel[3]{7})=\IQ(\wurzel[3]{7},\alpha)[/mm]
> > wobei [mm]\alpha=\exp(i\frac{2\pi}{3})[/mm]
> >
> > Damit wäre der Zerfällungsgrad 2*3=6
>
> Ja, hier geht das so einfach, da 2 und 3 teilerfremd sind.
>
> > Also zu b)
> >
> >
> [mm]K=\IQ(\wurzel[4]{2},\alpha*\wurzel[4]{2},\alpha^2*\wurzel[4]{2},\alpha^3*\wurzel[4]{2})=\IQ(\wurzel[4]{2},\alpha)[/mm]
> > wobei [mm]\alpha=\exp(i\frac{2\pi}{4})[/mm]
> > Damit käme ich auf 4*2=8
>
> Und warum ist [mm]\alpha \not\in \IQ(\sqrt[4]{2})[/mm]? 2 und 4 sind
> ja gerade nicht teilerfremd, also kannst du nicht einfach
> mit dem Gradsatz argumentieren.
Warum ist [mm] $\alpha \in\IQ (\wurzel[4]{2}$? [/mm] Naja wenn das so ist, dann ist ja nur [mm] $\IQ (\wurzel[4]{2}$ [/mm] Der Zerfällungskörper.
>
> > Also zu c)
> > Hier weiß ich nicht so recht, was ich machen soll. Es
> > gibt nur eine reelle Nullstelle (das war ein Hinweis, den
> > wir verwenden dürfen)
>
> Sei [mm]\alpha[/mm] die reelle Nullstelle. Dann ist [mm]\IQ(\alpha)[/mm]
> nicht der Zerfaellungskoerper (warum?)
Weil in dem Körper das polynom dann in linearfakroten zerfällt?
> und hat Grad 3 ueber
> [mm]\IQ[/mm] (warum?).
Weil das Polynom in der Aufgabenstellung vom Grad 3 und Minimal sowie normiert ist => Minimalpolynom.
>
> Beachte, dass der Zerfaellungskoerper ein
> Erweiterungskoerper von [mm]\IQ(\alpha)[/mm] ist. Was kannst du also
> bzgl. des Grades des ZK ueber [mm]\IQ[/mm] aussagen in Bezug auf den
> Grad 3 von [mm]\IQ(\alpha)[/mm]?
Momentan ICH irgendwie gar nichts. Könntest du mir genau sagen, was du meinst?
>
> Und wenn du Polynomdivision machst ueber [mm]\IQ(\alpha)[/mm],
Ich weiß überhaupt, welche Polynome ich dividieren soll.
> bleibt ja ein Polynom von Grad 2 uebrig. Wenn du davon eine
> Nullstelle zu [mm]\IQ(\alpha)[/mm] adjungierst, wie gross kann der
> relative Erweiterungsgrad also hoechstens sein? Und wie
> gross ist er dann wirklich?
>
> Und aendert sich noch etwas am Grad, wenn du schliesslich
> die dritte Nullstelle hinzuadjungierst?
>
> LG Felix
Und einen riesen Dank an dich für deine Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 So 12.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Also zu b)
> > >
> > >
> >
> [mm]K=\IQ(\wurzel[4]{2},\alpha*\wurzel[4]{2},\alpha^2*\wurzel[4]{2},\alpha^3*\wurzel[4]{2})=\IQ(\wurzel[4]{2},\alpha)[/mm]
> > > wobei [mm]\alpha=\exp(i\frac{2\pi}{4})[/mm]
> > > Damit käme ich auf 4*2=8
> >
> > Und warum ist [mm]\alpha \not\in \IQ(\sqrt[4]{2})[/mm]? 2 und 4 sind
> > ja gerade nicht teilerfremd, also kannst du nicht einfach
> > mit dem Gradsatz argumentieren.
>
> Warum ist [mm]\alpha \in\IQ (\wurzel[4]{2}[/mm]?
Es koennte ja sein. Du musst begruenden, warum das eben nicht der Fall ist.
> Naja wenn das so ist, dann ist ja nur [mm]\IQ (\wurzel[4]{2}[/mm]
> Der Zerfällungskörper.
Ja.
> > > Also zu c)
> > > Hier weiß ich nicht so recht, was ich machen soll.
