Erzeugendensystem und Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Mo 19.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Welche der folgenden System von Vektoren im Vektorraum V sind linear unabhängig, welche ein Erzeugendensystem, welche eine Basis?
(a) [mm] V=\IQ^{3}, v_{1}=(0, [/mm] 2, 1), [mm] v_{2}=(1, [/mm] 2, 0), [mm] v_{3}=(2, [/mm] 0, 1)
(b) [mm] V=\IR^{2}, v_{1}=(1, [/mm] -1), [mm] v_{2}=(1, [/mm] 2), [mm] v_{3}=(-1, [/mm] 3) |
Hallo,
so meine Frage lautet:
Es ist klar, wie ich zeige, dass Vektoren linear unabhängig sind. Gar kein Problem. Nur haben wir es so gelernt, dass ein Erzeugendensystem ein System von Vektoren ist, das den gesamten Vektorraum aufspannt. Um dies zu überprüfen, muss ich doch zeigen, dass sich jeder Vektor als Linearkombination der anderen darstellen lässt oder?
Und eine Basis ist doch ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, richtig!?
Wie passt das aber zusammen? Denn: Wenn ein Erzeugendensystem vorliegt, dann sind die Vektoren doch linear abhängig, da man jeden Vektor aus den anderen linear kombinieren kann. Wie kann also ein Erzeugendensystem linear unabhängig sein!?
Über Antwort und über Beantwortung der Frage, wie ich das konkret an der Aufgabe zeige, wäre ich sehr dankbar!
Grüße kiri
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Hi, kiri,
> Welche der folgenden System von Vektoren im Vektorraum V
> sind linear unabhängig, welche ein Erzeugendensystem,
> welche eine Basis?
> (a) [mm]V=\IQ^{3}, v_{1}=(0,[/mm] 2, 1), [mm]v_{2}=(1,[/mm] 2, 0), [mm]v_{3}=(2,[/mm] 0, 1)
> (b) [mm]V=\IR^{2}, v_{1}=(1,[/mm] -1), [mm]v_{2}=(1,[/mm] 2), [mm]v_{3}=(-1,[/mm] 3)
> Es ist klar, wie ich zeige, dass Vektoren linear
> unabhängig sind. Gar kein Problem. Nur haben wir es so
> gelernt, dass ein Erzeugendensystem ein System von Vektoren
> ist, das den gesamten Vektorraum aufspannt. Um dies zu
> überprüfen, muss ich doch zeigen, dass sich jeder Vektor
> als Linearkombination der anderen darstellen lässt oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und eine Basis ist doch ein linear unabhängiges
> Erzeugendensystem, richtig!?
> Wie passt das aber zusammen? Denn: Wenn ein
> Erzeugendensystem vorliegt, dann sind die Vektoren doch
> linear abhängig, da man jeden Vektor aus den anderen linear
> kombinieren kann.
Fehlschluss!
Nimm' z.B. an, dass B = { [mm] \vec{a} [/mm] ; [mm] \vec{b} [/mm] ; [mm] \vec{c} [/mm] }
eine Basis eines 3-dim. VR ist.
Dann gilt ja offensichtlich z.B. für den 1. Basisvektor:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] 1*\vec{a} [/mm] + [mm] 0*\vec{b} [/mm] + [mm] 0*\vec{c}.
[/mm]
Daraus kannst Du doch nicht auf "lineare Abhängigkeit" schließen!
Viel wichtiger aber ist andererseits: Jeder ANDERE (!) Vektor [mm] \vec{d} [/mm] lässt sich mit Hilfe der Basis darstellen:
[mm] \vec{d} [/mm] = [mm] d_{1}*\vec{a} [/mm] + [mm] d_{2}*\vec{b} [/mm] + [mm] d_{3}*\vec{c}.
[/mm]
Und das geht eben im Allgemeinen nur, wenn die 3 Vektoren linear UNabhängig sind!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 19.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
erstmal vielen Dank für deine Antwort. Ich meine, so langsam klingelt es bei mir.
Ich fasse nochmal zusammen, auch in Hinblick auf die Aufgabenstellung:
Seien (wie in der Aufgabenstellung) drei Vektoren eines Vektorraums gegeben.
1. Um zu zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, muss ich zeigen, dass sich der Nullvektor nur mit Hilfe der trivialen Lösung aus den gegebenen Vektoren linear erzeugen lässt. Erhalte ich dagegen eine nicht triviale Lösung, so sind die Vektoren linear abhängig.
