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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Erzeugendensystem/Basis
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Erzeugendensystem/Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Do 31.01.2008
Autor: domenigge135

Hallo ich habe mal eine ganz wichtige Frage.

Erzeugendensystem bedeutet ja, dass eine Menge von Vektoren [mm] \alpha_1,...,\alpha_n [/mm] von Vektoren im [mm] \IR^n [/mm] Erzeugendensystem des [mm] \IR^n [/mm] heißt, wenn [mm] Lin{\alpha_1,...,\alpha_n}=\IR^n. [/mm] Man sagt auch, [mm] \alpha_1,...,\alpha_n [/mm] spannen den [mm] \IR^n [/mm] auf.

Basis des [mm] \IR^n [/mm] ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des [mm] \IR^n. [/mm]

Leider kann ich mit beiden Definitionen nur geringfügig etwas anfangen. Kann mir jmd. ein ganz einfaches Beispiel dazu geben??? Einmal geht es um Vektoren und einmal um Polynome. Ich weiß einfach nicht, wie ich das rauskriegen soll!!!

Bin für jede Hilfe dankbar. Dankeschön schonmal im Voraus. MFG domenigge135

        
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Do 31.01.2008
Autor: steppenhahn

Beispiel [mm] \IR^{2}: [/mm]

Die zwei Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} [/mm] sind Erzeugendensystem von [mm] \IR^{2}, [/mm] denn die Menge der Linearkombinationen

Lin = [mm] \{\lambda * \vektor{1 \\ 0} + \mu * \vektor{0 \\ 1} | \lambda, \mu \in \IR\} [/mm]

kann offenbar den gesamten [mm] \IR^{2} [/mm] "abdecken". Dies kann man auch durch Umformen sehen:

Lin = [mm] \{\vektor{\lambda \\ 0} + \vektor{0 \\ \mu} | \lambda, \mu \in \IR\} [/mm]
     = [mm] \{\vektor{\lambda \\ \mu} | \lambda, \mu \in \IR\} [/mm]

Naja und wenn nun sowohl [mm] \lambda, \mu \in \IR [/mm] sind, welchen Vektor könnten sie dann nicht erzeugen? Keinen, also sind die beiden Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} [/mm] Erzeugendensystem von [mm] \IR. [/mm]

Wenn die beiden Vektoren nun eine Basis von [mm] \IR^{2} [/mm] sein sollen, so müssen sie zusätzlich zur Erezugendensystem-Eigenschaft noch linear unabhängig sein.
Anschaulich heißt das mit Pfeilen: Die beiden Pfeile dürfen nicht in dieselbe Richtung zeigen ( Denn dann würden sie nur eine Gerade erzeugen, was nicht der ganze [mm] \IR^{2} [/mm] ist.

Man kann das richtig zeigen, indem man beweist, das die Linearkombination

[mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = o

nur die Lösungen [mm] \lambda [/mm] = [mm] \mu [/mm] = 0 hat.
--> Offenbar ist [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} [/mm] eine Basis, denn die obige Gleichung hat nur die Lösung [mm] \lambda [/mm] = [mm] \mu [/mm] = 0.



Bezug
                
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Do 31.01.2008
Autor: domenigge135

Okay das habe ich soweit verstenden. Was ist mit den Vektoren [mm] v=\vektor{2 \\ 6} w=\vektor{2 \\ 4}? [/mm]
Lin={ [mm] \Lambda\*\vektor{2 \\ 6}+\mu\*\vektor{2 \\ 4} [/mm] | [mm] \Lambda,\mu \in \IR [/mm] }

Was kann ich hier jetzt sagen? ich würde ja dann auf { [mm] \vektor{4\Lambda \\ 10\mu} [/mm] | [mm] \Lambda,\mu \in \IR [/mm] }. Wären diese nicht auch Erzeugendensystem?

Basis sind sie allerdings nicht, da v und w vielfaches und somit linear abhängig sind.

Aber kann ich jetzt nicht sagen, dass das gesamte egal welchen Koeffizient [mm] \in \IR [/mm] ich wähle, ich immer ein Erzeugendensystem habe?

