Erzeug.system eines Teilraums < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Pharao |
| Aufgabe | Wir betrachten den Vektorraum der Polynome [mm] R\le_{3}[x] [/mm] und darin die Vektoren (Polynome)
[mm] -4x^3+4, 4x^2, -5x^3-2, [/mm]
-5x(x+1), x+1, [mm] -4x^3+2x^2+5x,
[/mm]
-5x+5, [mm] 5(x-1)^3, [/mm] -4x+1
Wählen Sie aus der Liste der Polynome Teilmengen so aus, dass diese ein Erzeugendensystem der folgenden Teilräume des Vektorraums [mm] R\le_{3}[x] [/mm] darstellen:
a) [mm] {p|p\varepsilonR\le_{3}[x], p(0)=0}
[/mm]
b) [mm] R_{2}[x]
[/mm]
[mm] c){p|p\varepsilonR\le_{3}[x], p'(0)=0}
[/mm]
[mm] d){p|p\varepsilonR\le_{3}[x], p''(0)=0} [/mm] |
hallo,
ich war einige tage krankheitsbedingt nicht in der uni und weiß für diese aufgabe keinerlei ansatz. vielleicht könnt ihr mir helfen und mir einen lösungsansatz anhand eines beispieles erklären.
vielen dank schonmal und grüße
Pharao
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hey du hast fast die gleichen Polynome wie ich in meiner Aufgabe:
a) $ [mm] {p|p\varepsilonR\le_{3}[x], p(0)=0} [/mm] $
du musst gucken welche der Polynome aus der Liste am Punkt f(0)= 0 ist
$ [mm] -4x^3+2x^2+5x, [/mm] $ und so weiter...
dann musst du gucken ob die Polynome linearunabghängig sind also müssen
alle koeffizienten 0 sein.
es gibt allerdings nur 3 Polynome die die Bedingung erfüllen, nur weiß ich nicht ob man bei [mm] R\le_{3}[x] [/mm] 4 Polynome braucht um das Erzeugendensystem aufzustellen oder nur 3, leider hat mir diese Frage auch noch niemand beantwortet.
Ich hoffe ich konnte dir etwas weiter helfen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Pharao |
in welchm punkt muss f glich 0 sein, verstehe das noch nicht.
mir fehlt da gewissermaßen der ansatz. vielleicht kannst du mir das an einem bsp erklären?
vielen dank schonmal und gruß
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f(x)=x+1 zum beispiel und f(0)=0+1 also ist x=0 dieses Polynom kannst du also nicht benutzen, aber solche polynome wenn f(x)= x ist dann ist ja wenn f(0)=0 also kannst du alle polynome benutzen wo keine konstante drin ist.
dann nimmst du 4 polynome
und die müssen zusammen null sein
also a(x)+b(2x)+c(-6x)+d(x)=0 wobei a,b,c,d auch null sein müssen...
du findest aber nich bei alles 4 polynome also musst du auch manchmal im applet ein nein ankreuzen ;)
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:31 Fr 28.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> dann musst du gucken ob die Polynome linearunabghängig sind
Für ein Erzeugendensystem müssen die Vektoren nicht linear unabhängig sein.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 So 30.11.2008 | | Autor: | Skalar85 |
Habe mir nochmal die Hausaufgabe durchgelesen und davor ist ein Beispiel angebracht...Ich weiß jetzt dass man keine Basis für ein Erzeugendensystem bilden muss aber kann und das haben die in der Beispielaufgabe auch so geschrieben, also weiß ich jetzt nicht ob sie dass in den Lösungen auch verlangen
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:51 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Skalar85 |
wie löst man denn sonst die Aufgabe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Fr 28.11.2008 | | Autor: | pelzig |
a) Die Elemente des Erzeugendensystems müssen ja zumindest in dem Teilraum liegen, d.h. es muss $f(0)=0$ gelten (das hast du ja auch schon richtig erkannt). Von den zu Auswahl stehenden Polynomen bleiben daher lediglich:
i) [mm] f(x)=4x^2
[/mm]
ii) [mm] g(x)=-5x(x+1)=-5x^2-5x
[/mm]
iii) [mm] h(x)=-4x^3+2x^2+5x
[/mm]
Aber bilden diese auch wirklich ein Erzeugendensystem, d.h. lässt sich jedes Polynom mit $p(0)=0$ schreiben als [mm] $\lambda_1f+\lambda_2g+\lambda_3h$ [/mm] für gewisse [mm] $\lambda_i\in\IR$? [/mm] Hier gibt es viele Möglichkeiten...
Gruß, Robert
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