2. Um zu zeigen, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem bilden, zeige ich, dass sich JEDER Vektor aus den übrigen Vektoren linear erzeugen kann. (Dazu muss ich also bei drei Vektoren drei Untersuchungen vornehmen, richtig?)
3. Um zu zeigen, dass die Vektoren eine Basis bilden (also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem) ist schon einmal die Voraussetzung, dass die Vektoren (siehe 2) ein Erzeugendensystem bilden.
Aber wie zeige ich jetzt, dass sie sogar eine Basis bilden? Indem ich wie in 1. alle Vektoren auf lineare Unabhängigkeit untersuche!?
Danke für die Antworten
Grüße kiri
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Hi, kiri,
> Hallo,
> erstmal vielen Dank für deine Antwort. Ich meine, so
> langsam klingelt es bei mir.
> Ich fasse nochmal zusammen, auch in Hinblick auf die
> Aufgabenstellung:
>
> Seien (wie in der Aufgabenstellung) drei Vektoren eines
> Vektorraums gegeben.
>
> 1. Um zu zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind,
> muss ich zeigen, dass sich der Nullvektor nur mit Hilfe der
> trivialen Lösung aus den gegebenen Vektoren linear erzeugen
> lässt. Erhalte ich dagegen eine nicht triviale Lösung, so
> sind die Vektoren linear abhängig.
Richtig! Im letzten Fall könnten sie schon mal KEINE Basis sein!
> 2. Um zu zeigen, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem
> bilden, zeige ich, dass sich JEDER Vektor aus den übrigen
> Vektoren linear erzeugen kann. (Dazu muss ich also bei drei
> Vektoren drei Untersuchungen vornehmen, richtig?)
Das hast Du falsch verstanden! Dass jeder der drei Basisvektoren sich mit Hilfe der Basis darstellen lässt, ist - wie ich Dir gezeigt habe - trivial!
Wichtig ist, dass jeder ANDERE Vektor (genauer: jeder BELIEBIGE) des VR sich durch die 3 Vektoren darstellen lässt!
> 3. Um zu zeigen, dass die Vektoren eine Basis bilden (also
> ein linear unabhängiges Erzeugendensystem) ist schon einmal
> die Voraussetzung, dass die Vektoren (siehe 2) ein
> Erzeugendensystem bilden.
> Aber wie zeige ich jetzt, dass sie sogar eine Basis
> bilden? Indem ich wie in 1. alle Vektoren auf lineare
> Unabhängigkeit untersuche!?
Aber wie gesagt: (2) musst Du noch mal überdenken!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Mo 19.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay, damit ich es komplett verstehe, fasse ich nochmals alles zusammen:
1. Um zu zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind,muss ich zeigen, dass sich der Nullvektor nur mit Hilfe der trivialen Lösung aus den gegebenen Vektoren linear erzeugen
lässt. Erhalte ich dagegen eine nicht triviale Lösung, so sind die Vektoren linear abhängig.
Wenn sie linear abhängig sind, dann können sie auf keinen Fall eine Basis bilden.
2. Um zu zeigen, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem bilden, wähle ich mir einen beliebigen Vektor, z.B. (1, 1, 1) und zeige, dass sich dieser als Linearkombination der anderen darstellen lässt.
Nun meine Frage: Ist das richtig? Kann man sich IRGENDEINEN wählen? Damit ist doch aber nicht gezeigt, dass sich JEDER BELIEBIGE Vektor des Vektorraums sich als Linearkombination der drei Vektoren darstellen lässt, oder?
Wenn nicht, wie mache ich es denn sonst?
3. Um zu zeigen, dass die Vektoren eine Basis bilden (also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem), ist schon einmal die Voraussetzung, dass die Vektoren (siehe 2) ein
Erzeugendensystem bilden. Weiterhin müssen die Vektoren linear unabhängig sein.
Also (1) und (3) habe ich komplett verstanden, nur bei (2) habe ich diese eine Frage noch.
Danke für deine Mühe!
Grüße kiri
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Hi, kiri,
> okay, damit ich es komplett verstehe, fasse ich nochmals
> alles zusammen:
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> 1. Um zu zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig
> sind,muss ich zeigen, dass sich der Nullvektor nur mit
> Hilfe der trivialen Lösung aus den gegebenen Vektoren
> linear erzeugen lässt. Erhalte ich dagegen eine nicht triviale Lösung, so
> sind die Vektoren linear abhängig.