Bezug
                        
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Do 31.01.2008
Autor: Sabah


Okay das habe ich soweit verstenden. Was ist mit den Vektoren [mm] v=\vektor{2 \\ 6} w=\vektor{2 \\ 4}? [/mm]
Lin={ [mm] \Lambda\*\vektor{2 \\ 6}+\mu\*\vektor{2 \\ 4} [/mm] | [mm] \Lambda,\mu \in \IR [/mm] }
Was kann ich hier jetzt sagen? ich würde ja dann auf { [mm] \vektor{4\Lambda \\ 10\mu} [/mm] | [mm] \Lambda,\mu \in \IR [/mm] }. Wären diese nicht auch Erzeugendensystem?
[ok]
Natürlich sind auch v und Erzeugendensystem. Weil sie ja Linearunabhängig sind.

Basis sind sie allerdings nicht, da v und w vielfaches und somit linear abhängig sind.

v, und w sind auch Basis.  

Aber kann ich jetzt nicht sagen, dass das gesamte egal welchen Koeffizient [mm] \in \IR [/mm] ich wähle, ich immer ein Erzeugendensystem habe?

Was meinst du damit?





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Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Do 31.01.2008
Autor: domenigge135

naja ich könte ja jetzt z.B. auch [mm] \vektor{2 \\ 6},\vektor{9 \\ 8},\vektor{1 \\ 4},\vektor{54 \\ 98},\vektor{3 \\ 6},\vektor{3 \\ 7},\vektor{32 \\ 76} [/mm] nehmen. Egal welche beiden Vektoren ich wähle, ich habe immer ein Erzeugendensystem oder?

Habs nochmal nachgerechnet mit Basis. Hast natürlich recht!

Wie sieht denn das ganze jetzt aus für Polynome wie erkenne ich dort ein Erzeugendensystem?

Bezug
                                        
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Do 31.01.2008
Autor: Sabah

naja ich könte ja jetzt z.B. auch [mm] \vektor{2 \\ 6},\vektor{9 \\ 8},\vektor{1 \\ 4},\vektor{54 \\ 98},\vektor{3 \\ 6},\vektor{3 \\ 7},\vektor{32 \\ 76} [/mm] nehmen. Egal welche beiden Vektoren ich wähle, ich habe immer ein Erzeugendensystem oder?

Dann gebe ich dir mal ein Gegenbeispiel,

[mm] v=\vektor{2\\ 3} [/mm]
[mm] w=\vektor{10\\ 15} [/mm]

Dir beiden bilden aber keine Erzeigenden System, sind auch keine Basis.

Bezug
                                                
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Do 31.01.2008
Autor: domenigge135

Gut. Dann habe ich das Problem anscheinend noch nicht so gut verstanden. Wieso sind diese nicht Erzeugendensystem?

Bezug
                                                        
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Do 31.01.2008
Autor: Sabah

Die Vektoren
[mm] v=\vektor{2\\ 3} [/mm]
[mm] w=\vektor{10\\ 15} [/mm]
sind linearabhängig.  
[mm] \Rightarrow [/mm] Keine Erzeugendensystem.

Eigentlich kannst du dir so merken, Erzeugendensysteme sind einfach
2 Linearunabhängigevektoren in [mm] \IR^{2} [/mm]
4 Linearunabhängigevektoren in [mm] \IR^{4} [/mm]
7 Linearunabhängigevektoren in [mm] \IR^{7} [/mm]
235123 Linearunabhängigevektoren in [mm] \IR^{235123} [/mm]
also  n Linearunabhängigevektoren in [mm] \IR^{n} [/mm]

z.B [mm] e_{1}=\vektor{1\\ 0} [/mm]
[mm] e_{2}=\vektor{0\\ 1} [/mm]

sind Erzeugendensysteme vom [mm] IR^{2}. [/mm]

Mit den beiden vektoren kannst du alle vektoren herstellen.  z.b.

[mm] w=\vektor{12345678345\\ 16625539647} [/mm]

Also wie du w durch  [mm] e_{1} [/mm] und [mm] e_{1} [/mm] herstellen kannst, kann man rechnen.

