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| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren v1=(3,0,3,6), v2=(2,-1,1,2), v3=(-1,1,0,0), v4=(0,1,2,pi) und v5=(2,1,4,4+pi) [mm] \in\IR^4. [/mm] Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Antwort.
...e) Die Vektoren v1,v2,v4 bilden ein Erzeugendensystem von [mm] \IR^3 [/mm] |
Hallo Freunde der Mathematik,
ich habe eine Vermutung, aber ich weiß leider nicht wie ich sie beweisen soll. Es geht doch darum mit Linearkombination alle Elemente aus [mm] \IR^3 [/mm] darstellen zu können, richtig? Jetzt steht auf meinem Blatt v1*k+v2*m+v4*n=(w1,w2,w3,0) wobei w1,w2,w3 [mm] \in \IR. [/mm] Wie geht es weiter? Wie kann ich das rechnerisch nachweisen??
Danke ;)
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Hallo Ahnungsloser,
schreib [mm] \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_4 [/mm] als Matrix (mit den Vektoren als Spalten). Wenn deren Determinante [mm] \not=0 [/mm] ist, bilden die Vektoren ein Erzeugendensystem.
Grüße
reverend
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Danke Reverend für deine Antwort! Super:) mit der Antwort hätte ich nicht gerechnet. Wir haben Lineare Gleichungssysteme leider noch nicht behandelt, gibt es noch einen alternativen Weg?
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Wie berechne ich eine unsymmetrische Matrix?
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> Gegeben seien die Vektoren v1=(3,0,3,6), v2=(2,-1,1,2),
> v3=(-1,1,0,0), v4=(0,1,2,pi) und v5=(2,1,4,4+pi) [mm]\in\IR^4.[/mm]
> Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch
> sind und begründen Sie Ihre Antwort.
> ...e) Die Vektoren v1,v2,v4 bilden ein Erzeugendensystem
> von [mm]\IR^3[/mm]
Hallo,
Deine Vektoren sind aus den [mm] \IR^4.
[/mm]
Sie können einen Unterraum des [mm] \IR^4 [/mm] aufspannen, auch einen dreidimensionalen Unterraum des [mm] \IR^4.
[/mm]
Aber nie und nimmer können sie den [mm] \IR^3 [/mm] aufspannen, denn dieser besteht aus Vektoren mit drei Einträgen.
Gruß v. Angela
> Hallo Freunde der Mathematik,
>
> ich habe eine Vermutung, aber ich weiß leider nicht wie
> ich sie beweisen soll. Es geht doch darum mit
> Linearkombination alle Elemente aus [mm]\IR^3[/mm] darstellen zu
> können, richtig? Jetzt steht auf meinem Blatt
> v1*k+v2*m+v4*n=(w1,w2,w3,0) wobei w1,w2,w3 [mm]\in \IR.[/mm] Wie
> geht es weiter? Wie kann ich das rechnerisch nachweisen??
>
> Danke ;)
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Danke!
Aber ich frage mich, ob ich das so schreiben darf. Würde ich nicht Probleme bekommen, weil ich das nicht sauber begründet habe??
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> Danke!
> Aber ich frage mich, ob ich das so schreiben darf. Würde
> ich nicht Probleme bekommen, weil ich das nicht sauber
> begründet habe??
Warum? Ein erzeugendensystem besteht per Definition aus Elementen des betrachteten Vektorraums bzw. Teilraums. Da deine Vektoren keine Elemente des [mm] \IR^3 [/mm] sind, können sie auch kein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] bilden.
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