> Es
> > > gibt nur eine reelle Nullstelle (das war ein Hinweis, den
> > > wir verwenden dürfen)
> >
> > Sei [mm]\alpha[/mm] die reelle Nullstelle. Dann ist [mm]\IQ(\alpha)[/mm]
> > nicht der Zerfaellungskoerper (warum?)
> Weil in dem Körper das polynom dann in linearfakroten
> zerfällt?
> > und hat Grad 3 ueber
> > [mm]\IQ[/mm] (warum?).
>
> Weil das Polynom in der Aufgabenstellung vom Grad 3 und
> Minimal sowie normiert ist => Minimalpolynom.
Also ist es irreduzibel? Wenn ja, dann stimmt es.
> > Beachte, dass der Zerfaellungskoerper ein
> > Erweiterungskoerper von [mm]\IQ(\alpha)[/mm] ist. Was kannst du also
> > bzgl. des Grades des ZK ueber [mm]\IQ[/mm] aussagen in Bezug auf den
> > Grad 3 von [mm]\IQ(\alpha)[/mm]?
>
> Momentan ICH irgendwie gar nichts.
Den Satz versteh ich so auch nicht.
> Könntest du mir genau
> sagen, was du meinst?
Wenn $K$ der ZK ist, dann weisst du doch: $[K : [mm] \IQ] [/mm] = [K : [mm] \IQ(\alpha)] \cdot [\IQ(\alpha) [/mm] : [mm] \IQ]$.
[/mm]
Also, was kannst du ueber $[K : [mm] \IQ]$ [/mm] sagen? Ist es durch irgendwas teilbar?
> > Und wenn du Polynomdivision machst ueber [mm]\IQ(\alpha)[/mm],
>
> Ich weiß überhaupt, welche Polynome ich dividieren
> soll.
Na, das Polynom [mm] $X^3 [/mm] + 4 X - 6$ durch $X - [mm] \alpha$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 So 12.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
Da ich mich auch mit der Aufgab herumärgere. Übernehme ich die Rolle des Fragenstellers:
Also für a) habe ich auch 6
b)
Hätte ich auch [mm] $\IQ(\wurzel[4]{2},i)$ [/mm] .Es ist doch [mm] $\exp(i\frac{\pi}{2})=i$. [/mm] Damit hätte ich einmal das MinPol [mm] $x^4-2$ [/mm] und einmal [mm] $x^2+1$. [/mm] Insgesamt ist der Grad der Erweiterung 8.
Es sollte doch offensichtlich sein,dass [mm] $i\not\in \IQ(\wurzel[4]{2})$.
[/mm]
zu c)
der grad der Körpererweiterung sollte nach dem Gradsatz durch 3 Teilbar sein.
Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 So 12.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Da ich mich auch mit der Aufgab herumärgere. Übernehme
> ich die Rolle des Fragenstellers:
> Also für a) habe ich auch 6
> b)
>
> Hätte ich auch [mm]\IQ(\wurzel[4]{2},i)[/mm] .Es ist doch
> [mm]\exp(i\frac{\pi}{2})=i[/mm]. Damit hätte ich einmal das MinPol
> [mm]x^4-2[/mm] und einmal [mm]x^2+1[/mm]. Insgesamt ist der Grad der
> Erweiterung 8.
Nicht umbedingt. Warum ist [mm] $x^2 [/mm] + 1$ denn irreduzibel ueber [mm] $\IQ(\sqrt[4]{2})$? [/mm] (Das ist aequivalent zu $i [mm] \not\in \IQ(\sqrt[4]{2})$.)
[/mm]
> Es sollte doch offensichtlich sein,dass [mm]i\not\in \IQ(\wurzel[4]{2})[/mm].
Und warum ist es offensichtlich? Das kann man tatsaechlich sehr einfach begruenden, aber begruenden muss man es schon :)
> zu c)
> der grad der Körpererweiterung sollte nach dem Gradsatz
> durch 3 Teilbar sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und wie gross kann der Grad maximal sein? Und kann er 3 sein?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 So 12.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
zu [mm]i\notin \IQ(\wurzel[4]{2})[/mm]. Ich nehme an [mm]f=x^2+1[/mm] ist reduzibel, dann ist [mm]x^2+1=(x+a)(x*b)[/mm] da f normiert ist.ALso
[mm]x^2+1=x^2+(a+b)x+a*b[/mm] Somit ist a+b=0 und a*b=1. Also [mm]a=\frac{1}{b}[/mm] und somit [mm]a+b\neq 0[/mm]. Widerspruch. Also doch irreduzibel. So sollte es gehen.