Bezug
                                                                
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Do 31.01.2008
Autor: domenigge135

Achso. Aber heißt das dann nicht im prinzip, dass sie linear unabhängig sein müssen, bevor sie Erzeugendensystem sind???

Und wie sieht das ganze jetzt für Polynome aus???

Bezug
                                                                        
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 18:30 Do 31.01.2008
Autor: Sabah

Achso. Aber heißt das dann nicht im prinzip, dass sie linear unabhängig sein müssen, bevor sie Erzeugendensystem sind???
[ok]
Erzeugendensystem  bestehht imer aus linearunabhängigenvektoren.

Und wie sieht das ganze jetzt für Polynome aus???  

Was meinst du damit?


Bezug
                                                                                
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:35 Do 31.01.2008
Autor: steppenhahn

Der Meinung bin ich nicht.
Auch die Vektoren

[mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1} [/mm]

sind linear abhängig und trotzdem Erzeugendensystem von [mm] \IR^{2}. [/mm] Es stimmt, wenn man sagt: n Vektoren sind Erzeugendensystem von [mm] \IR^{n}, [/mm] wenn sie linear unabhängig sind (Wären sie es nicht, würde eine Dimension "fehlen"). Allerdings können n+1 Vektoren Erzeugendensystem von [mm] \IR^{n} [/mm] UND linear abhängig sein (solange es nur zwei linear unabhängige Vektoren sind).

Bezug
                                                                                        
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:43 Do 31.01.2008
Autor: Sabah

Der Meinung bin ich nicht.
Auch die Vektoren

[mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1} [/mm]

sind linear abhängig und trotzdem Erzeugendensystem von [mm] \IR^{2}. [/mm] [notok]

Die 3 Vektoren zusamen sind  kein Erzeugendensystem von [mm] \IR^{2} [/mm]

Erzeugendensystem bestteht aus eine menge von Vektoren, die Linearunabhängig sind.  Und die  3 alle zusammen sind kein ES.

von den 3 Vektoren, kannst du dir 2 Stück aussuchen, dann sind die 2 vektoren ein ES.

Bezug
                                                                                                
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:49 Do 31.01.2008
Autor: DaReava

Hallo!

Du bringst hier die Begriffe Basis und Erzeugendensystem durcheinander.
Dein Vorredner hatte recht, ein Erzeugendensystem muss nicht linear unabhängig sein.

Eine Basis ist daher ja unter anderem auch definiert als Erzeugendensystem, mit dem jeder Vektor in V als EINDEUTIGE Linearkombination dargestellt werden kann.

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:58 Do 31.01.2008
Autor: Sabah

Also, ich habe so gelernt.

Wenn du andere Meinungen hast, wie man besser Erzeugendensysteme bestimmen kann, dann teil das mit uns mit.
Damit dommenige das uach versteht.

falsch oder richtig ist keine  Antwort.

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:03 Fr 01.02.2008
Autor: domenigge135

Also ich finde das jetzt ganz gut so wie ich das erklärt bekommen habe. Allerdings ist eigenartig, das wir das Erzeugendensystem vor der Basis genannt bekommen haben. Und in der Definition zum Erzeugendensystem wird ja nichts mit linearunabhängigen Vektoren genannt. Erst in der Definition zur Basis. Das hatte mich halt ein bischen verwirrt.

Naja wie dem auch sei waren die Aufgaben, welche ich jetzt berechnet hatte korrekt. Ich habe nun allerdings das Problem, dass wir dieses Erzeugendensystem/Basis auch auf Polynome anwenden sollen. Also z.B. Gegeben ist die Teilmenge der 9 Polynome aus [mm] \IR_\le_3[x]. [/mm] Gibt es eine Auswahl die Basis ist?
[mm] p_1(x)=3x^3+2x^2 [/mm]
[mm] p_2(x)=-3x^2 [/mm]
[mm] p_3(x)=0 [/mm]
[mm] p_4(x)=5x^3+3x^2 [/mm]
[mm] p_5(x)=4x^2 [/mm]
[mm] p_6(x)=x^3-4 [/mm]
[mm] p_7(x)=5x^3+x [/mm]
[mm] p_8(x)=4x^3+4 [/mm]
[mm] p_9(x)=-5x^3+x^2 [/mm]
Außerdem sollen wir das Problem Erzeugendensystem/Basis auch auf mehrere Matrizen prüfen. Aber könnte ich das hier so wie bei Vektoren machen? Also ist ja im Prinzip nichts anderes oder?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:38 Fr 01.02.2008
Autor: angela.h.b.