>
> Wenn sie linear abhängig sind, dann können sie auf keinen
> Fall eine Basis bilden.
Richtig!
(Wobei ich allerdings - anders als Du es vorschlägst - lieber mit der Determinante arbeite; aber das ist "Geschmackssache"!)
> 2. Um zu zeigen, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem
> bilden, wähle ich mir einen beliebigen Vektor, z.B. (1, 1,
> 1) und zeige, dass sich dieser als Linearkombination der
> anderen darstellen lässt.
>
> Nun meine Frage: Ist das richtig? Kann man sich IRGENDEINEN
> wählen? Damit ist doch aber nicht gezeigt, dass sich JEDER
> BELIEBIGE Vektor des Vektorraums sich als Linearkombination
> der drei Vektoren darstellen lässt, oder?
> Wenn nicht, wie mache ich es denn sonst?
Indem Du diesen Vektor wirklich BELIEBIG ansetzt.
Du hast ja oben ein Beispiel (Aufgabe a).
Nimm [mm] \vec{d} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] und setze diesen als rechte Seite in ein lineares Gleichungssystem mit:
[mm] x*\vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] y*\vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] z*\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm]
Nun begründe mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus, dass dieses LGS eindeutig lösbar ist. Schon hast Du alles Wesentliche gezeigt!
> 3. Um zu zeigen, dass die Vektoren eine Basis bilden (also
> ein linear unabhängiges Erzeugendensystem), ist schon
> einmal die Voraussetzung, dass die Vektoren (siehe 2) ein
> Erzeugendensystem bilden. Weiterhin müssen die Vektoren
> linear unabhängig sein.
Alles klar!
Und nun schau mal, ob Du Deine obigen Aufgaben lösen kannst!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mo 19.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay. Alles klar! Nochmals vielen Dank.
Noch ein paar Fragen:
1.) In der letzten Zeile bei der ersten Aufgabe erhalte ich -4*z=-2a+b-2c
Das heißt also, dass sich jeder beliebige Vektor aus den drei anderen linear erzeugen lässt. Richtig?
2.) Bei der zweiten Aufgabe erhate ich bei der Untersuchung auf lineare Unabhängigkeit aus der letzten Zeile der Matrix 3*y+2*z=0 . Das wiederum bedeutet, dass die Vektoren linear abhängig sind. Richtig?
3.) Ebenfalls bei der zweiten Aufgabe: Wenn ich untersuche, ob sich ein beliebiger Vektor aus den drei anderen linear kombinieren lässt, dann liefert die letzte Zeile der Matrix 3*y+2*z=a+b .
Das heißt doich, dass sich jeder beliebige Vektor aus den drei anderen erzeugen lässt, aber nicht eindeutig. Oder? Ist die Eindeutigkeit für das Erzeugendensystem wichtig?
4.) Bei einer anderen Aufgabe erhalte ich bei der Untersuchung von Vektoren auf lineare Unabhängigkeit in der vorletzten Zeile y+z=0 und aus der letzten Zeile 2y+2z=0. Wenn ich Gauß nochmal anwende, steht in der letzten Zeile 0=0. Was heißt das? Dass die Vektoren linear abhängig sind, da es unendlich viele Darstellung des Nullvektors gibt, oder?
5.) Wenn ich zeigen will, dass ein Erzeugendensystem vorliegt und schon einen Vektor kenne, der sich nicht aus den anderen Vektoren erzeugen lässt, ist das doch ein Gegenbeispiel und damit liegt kein Erzeugendensystem vor. Richtig?
So, das war's erstmal. Freue mich über jede Antowrt.
Dankeschön.
Grüße kiri
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Hi, kiri,
> 1.) In der letzten Zeile bei der ersten Aufgabe erhalte ich
> -4*z=-2a+b-2c
> Das heißt also, dass sich jeder beliebige Vektor aus den
> drei anderen linear erzeugen lässt. Richtig?
Ja!
> 2.) Bei der zweiten Aufgabe erhalte ich bei der Untersuchung
> auf lineare Unabhängigkeit aus der letzten Zeile der Matrix
> 3*y+2*z=0 . Das wiederum bedeutet, dass die Vektoren linear
> abhängig sind. Richtig?
Ja!
> 3.) Ebenfalls bei der zweiten Aufgabe: Wenn ich untersuche,
> ob sich ein beliebiger Vektor aus den drei anderen linear
> kombinieren lässt, dann liefert die letzte Zeile der Matrix
> 3*y+2*z=a+b .
