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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Seien X eine menge und K ein Körper. Betrachtet wird der K-Vektorraum M(X,K) Für jedes a \in X sein e_{a} \in M(X,K) die Abbildung X \to K definiert durch
x \mapsto { 0 wenn x \not= a
{ 1 wenn x = a
Setze E := {e_{a} | a \in X} \subseteq M(X,K). Für jedes f \in M(X,K) setze supp(f) := {x \in X | f(x) \not= 0} \subseteq X.
Zeigen sie
(i) < E > = {f \in M(X,K) | supp(f) ist endlich}.
(ii) E ist ein Erzeugendensystem von M(X,K) genau dann, wenn X endlich ist.
(iii) Sind a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} \in X mit a_{i} \not= a_{j} für i \not= j , so sind die Vektoren e_{a1}, e_{a2}, ..., e_{an} \in M(X,K) linear unabhängig. |
Ich versteh bei der Aufgabe leider echt nur Bahnhof -.-
Wir haben zwar in der Vorlesung die Definitionen von Erzeugendensystem und so weiter bekommen, aber keine richtigen Beispiele dazu besprochen.
Also ich freue mich über jede Art von Hilfe, auch falls mir jemand nur die Aufgabenstellung nochmal verständlich erklären kann ist mir warscheinlich schon geholfen.^^
Gruß
King Arthur
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin Arthur,
Ich hab die Notation M(X,K) auch noch nie gesehen, aber aus dem Kontext bin ich der Meinung erraten zu können was es sein soll.^^
> Seien X eine menge und K ein Körper. Betrachtet wird der
> K-Vektorraum M(X,K)
Dies ist so wie ich das sehe [mm] $K^X$, [/mm] also die Menge aller Abbildungen von X nach K, formal: [mm] $\{ f: X \to K | \text{f Abbildung} \}$.
[/mm]
> Für jedes a [mm] \in [/mm] X sein [mm] e_{a} \in [/mm]
> M(X,K) die Abbildung X [mm] \to [/mm] K definiert durch
> x [mm] \mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{für } x \not= a \\ 1, & \mbox{für } x=a \end{cases}
[/mm]
Das sind erstmal Funktionen, die das a aus X auf die 1 im Körper schicken und alles andere auf die 0.
Du kennst so etwas ähnliches vielleicht schon von der Standardbasis eines Vektorraums wie dem [mm] $\IR^3$, [/mm] dort hat man ja auch Vektoren die an einem Eintrag eine 1 haben und sonst nur 0en.
Hier sind es zwar keine hübschen Pfeile in der Botanik sondern eben Abbildungen, aber diesen speziellen Abbildungen kommt hier eine ähnliche Bedeutung wie der Standardbasis zu (daher auch die Bezeichnung e).
> Setze E := [mm] {e_{a} | a \in X} \subseteq [/mm] M(X,K).
Das ist jetzt erstmal eine Teilmenge deiner Menge.
Wenn diese Menge als K-Vektorraum betrachtet wird so ist E praktisch die Standardbasis, da wie oben schon gesagt das Abbildungen sind die überall 0 haben außer an einer Stelle, dort sind sie 1.
Für jedes f
> [mm] \in [/mm] M(X,K) setze supp(f) := {x [mm] \in [/mm] X | f(x) [mm] \not= [/mm] 0}
> [mm] \subseteq [/mm] X.
Das ist der sogenannte Träger einer Abbildung (das supp kommt vom englischen "support").
Das sind, wie da steht, einfach alle x für die $f(x) [mm] \not= [/mm] 0$ ist.
Dieser Wert ist in sofern manchmal wichtig, dass eine Funktion die an sehr vielen Stellen 0 ist sehr viele schöne Eigenschaften hat.
>
> Zeigen sie
> (i) < E > = {f [mm] \in [/mm] M(X,K) | supp(f) ist endlich}.
Jetzt gehts los mit zeigen.
Hier ist eine Mengengleichheit zu zeigen, also ganz klassisch beide Teilmengenrelationen: [mm] $\subseteq$ [/mm] und [mm] $\supseteq$.
[/mm]
Zeige, dass sich jede Abbildung die nur an endlich vielen Stellen ungleich 0 ist als Linearkombination der Elemente in E schreiben lässt.
Die Addition und Skalarmultiplikation von Funktionen ist dabei eintragsweise definiert, also $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ und $(a*f)(x) = a*f(x)$ für alle x.
Hierbei musst du bedenken: Wenn E unendlich ist dann ist das Erzeugnis von E definiert als die Menge aller Elemente, die sich als Linearkombination von endlich vielen Elementen aus E schreiben lässt.
Ist E also unendlich groß so darfst du zum Beispiel nicht alle Elemente von E aufaddieren sondern halt immer nur endlich viele.
> (ii) E ist ein Erzeugendensystem von M(X,K) genau dann,
> wenn X endlich ist.
Ist X endlich so ist auch E endlich, das kriegst du sicher hin.