> Also ich finde das jetzt ganz gut so wie ich das erklärt
> bekommen habe.

Hallo,

leider war es verkehrt.

>  Allerdings ist eigenartig, das wir das
> Erzeugendensystem vor der Basis genannt bekommen haben. Und
> in der Definition zum Erzeugendensystem wird ja nichts mit
> linearunabhängigen Vektoren genannt. Erst in der Definition
> zur Basis. Das hatte mich halt ein bischen verwirrt.

Das ist gut so.

Ein Erzeugendensystem eines Vektorraumes V ist eine Menge von Vektoren, mit denen man durch Linearkombination jegliches Element von V erzeugen kann.

Vergleiche das bitte mit der Definition, die Du in Deiner Vorlesung gelernt hast.

Ein Beispiel: [mm] M:=\{\vektor{1 \\ 1}, \vektor{2 \\ 1}, \vektor{5\\ 3}\} [/mm] ist ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^2, [/mm] das kannst Du nachrechnen.


Die Basis eines Vektorraumes ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Es wäre z.B. [mm] \{\vektor{2 \\ 1}, \vektor{5\\ 3}\} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2. [/mm]

> Ich habe nun allerdings das
> Problem, dass wir dieses Erzeugendensystem/Basis auch auf
> Polynome anwenden sollen. Also z.B. Gegeben ist die
> Teilmenge der 9 Polynome aus [mm]\IR_\le_3[x].[/mm] Gibt es eine
> Auswahl die Basis ist?

Bevor Du nun anfängst, mit den Polynomen da unten herumzuwurschteln, solltest Du erstmal sagen, welches die Standardbasis des Vektorraumes [mm] \IR_\le_3[x] [/mm] ist.

Welche ist das? Wieviele Elemente enthält sie?

Die Anzahl der Elemente ist eine wichtige Information: die Dimension.

Alle Basen eines Vektorraumes enthalten nämlich dieselbe Anzahl v. Elementen - falls Du irgendwann Prüfung hast, wird man sich vermutlich brennend für diesen Sachverhalt interessieren.

Der  VR [mm] \IR_\le_3 [/mm] über [mm] \IR [/mm] hat die Dimension 4.

Du mußt jetzt unter den Polynomen da unten nur 4 Stück finden, die linear unabhängig sind.
Damit hast Du dann bereits eine Basis Deines VRs gefunden.

Versuch mal!

>  [mm]p_1(x)=3x^3+2x^2[/mm]
>  [mm]p_2(x)=-3x^2[/mm]
>  [mm]p_3(x)=0[/mm]
>  [mm]p_4(x)=5x^3+3x^2[/mm]
>  [mm]p_5(x)=4x^2[/mm]
>  [mm]p_6(x)=x^3-4[/mm]
>  [mm]p_7(x)=5x^3+x[/mm]
>  [mm]p_8(x)=4x^3+4[/mm]
>  [mm]p_9(x)=-5x^3+x^2[/mm]

>  Außerdem sollen wir das Problem Erzeugendensystem/Basis
> auch auf mehrere Matrizen prüfen.

Du drückst Dich sehr unverständlich aus, ich weiß nicht, was Du meinst.

> Aber könnte ich das hier
> so wie bei Vektoren machen? Also ist ja im Prinzip nichts
> anderes oder?

Nö, im Prinzip ist das nichts anderes.

Noch eine andere Sache: Du mußt unbedingt an Deinem  Verständnis des Begriffes "Vektor" arbeiten.
Vektoren sind Elemente von Vektorräumen, nicht mehr und nicht weniger.
Oben hast Du einen VR, der aus Polynomen besteht, da sind eben die Polynome die Vektoren.
Hast Du irgendeinen VR aus Matrizen, sind die Matrizen die Vektoren.