> Und wie gross kann der Grad maximal sein? Und kann er 3 sein?
Hier muss ich leider auch passen. Am liebsten wäre mit [mm]\leq 3[/mm].
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 So 12.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> zu [mm]i\notin \IQ(\wurzel[4]{2})[/mm]. Ich nehme an [mm]f=x^2+1[/mm] ist
> reduzibel, dann ist [mm]x^2+1=(x+a)(x*b)[/mm] da f normiert
> ist.ALso
>
> [mm]x^2+1=x^2+(a+b)x+a*b[/mm] Somit ist a+b=0 und a*b=1. Also
> [mm]a=\frac{1}{b}[/mm]
Soweit ok.
> und somit [mm]a+b\neq 0[/mm].
Nein, das stimmt nicht. $i$ und $-i$ erfuellen dies alles zum Beispiel.
> Widerspruch. Also doch
> irreduzibel. So sollte es gehen.
Nein, leider nicht. Nach dem Beweis waer [mm] $x^2 [/mm] + 1 = (x - i) (x + i)$ sogar ueber [mm] $\IC$ [/mm] irreduzibel.
Es gibt aber noch ein anderes, sehr einfaches Argument. Beachte dazu, dass [mm] $\sqrt[4]{2} \in \IR$ [/mm] ist (bzw. man eine reelle vierte Wurzel nehmen kann).
> > Und wie gross kann der Grad maximal sein? Und kann er 3
> > sein?
>
> Hier muss ich leider auch passen. Am liebsten wäre mit
> [mm]\leq 3[/mm].
Wenn er 3 ist, liegen doch alle Nullstellen in [mm] $\IQ(\alpha) \subseteq \IR$ [/mm] (warum gilt die Teilmengenbeziehung?). Kann er also 3 sein?
Nein, kann er nicht, er ist also mind. 6 (oder 9 oder 12 oder ...).
Zeige jetzt, dass er hoechstens 6 sein kann. Sind [mm] $\beta$ [/mm] und [mm] $\gamma$ [/mm] die weiteren Nullstellen, so ist der Zerfaellungskoerper ja [mm] $\IQ(\alpha, \beta, \gamma)$.
[/mm]
Zeige:
a) Es gilt [mm] $[\IQ(\alpha, \beta) [/mm] : [mm] \IQ(\alpha)] \le [/mm] 2$.
b) Es gilt schon [mm] $\IQ(\alpha, \beta) [/mm] = [mm] \IQ(\alpha, \beta,\ [/mm] gamma)$;
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 So 12.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
Ich soll ja [mm] $[\IQ(\wurzel[4]{2},i):\IQ(i)]$ [/mm] bestimmen, daher ist der Erweiterungsgrad ja nur 4 und nicht zwei, mit der unbewiesenen Begründung [mm] $i\notin \IQ(\wurzel[4]{2})$.
[/mm]
Also noch einmal für das Verständnis:
[mm] $[\IQ(\wurzel[4]{2},i):\IQ(i)]=4$
[/mm]
[mm] $[\IQ(\wurzel[4]{2},i):\IQ]=8$
[/mm]
Stimmt das soweit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 So 12.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ich soll ja [mm][\IQ(\wurzel[4]{2},i):\IQ(i)][/mm] bestimmen, daher
> ist der Erweiterungsgrad ja nur 4 und nicht zwei, mit der
> unbewiesenen Begründung [mm]i\notin \IQ(\wurzel[4]{2})[/mm].
ja, wobei es einfacher ist ueber [mm] $[\IQ(\sqrt[4]{2}, [/mm] i) : [mm] \IQ(\sqrt[4]{2})]$ [/mm] zu argumentieren, da dies hoechstens $2$ sein kann und es genau dann gleich 2 ist, wenn $i [mm] \not\in \IQ(\sqrt[4]{2})$ [/mm] ist.
> Also
> noch einmal für das Verständnis:
> [mm][\IQ(\wurzel[4]{2},i):\IQ(i)]=4[/mm]
> [mm][\IQ(\wurzel[4]{2},i):\IQ]=8[/mm]
> Stimmt das soweit?
Ja, das stimmt.
LG Felix
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