Ist auf der anderen Seite X unendlich so ist auch E unendlich, aber du darfst wie gesagt nur jeweils endlich viele kombinieren; gib dafür ein Element aus M(X,K) an, das so nicht erzeugt wird.
> (iii) Sind [mm] a_{1}, a_{2}, [/mm] ..., [mm] a_{n} \in [/mm] X mit [mm] a_{i} \not= [/mm]
> [mm] a_{j} [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j , so sind die Vektoren [mm] e_{a1}, e_{a2}, [/mm]
> ..., [mm] e_{an} \in [/mm] M(X,K) linear unabhängig.
Hier stellt sich jetzt die Frage, ob die Elemente von E linear unabhängig sind.
Wie bereits gesagt sind die Elemente gerade die, die an einer Stelle 1 haben und sonst nur 0.
Der Beweis hier funktioniert fast genauso wie die lineare Unabhängigkeit der Standardbasis (etwa im [mm] $\IR^3$).
[/mm]
Nimm dafür also an es gibt [mm] $b_1 \cdots b_n$ [/mm] mit [mm] $b_1e_{a_1} [/mm] + [mm] b_2e_{a_2} [/mm] + [mm] \cdots b_ne_{a_n} [/mm] = 0$ und zeige, dass dann alle b gleich 0 sein müssen.
> Ich versteh bei der Aufgabe leider echt nur Bahnhof -.-
Durchaus verständlich, die ist nicht gerade klar gestellt.^^
> Wir haben zwar in der Vorlesung die Definitionen von
> Erzeugendensystem und so weiter bekommen, aber keine
> richtigen Beispiele dazu besprochen.
Habt ihr das gerade eben erst kennen gelernt?
Also diese Aufgabe ist meiner Meinung nach keinesfalls für jemanden geeignet, der eben erst ins Thema einsteigt.
Nachdem man ein paar Monate Aufgaben zu dem Thema gerechnet hast ist die Aufgabe nicht so schwer, aber man sollte schon Dinge wie [mm] $K^X$ [/mm] (oder bei dir M(X,K)), unendliche Erzeugendensysteme und deren Tücken, Standardbasen, Träger, etc. kennen und bereits ein paar Aufgaben damit gerechnet haben.
Also falls du das Thema wirklich gerade erst bekommen hast würde ich an deiner Stelle mal ein wenig meckern. ;)
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Do 03.11.2011 | | Autor: | KingArthur |
hi shadow!
Erstmal vielen Dank für deine schnelle und umfangreiche Antwort!
Da werd ich jetzt auf jedenfall n bisschen dran zu knabbern haben, aber jetzt seh ich zumindest Licht am Ende des Tunnels^^
Ja also ich studiere jetzt seit diesem Semester (13.10.) und wir haben glaube ich Vektorräume vor einer Woche, und z.B. das mit dem supp(f) erst am Montag gemacht....
ich finds halt echt hart, weil die Sachen zum Teil erst voll Spät erklärt werden, und dann noch nichtmal detailliert. Und in der Übungsstunde besprochen, vorgerechnet und vielleicht dann auch verstanden wird die aufgabe dann erst, wenn man das Übungsblatt schon längst abgegeben haben muss und bereits am Nächsten verzweifelt...
Ich hoffe das ist nur am Anfang so, dass man erstmal in diese Arbeitstechniken und Methoden reinkommen muss, sonst wird das Studium ne extrem harte geschichte 0.o
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Also man gewöhnt sich durchaus an die Arbeitsweisen und es ist vollkommen normal, dass man im ersten Semester wenig Freizeit und viel Kaffee hat.
Aber wenn man am Ball bleibt so wird es ca. ab dem zweiten Semester etwas leichter, wenn man sich an die ganzen Arbeitsweisen gewöhnt hat und sich einige gute Lernsysteme erarbeitet hat.
Wenn ihr Vektorräume erst vor einer Woche hattet ist diese Aufgabe wirklich happig, vor allem da wie gesagt für unendliche Erzeugendensysteme etwas anderes gilt als für endliche.
Du kannst es dir für diese Aufgabe erst einmal so vorstellen als hättest du Vektoren im [mm] $\IR^n$ [/mm] (so zum Beispiel im [mm] $\IR^3$ [/mm] für n=3), falls du über diesen schon ein paar Sachen weißt (zB die Standardbasis kennst).
Das darfst du natürlich bei der Abgabe nicht schreiben, denn rein formal wäre es falsch, aber anschaulich kann es helfen und Ansätze geben.
Falls du an einer Stelle nicht weiter kommst frag ruhig.
MfG
Schadowmaster
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:38 Do 03.11.2011 | | Autor: | KingArthur |
na das ist ja schonmal beruhigend das zu hören =)
ja ich muss den übungszettel morgen abgeben und hab mir eigentlich keine Hoffnungen mehr gemacht die Aufgabe irgendwie zu bearbeiten...
Aber ich will sie wenigstens verstehen können. egal ob vor oder nach Abgabe...
Aber falls ich noch Verständnisfragen hab meld ich mich wieder.
Vielen Dank!
lg
Arthur
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