Falls das bereits dran war, mach' Dir auch klar, was Koordinatenvektoren sind.

Weil: wenn ich sowas

> Aber könnte ich das hier
> so wie bei Vektoren machen?

dicht am Semesterende (!) von Mathematikstudierenden noch lese, bin ich der Crisis nahe.

Gruß v. Angela



Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:00 Fr 01.02.2008
Autor: domenigge135

Okay ich probier das jetzt mal anders. Also jede Basis ist auch gleichzeitig Erzeugendensystem. Umgekehrt muss das nicht gelten. wäle ich jetzt zwei Vektoren z.B. [mm] \vektor{0 \\ 1},\vektor{0 \\ 6}, [/mm] würde ich sagen, dass diese nicht Erzeugendensystem sind, denn wie soll ich die obere Zeile als Linearkombination dartellen??? Das geht ja nicht. Heißt das also im Prinzip, dass ich letzlich einen Vektor erhalten muss, in welchem jede Zeile [mm] \in \IR\not=0 [/mm] sein muss?
Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:22 Fr 01.02.2008
Autor: angela.h.b.


> Du sagst [mm]M:=\{\vektor{1 \\ 1}, \vektor{2 \\ 1}, \vektor{5\\ 3}\}[/mm]
> ist ein Erzeugendensystem des [mm]\IR^2.[/mm] Nachrechnen ist jetzt
> so ein Problem.

Beim Nachrechnen geht es darum, daß Du zeigst, daß Du zu jedem beliebigen Vektor [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] koeffizienten a,b,c findest so, daß

[mm] \vektor{x \\ y}=a\vektor{1 \\ 1}+b\vektor{2 \\ 1}+c\vektor{5\\ 3} [/mm] gilt.

Antwort auf diese Frage liefert die Lösung eines LGS:


[mm] \pmat{ 1 & 2 &5 &| x\\ 1 & 1 &3 &| y} [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 2 &5 &| x\\ 0 & 1 &2 &|x- y} [/mm]

Ich kann hieran ablesen, daß c=1  b=x-y-2  und a=x-2(x-y-2)-5= -x+2y-1 passende Koeffizienten sind, und in der Tat ist

[mm] (-x-2y-1)\vektor{1 \\ 1}+(x-y-2 )\vektor{2 \\ 1}+ \vektor{5\\ 3}= \vektor{-x-2y-1+2(x+y-2 )+5\\ (-x+2y-1)+(x-y-2 )+3}=\vektor{x\\ y}. [/mm]

Ich habe jetzt gezeigt, wie (!) man jeden beliebigen Vektor als Linearkombination der drei schreiben kann.

(Wenn man schon über "Basis" bescheid weiß, reicht es auch, wenn man zeigt, daß der Rang von [mm] \pmat{ 1 & 2 &5 \\ 1 & 1 &3 } [/mm]  gleich 2 ist.)

Gruß v. Angela



Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:29 Fr 01.02.2008
Autor: domenigge135

Das sieht gut aus. Dankeschln dafür :-). Ich habe jetzt allerdings weiterhin gelesen, dass wenn ich eine Basis habe gleichzeitig auch ein Erzeugendensystem habe. Das heißt, dass wenn ich das Beispiel mit den polynomen von vorhin nehmen darf, ich eigentlich daraus folgende Vektoren wählen könnte: x+1,x-1 und [mm] x^2-1. [/mm] Wenn ich nach Basis gucke, kriege ich raus, dass diese drei linear unabhängig sind. Sie sind gleichzeitig Erzeugendensystem und somit Basis.

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: kein Erzeugendensystem
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Fr 01.02.2008
Autor: angela.h.b.


> Ich habe jetzt
> allerdings weiterhin gelesen, dass wenn ich eine Basis habe
> gleichzeitig auch ein Erzeugendensystem habe.

Warum sagst Du "allerdings"?

An welcher Stelle widerspricht sich das mit etwas, was ich gesagt habe?

