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| Aufgabe | Sei K [mm] \subseteq [/mm] L ein Teilkörper und V ein L-Vektorraum. Außerdem sei [mm] (x_{j})_{j\in J} [/mm] ein Erzeugenden-System von V als L-Vektorraum und [mm] (\alpha_{i})_{i\in I} [/mm] ein Erzeugendensystem von L, aufgefasst als K-Vektorraum. Herbei seien I und J beliebige Indexmengen.
Zeigen sie: die Produkte [mm] (\alpha_{i} x_{j})_{(i,j)\in IxJ} [/mm] bilden ein Erzeugenden-System von V als K-Vektorraum. |
Hallo zusammen 
Als ich mir das erste mal die Aufgabenstellung durchgelesen habe, wusste ich erst gar nciht, was damti genau gemeitn ist....^^
Hab mir folgendes überlegt:
Die [mm] x_{j} [/mm] bilden ein Erzeugenden-System (ES) von V.
Die [mm] \alpha_{i} [/mm] bilden ein ES von L
Sei N weitere beliebige Indexmenge, c [mm] \in [/mm] K.
z.z. Die Linearkombination [mm] \summe_{i\in I, j\in J, n \in N} c_{n}(\alpha_{i} x_{j}) [/mm] stellt jedes Element aus V dar.
[mm] \summe_{i\in I, j\in J, n \in N} c_{n} (\alpha_{i} x_{j})= \summe_{i\in I, j\in J, n \in N} (c_{n}\alpha_{i}) x_{j}
[/mm]
darf ich so umklammern? wenn ja, hab ich dann so argumentiert:
c [mm] \in [/mm] K, [mm] \alpha_{i} \in [/mm] L, und da die [mm] \alpha_{i} [/mm] ein ES von L als K-VR bilden, gilt: [mm] c_{n}\alpha_{i} \in [/mm] L .
Wir wissen aber schon, dass die [mm] x_{j} [/mm] ein ES von V als L-VR bildet. Mit [mm] c_{n}\alpha_{i} \in [/mm] L folgt dann also, dass sich jedes Element aus V sich durch die besagte Lin.Kombi darstellen lässt.
ISt das so richtig?
Hab so meine zweifel... :-(
Wäre nett, wenn mir da einer unter die Arme greifen könnte...*g*
LG, Fabian
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> Sei K [mm]\subseteq[/mm] L ein Teilkörper und V ein L-Vektorraum.
> Außerdem sei [mm](x_{j})_{j\in J}[/mm] ein Erzeugenden-System von V
> als L-Vektorraum und [mm](\alpha_{i})_{i\in I}[/mm] ein
> Erzeugendensystem von L, aufgefasst als K-Vektorraum.
> Herbei seien I und J beliebige Indexmengen.
>
> Zeigen sie: die Produkte [mm](\alpha_{i} x_{j})_{(i,j)\in IxJ}[/mm]
> bilden ein Erzeugenden-System von V als K-Vektorraum.
> Als ich mir das erste mal die Aufgabenstellung durchgelesen
> habe, wusste ich erst gar nciht, was damti genau gemeitn
> ist....^^
>
> Hab mir folgendes überlegt:
Hallo,
wie schön, daß Du drangeblieben bist! Du hast vieles verstanden.
Zu zeigen ist also [mm] <(\alpha_{i} x_{j})_{(i,j)\in IxJ}>_K=V.
[/mm]
[mm] (<(\alpha_{i} x_{j})_{(i,j)\in IxJ}>_K [/mm] bedeutet: die Menge aller Linearkombinationen über K von Elementen [mm] \alpha_{i} x_{j})
[/mm]
Das beinhaltet zweierlei:
[mm] 1.<(\alpha_{i} x_{j})_{(i,j)\in IxJ}>_K \subseteq [/mm] V und
2. V [mm] \subseteq <(\alpha_{i} x_{j})_{(i,j)\in IxJ}>_K
[/mm]
Zu 1. Deine Argumentation mit dem Umklammern (ja, das darfst Du, weil die multiplikation mit Skalaren assoziativ ist) ist genau diese Richtung:
Sei v [mm] \in <(\alpha_{i} x_{j})_{(i,j)\in IxJ}>_K
[/mm]
Dann gibt es [mm] k_i^{(j)} \in [/mm] K ( "hoch (j)" hat nichts mit Potenz zu tun, sondern ist ein Index.),
so daß
[mm] v=\summe_{i\in I, j\in J}k_i^{(j)}(\alpha_{i} x_{j})
[/mm]
[mm] =\summe_{i\in I, j\in J}\underbrace{(k_i^{(j)}\alpha_{i})}_{\in L} x_{j} [/mm] Assoziativität
[mm] \in [/mm] V,
2.
Sei nun v [mm] \in [/mm] V.
Dann gibt es [mm] l_j \in [/mm] L mit
[mm] v=\summe_{j\in J}l_jx_j [/mm]
Die [mm] a_i [/mm] sind ein Erzeugendensystem von L (über K).
Also gibt es für jedes [mm] l_j k_i^{(j)}\in [/mm] K mit [mm] l_j=\summe_{i\in I}k_i^{(j)}a_i. [/mm] Eingesetzt ergibt sich
[mm] ...=\summe_{j\in J}(\summe_{i\in I}k_i^{(j)}a_i)x_j [/mm]
[mm] =\summe_{j\in J}(\summe_{i\in I}(k_i^{(j)}a_i)x_j [/mm] ) Distributivgesetz
[mm] =\summe_{j\in J}(\summe_{i \in I}k_i^{(j)}(a_ix_j [/mm] )) Assoziativgesetz
[mm] =\summe_{i \in I, j\in J}k_i^{(j)}(a_ix_j [/mm] ) [mm] \in <(\alpha_{i} x_{j})_{(i,j)\in IxJ}>_K
[/mm]
Gruß v. Angela
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Danke vielmals für die ausfürhliche Lösung / Hiflestellung.. Hatte heute früh meine lösung abgegeben. Vielleicht gibt es ja ein paar Punkte. Du wirst es nciht glauben, aber so äjhnlich, wie du es aufgeschrieben hast, hatte ich es mir auch überlegt. Hatte da auch Doppelsummen, aber wusste nicht, wie ich die umformen kann, hatte es dann wieder verworfen...^^
Danke nochmal
LG, Fabian
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