> Das heißt doich, dass sich jeder beliebige Vektor aus den
> drei anderen erzeugen lässt, aber nicht eindeutig. Oder?
Wieder ja!
> Ist die Eindeutigkeit für das Erzeugendensystem wichtig?
Für das "Erzeugendensystem nicht, aber dafür, dass es BASIS ist - und Basis ist dieses Erzeugendensystem nicht, weil die Vektoren nicht linear unabhängig sind!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 20.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay, alles klar. Super. Vielen Dank.
Dann noch eine andere Frage: Ich betrachte den Vektorraum der reellem unendlich oft differenzierbaren Funktion. Gegeben sind die "Vektoren" [mm] f_{1}(t)=sin(t) [/mm] und [mm] f_{2}(t)=cos(t). [/mm] Auch hier soll ich zeigen, ob die Vektoren linear unabhängig sind, ein Erzeugendensystem bilden oder sogar eine Basis.
Fangen wir mal mit der linearen Unabhängigkeit an. Seien dazu a, b [mm] \in \IR [/mm] .
Zu untersuchen ist, ob a*sin(t)+b*sin(t)=0 lösbar ist. Das Problem ist also auf die Nullstellenberechung der Funktion f(t)=a*sin(t)+b*sin(t) zurückzuführen.
Ist folgende Argumentation legititm:
Ich betrachte den Sonderfall a=b=1, also berechne sin(t)+cos(t)=0 . Und jetzt kann man ja leicht die Nullstellen von dieser Funktion g(t)=sin(t)+cos(t) ausrechnen. Nun habe ich wie folgt argumentiert:
Da g(t) Nullstellen besitzt, und die Multiplikation der Sinusfunktion mit a und der Kosinusfunktion mit b nur eine Streckung oder Stauchung der Funktion selbst bewirkt, und die Funktion nicht verschoben wird, besitzen auch jede beliebige Funktion f(t)=a*sin(t)+b*sin(t) Nullstellen. Damit kann der Nullvektor, sozusagen, lunendlich oft linear erzeugt werden. Damit sind die "Vektoren" (also die Funktionen) linear abhängig...
Ist das so richtig?
Und dann meine Frage: Ich müsste dann wir ein Erzeugendensystem ja zeigen, dass sich jede beliebige Funktion aus sin(t) und cos(t) erzeugen lässt. Also müsste ich a*sin(t)+b*cos(t)=c lösen, wobei c eine beliebige Funktion ist, richtig? Wie mache ich das?
Dankeschön.
Grüße kiri
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Hi, kiri,
> Dann noch eine andere Frage: Ich betrachte den Vektorraum
> der reellen unendlich oft differenzierbaren Funktion.
> Gegeben sind die "Vektoren" [mm]f_{1}(t)=sin(t)[/mm] und
> [mm]f_{2}(t)=cos(t).[/mm] Auch hier soll ich zeigen, ob die Vektoren
> linear unabhängig sind, ein Erzeugendensystem bilden oder
> sogar eine Basis.
Eine Basis für was? Ist kein Unterraum beschrieben?
> Fangen wir mal mit der linearen Unabhängigkeit an. Seien
> dazu a, b [mm]\in \IR[/mm] .
> Zu untersuchen ist, ob a*sin(t)+b*sin(t)=0 lösbar ist. Das
> Problem ist also auf die Nullstellenberechung der Funktion
> f(t)=a*sin(t)+b*sin(t) zurückzuführen.
(1) Du meinst ja sicher: a*sin(t) + b*cos(t) =0
(2) Zum´Andern geht's hier nicht um die Nullstellen der linken Seite,
sondern darum, dass die NULLFUNKTION rauskommt, also: f(x)=0
Umformung ergibt z.B.: cos(t) = [mm] \bruch{a}{b}*sin(t)
[/mm]
was offensichtlich nicht geht: Die cos-Funktion ist kein Vielfaches der sin-Fkt.
> Ist folgende Argumentation legititm:
> Ich betrachte den Sonderfall a=b=1, also berechne
> sin(t)+cos(t)=0 . Und jetzt kann man ja leicht die
> Nullstellen von dieser Funktion g(t)=sin(t)+cos(t)
> ausrechnen. Nun habe ich wie folgt argumentiert:
> Da g(t) Nullstellen besitzt, und die Multiplikation der
> Sinusfunktion mit a und der Kosinusfunktion mit b nur eine
> Streckung oder Stauchung der Funktion selbst bewirkt, und
> die Funktion nicht verschoben wird, besitzen auch jede
> beliebige Funktion f(t)=a*sin(t)+b*sin(t) Nullstellen.
