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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Sa 09.03.2013 | | Autor: | sladi23 |
| Aufgabe | | Es seien X ~ [mm] Poi(\lambda) [/mm] und Y~ [mm] Poi(\mu) [/mm] Poisson-verteilte ZVe mit [mm] \mu >\lambda>0. [/mm] Setze Z=Y-X. Es seien X und Z unabhängig. Zeige, dass dann Z~ [mm] Poi(\mue-\lambda). [/mm] |
Also nach einer Recherche bin ich auf diese Lösung gestoßen:
X ~ [mm] Poi(\lambda) [/mm] und Y ~ [mm] Poi(\mu) [/mm] gilt für die
Erzeugendenfunktionen:
[mm] g_X(t)=e^{\lambda*(t-1)}
[/mm]
[mm] g_Y(t)=e^{\mu*(t-1)}
[/mm]
Setze Z = Y-X, d.h. Z+X=Y
Dann gilt [mm] g_Y(t)=g_{Z+X} [/mm] (t).
Weil Z und X stoch unabhängig sind folgt also
[mm] g_Y(t)=g_Z(t)*g_X(t)
[/mm]
[mm] g_Z(t)=\frac{g_Y(t)}{g_X(t)}
[/mm]
[mm] g_Z(t)=e^{(\mu-\lambda)(t-1)}
[/mm]
Entweder man sieht es jetzt so ein das Z [mm] ~Poi(\mu-\lambda).
[/mm]
Oder man schreibt letzten Term als Potenzreihe und
bestimmt die Koeffizienten [mm] a_k=P(Z=k)
[/mm]
und sieht dann [mm] P(Z=k)=e^{-(\mu-\lambda)}*\frac{(\mu-\lambda)^k}{k!}
[/mm]
___________________________
Die Rechnung ist super elegenat und nachvollziehbar. Aber Angenommen ich weiß nicht wie die Erzeugendenfunktion einer Poisson-verteilten ZVe ausschaut. Wie kann ich dann auf die Verteilungsfunktion schließen? D.h. wenn mir jemand eine Erzeugendenfunktion vorgibt, wie kann man von da aus auf die Verteilungsfunktion schließen ohne Informationen darüber zu haben?
Bei Wikipedia ist z.B. ein Zusammenhang beschrieben:
P(X=k) = [mm] \frac{m_X^k (0)}{k!}
[/mm]
Wenn ich nun aber annehme, dass ich [mm] m_X [/mm] ja gegeben habe (für Poisson):
[mm] m_X (t)=E(t^X) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\inf} t^k [/mm] P(X=k) = [mm] e^{\lambda \cdot(t-1)}
[/mm]
Dann setze ich das ein in P(X=k) = [mm] \frac{m_X^k(0)}{k!} [/mm] = [mm] \frac{e^{\lambda (0-1)}}{k!} [/mm] = [mm] \frac{e^{-\lambda}}{k!}
[/mm]
Dann fehlt mir aber noch der Faktor [mm] \lambda^k [/mm] für die Poissonverteilung. Oder muss ich hier das k-te Moment betrachten? Wo ist mein Denkfehler?
Außerdem ist doch z.B. Bei einer geometrischen ZVe kein k! im Ausdruck...
Wer kann mir da auf die Sprünge helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Dann fehlt mir aber noch der Faktor [mm]\lambda^k[/mm] für die Poissonverteilung. Oder muss ich hier das k-te Moment betrachten? Wo ist mein Denkfehler?
Dein Denkfehler ist in der Notation.
Du schreibst ja [mm] $m^k$, [/mm] bei Wikipedia steht aber [mm] $m^{(k)}$, [/mm] das ist was anderes.
[mm] $m^{(k)}$ [/mm] meint die k-te Ableitung von m.
In deinem Fall ist also [mm] $m^{(k)}(t) [/mm] = [mm] \lambda^ke^{\lambda(t-1)}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Sa 09.03.2013 | | Autor: | sladi23 |
Hey,
Danke für die Antwort. Mit dem Hinweis funktioniert das auch wie gewollt...Für B(n,p) verteilte ZVe läufts auch super...
Rechne mir gerad nur ein Wolf bei der k-ten Ableitung für die Erzeugendenfunktion der geometrischen Verteilung.
Die erzeugenden Funktion ist ja
[mm] m_X [/mm] (s) = [mm] \frac{ps}{1-(1-p)s}
[/mm]
Die erste Ableitung ist
[mm] m_X^{(1)} [/mm] (s) = [mm] \frac{p+ps(1-p)}{1-(1-p)s)^2} [/mm]
Und bei der 2ten Ableitung fängt der Spaß schon an. So oder so erkenne ich keine Muster, dass ich daraus auf die k-te Ableitung schließen kann. Außerdem käme dann ja noch der Nenner k! ins Spiel, der sich irgendwo wegkürzen muss, damit am Ende
[mm] f_X [/mm] (k) = [mm] p(1-p)^{k-1} [/mm] (k ist der 1. Treffer)
folgt. Oh man, eigentlich schlimm, wenn man Probleme bei der 2. Ableitung Probleme bekommt... :(
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Hiho,
> Die erste Ableitung ist [mm]m_X^{(1)}[/mm] (s) = [mm]\frac{p+ps(1-p)}{1-(1-p)s)^2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie kommst du da drauf?
Schreiben wir es erstmal um:
[mm] $m_X(s) [/mm] = [mm] \frac{ps}{1+(p-1)s}$
[/mm]
Jetzt nochmal: Ableiten, sauber!
Als Tipp für die generelle Ableitung: Forme immer so im, dass im Nenner $1+(p-1)s$ mit Potenz eins mehr als der Ableitung steht.
Im Nenner faktorisiere so, dass du nur noch Potenzen von p, p-1 und einem Faktor hast.
Dann sieht man recht schnell, wie der Hase läuft.
> Oh man, eigentlich schlimm, wenn man Probleme bei der 2. Ableitung Probleme bekommt... :(
Sauber aufschreiben und auch mal 5 Minuten Pause machen!
Und für mich: Schreibe Fragen bitte in Zukunft auch als Fragen und nicht als Mitteilung. Sonst übersieht mans schnell.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Sa 09.03.2013 | | Autor: | sladi23 |
Wunderbar. Es funktioniert. Und die k! fällt auch weg. Mathe kann so schön sein... ;) Danke schön.
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