Du mußt Dir angewöhnen, wirklich sehr genau zu lesen, und ebenso genau zu formulieren. Nicht gerade mal so pi*Daumen. Du willst doch Mathematik betreiben und kein Wischiwaschi.

Natürlich ist eine Basis ein Erzeugendensystem, das steht doch in der Definition der Basis.

Jede Basis eines VRs ist ein Erzeugendensystem desselbigen.

Aber nicht jedes Erzeugendensystem ist eine Basis. Da liegt der Hund begraben.


Das heißt,

> dass wenn ich das Beispiel mit den polynomen von vorhin
> nehmen darf, ich eigentlich daraus folgende Vektoren wählen
> könnte: x+1,x-1 und [mm]x^2-1.[/mm] Wenn ich nach Basis gucke,
> kriege ich raus, dass diese drei linear unabhängig sind.
> Sie sind gleichzeitig Erzeugendensystem und somit Basis.

Hierzu habe ich gute und schlechte Mitteilungen zu machen:

Die gute: ja, die drei Polynome sind linear unabhängig.

Die schlechte: sie sind kein Erzeugendensystem, und folglich auch keine Basis.
Oder kannst Du das Polynom [mm] x^3 [/mm] damit erzeugen?


Ich hatte Dir ja empfohlen, mal die Standardbasis des zu betrachtenden VRs aufzuschreiben und deren Elemente zu zählen: jede andere Basis muß exakt soviele Elemente haben.






Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:53 Fr 01.02.2008
Autor: domenigge135

Ja du hast recht an meinen Erklärungen muss ich wirklich ein bischen arbeiten. Also wenn es um HA geht, dann mach ich das ja immer ganz gut. Sagen mir zumindest die Punkte die ich dazu bekomme :-). Ich danke dir für deine Hilfe und deine Tipps.

So leider muss ich nun noch fragen wie das ganze nun für Matrizen aussieht. Ich hatte jetzt eine Auswahl mehrer Matrizen. Es handelte sich um 2x2 Matrizen des [mm] \IR^2^,^2. [/mm] Ich hatte nun gedacht, ich könnte gucken, ob jede einzelne Matrix für sich linear unabhängig ist, um so den Begriff der Basis zu erklären. Das ging allerdings schief :-(. Wie müsste ich hier vorgehen um das zu berechnen?

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:57 Fr 01.02.2008
Autor: angela.h.b.



> So leider muss ich nun noch fragen wie das ganze nun für
> Matrizen aussieht.

Hast Du das mit den Polynomen denn jetzt fertig???


> Ich hatte jetzt eine Auswahl mehrer
> Matrizen. Es handelte sich um 2x2 Matrizen des [mm]\IR^2^,^2.[/mm]
> Ich hatte nun gedacht, ich könnte gucken, ob jede einzelne
> Matrix für sich linear unabhängig ist, um so den Begriff
> der Basis zu erklären. Das ging allerdings schief :-(. Wie
> müsste ich hier vorgehen um das zu berechnen?

Am besten präsentierst Du mal die Aufgabe, weil sowieso nichts Gutes dabei herauskommt, wenn ich freischwebend ins Blaue schafele. Wir müssen doch beide wissen, worüber wir reden. Sonst gibt's bloß Mißverständnisse.

Gruß v. Angela


Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Erzeugendensystem/Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 Fr 01.02.2008
Autor: domenigge135

Also ich denke das mit den polynomen habe ich jetzt wirklich verstanden. Man muss halt nur geschickt rangehen. Erstmal gucken, welche Polynome man überhaupt gebrauchen kann. Welche kann man weglassen. Diese Prüft man dann und kommt auf ein Ergebnis das entweder bestätigt das es sich um eine Basis handelt oder halt nicht.

Also gut Matrix wäre jetzt z.B. Gegeben sind die 9 2x2 Matrizen des [mm] \IR^2^,^2 [/mm]
[mm] M_1=\vmat{ 0 & 0 \\ 2 & 3 } [/mm]
[mm] M_2=\vmat{ 0 & 0 \\ -3 & 0 } [/mm]
[mm] M_3=\vmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm]
[mm] M_4=\vmat{ 0 & 0 \\ 3 & 5 } [/mm]
[mm] M_5=\vmat{ 0 & 0 \\ 4 & 0 } [/mm]
[mm] M_6=\vmat{ -4 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]
[mm] M_7=\vmat{ 0 & 1 \\ 0 & 5 } [/mm]
[mm] M_8=\vmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 } [/mm]
[mm] M_9=\vmat{ 0 & 0 \\ 1 & -5 } [/mm]
Gibt es eine Auswahl die Basis ist? Worauf muss ich hier jetzt achten?

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Erzeugendensystem/Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Fr 01.02.2008
Autor: angela.h.b.


> Also gut Matrix wäre jetzt z.B. Gegeben sind die 9 2x2
> Matrizen des [mm]\IR^2^,^2[/mm]

Hallo,

kannst Du denn zunächst mal die Standardbasis des Raumes der 2x2-Matrizen aufschreiben?

Kennst Du die?

Gruß v. Angela


>  [mm]M_1=\vmat{ 0 & 0 \\ 2 & 3 }[/mm]
>  [mm]M_2=\vmat{ 0 & 0 \\ -3 & 0 }[/mm]
>  
> [mm]M_3=\vmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>  [mm]M_4=\vmat{ 0 & 0 \\ 3 & 5 }[/mm]
>  
> [mm]M_5=\vmat{ 0 & 0 \\ 4 & 0 }[/mm]
>  [mm]M_6=\vmat{ -4 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> [mm]M_7=\vmat{ 0 & 1 \\ 0 & 5 }[/mm]
>  [mm]M_8=\vmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 }[/mm]
>  
> [mm]M_9=\vmat{ 0 & 0 \\ 1 & -5 }[/mm]
>  Gibt es eine Auswahl die
> Basis ist? Worauf muss ich hier jetzt achten?


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Erzeugendensystem/Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Fr 01.02.2008
Autor: domenigge135

Nein ehrlich gesagt nicht. Ich habe auch in mein Skript geguckt. Aber nichts zur Standardbasis gefunden.

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Erzeugendensystem/Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Fr 01.02.2008
Autor: angela.h.b.


> Nein ehrlich gesagt nicht. Ich habe auch in mein Skript
> geguckt. Aber nichts zur Standardbasis gefunden.

Hallo,

es geht ja jetzt um den VR [mm] M(2x2,\IR):=\{ \pmat{ a & b \\ c & d}| a,b,c,d \in \IR\}, [/mm] zusammen mit den einschlägigen Verknüpfungen, also mit der Addition von Matrizen und der Multiplikation v. Matrizen mit Skalaren.

Bevor Du Deine eigentliche Aufgabe bearbeitest, ist es lohnend, über folgendes nachzudenken:

1, Woraus besteht diese Menge?

2. Was sind die Vektoren dieses Vektorraumes?

3. Woraus besteht also die Basis? (Planeten? Türklinken? Polynome? Oder ???)

4. Mit welchen Matrizen kannst Du jedes Element aus [mm] M(2x2,\IR) [/mm] per Linearkombination erzeugen?

(5. Ist das eine Basis?)

Gruß v. Angela





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Erzeugendensystem/Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Fr 01.02.2008
Autor: domenigge135

Hast du mit der Standardbasis auch die Einheitsmatrix gemeint???

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Erzeugendensystem/Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Fr 01.02.2008
Autor: angela.h.b.


> Hast du mit der Standardbasis auch die Einheitsmatrix
> gemeint???

???

Ich bin jetzt echt etwas überfordert...

Was meinst Du bloß damit?
"auch die Einheitsmatrix gemeint" - rätselhaft...


Vielleicht solltest Du Dich doch zunächst hiermit beschäftigen, ich glaube, das wäre fürs Verständnis wichtig.

Gruß v. Angela

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Erzeugendensystem/Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Fr 01.02.2008
Autor: domenigge135

Ich sage jetzt mal folgendes die Matrizen bestehen alle aus 2x2. Was folgednes bedeutet (Ich hoffe du verstehst was ich jetzt meine):
Ich wähle jetzt mal folgende 2 2x2 [mm] Matrix:\vmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }\vmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm]
Diese hat die 2x2 Form, also:
[mm] a_1_,_1 a_1_,_2 [/mm]
[mm] a_2_,_1 a_2_,_2 [/mm]
Das bedeutet:
[mm] a_1_,_1=\lambda_1\*1+\lambda_2\*1 [/mm]
[mm] a_1_,_2=\lambda_1\*2+\lambda_2\*2 [/mm]
[mm] a_2_,_1=\lambda_1\*3+\lambda_1\*3 [/mm]
[mm] a_2_,_2=\lambda_1\*4+\lambda_1\*4 [/mm]
Jetzt würde ich gucken ob linear abhängig oder unabhängig.
P.S. Die Matrizen haben alle die Diemension 4.

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Erzeugendensystem/Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Fr 01.02.2008
Autor: angela.h.b.


> Ich sage jetzt mal folgendes die Matrizen bestehen alle aus
> 2x2.

2 Spalten, 2 Zeilen. $Einträge insgesamt.


Was folgednes bedeutet (Ich hoffe du verstehst was ich

> jetzt meine):
>  Ich wähle jetzt mal folgende 2 2x2 [mm]Matrix:\vmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }\vmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm]

Hä? Du wählst eine, oder?

> Diese hat die 2x2 Form, also:
>  [mm]a_1_,_1 a_1_,_2[/mm]
>  [mm]a_2_,_1 a_2_,_2[/mm]

Ja.

>  Das bedeutet:
>  [mm]a_1_,_1=\lambda_1\*1+\lambda_2\*1[/mm]
>  [mm]a_1_,_2=\lambda_1\*2+\lambda_2\*2[/mm]
>  [mm]a_2_,_1=\lambda_1\*3+\lambda_1\*3[/mm]
>  [mm]a_2_,_2=\lambda_1\*4+\lambda_1\*4[/mm]

Ich weiß beim besten Willen nicht, was Du damit meinst.

Wenn wir jetzt mal Deine konkrete Matrix [mm] \vmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] nehmen: wie kannst Du die denn als Linearkombination von sehr "einfachen" Matrizen schreiben?

>  P.S. Die Matrizen haben alle die Diemension 4.

Matrizen haben keine Dimension.
Vektorräume haben Dimensionen.
Und der VR der 2x2-Matrizen hat in der Tat die Dimension 4.

Gruß v. Angela


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Erzeugendensystem/Basis: Definitionen nachschlagen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:15 Fr 01.02.2008
Autor: angela.h.b.


> Also, ich habe so gelernt.

Hallo,

sieh Dir bitte die Dir vorliegenden Definitionen v. Erzeugendensystem und Basis nochmal gründlich an und beachte meinen Korrekturhinweis, welcher bestätigt, was Steppenhahn und DaReava Dir bereits gesagt haben.

Gruß v. Angela

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Erzeugendensystem/Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:30 Fr 01.02.2008
Autor: domenigge135

Ja das verstehe ich halt auch nicht ganz. WIe gesagt in der Def. zum Erzeugendensystem steht nichts zu linear unabhängig. Definitionen sind auch in meinem ersten Post.

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Erzeugendensystem/Basis: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 10:12 Fr 01.02.2008
Autor: angela.h.b.


>  Erzeugendensystem  bestehht imer aus
> linearunabhängigenvektoren.

Hallo Sabah,

das ist - wie Steppenhahn und DaReava - bereits angemerkt haben, grundfalsch.

Ein Erzeugendensystem eines Vektorraumes V ist eine Menge von Vektoren, mit denen man durch Linearkombination jeden Vektor aus V erzeugen kann.

Eine Basis ist ein ganz besonderes Erzeugendensystem, nämlich ein minimales, ein Erzeugendensystem, in welchem man auf keinen der Vektoren verzichten kann,
was gleichbedeutend ist mit:
eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Gruß v. Angela

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Erzeugendensystem/Basis: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 20:00 Fr 01.02.2008
Autor: Sabah

Ok. Das bedeutet meine Antworten zum ES waren nicht ganz richtig.

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