> Damit kann der Nullvektor, sozusagen, lunendlich oft linear
> erzeugt werden. Damit sind die "Vektoren" (also die
> Funktionen) linear abhängig...
>
> Ist das so richtig?
Ehrlich gesagt: Das verstehe ich gar nicht!
Versuch' mal, meine obige Argumentation nachzuvollziehen!
> Und dann meine Frage: Ich müsste dann wir ein
> Erzeugendensystem ja zeigen, dass sich jede beliebige
> Funktion aus sin(t) und cos(t) erzeugen lässt. Also müsste
> ich a*sin(t)+b*cos(t)=c lösen, wobei c eine beliebige
> Funktion ist, richtig? Wie mache ich das?
Dazu müsste man (siehe meine Frage nach dem Unterraum oben) erst mal wissen, was für ein Unterraum überhaupt betrachtet wird.
Denn: Jede beliebige, unendlich oft differenzierbare Funktion lässt sich ja wohl kaum durch diese beiden Basis"vektoren" darstellen! Nimm' nur mal z.B. die Funktion mit der Gleichung [mm] y=x^{2}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 20.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Systeme von Vektoren im Vektorraum V sind linear unabhängig, welche ein Erzeugendensystem, welche eine Basis?
[mm] V=C^{\infty}(\IR), f_{1}(t)=sin(t), f_{2}(t)=cos(t) [/mm] |
Hallo,
ok, gut. Dann hier mal die gesamte Aufgabenstellung. Wie gehe ich da am besten vor?
Grüße kiri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Di 20.11.2007 | | Autor: | Azuras |
Kann man für die lineare Abhängigkeit nicht einfach das Skalarprodukt bilden?
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Hi, Azuras,
nicht in jedem VR ist automatisch ein Skalarprodukt definiert.
Daher weist man die lin. Unabhängigkeit normalerweise direkt an Hand der Definition nach.
mfG!
Zwerglein
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Hi, kiri,
> Welche der folgenden Systeme von Vektoren im Vektorraum V
> sind linear unabhängig, welche ein Erzeugendensystem,
> welche eine Basis?
>
> [mm]V=C^{\infty}(\IR), f_{1}(t)=sin(t), f_{2}(t)=cos(t)[/mm]
>
> Hallo,
> ok, gut. Dann hier mal die gesamte Aufgabenstellung. Wie
> gehe ich da am besten vor?
Die lineare Unabhängigkeit haben wir ja schon gezeigt.
Wenn es nun um den Unterraum U = { f | f(t) = a*sin(bt + c); a,b,c [mm] \in \IR [/mm] } geht, so bilden die beiden Vektoren auch ein Erzeugendensystem und damit eine Basis von U (womit gleichzeitig gezeigt ist: dimU = 2).
mfG!
Zwerlein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Di 20.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
ich dachte, wir hätten die lineare Abhängigkeit gezeigt!? Kannst du mir das nochmal ausführlicher erklären? 
Dankeschön.
Grüße kiri
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Hi, kiri,
> ich dachte, wir hätten die lineare Abhängigkeit gezeigt!?
Hä? Wo hast Du denn diesen Fehlschluss nun wieder her?
(Bring mich nicht zur Verzweiflung!!!)
Oben hab' ich Dir doch (in Kurzform) erklärt: Wenn die Gleichung
a*sin(x) + b*cos(x) = 0 mit a,b [mm] \not= [/mm] 0 gelten würde
(was bedeutet: linear abhängig!),
dann müsste (umgeformt) auch die Gleichung
cos(x) = [mm] -\bruch{a}{b}*sin(x) [/mm] (für alle x !!!) erfüllbar sein.
(Das Minuszeichen spielt dabei keine Rolle!)
Da aber der cos KEIN Vielfaches des sin ist, sind beide logischerweise
LINEAR UNABHÄNGIG!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Di 20.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
entschuldige, irgendwie hatte ich da einen Teil deines Beitrags übersehen. Habe nur den letzten Teil gelesen. Tut mir leid.
Kannst du mir vielleicht nochmal, wenn du noch Lust hast (:-D), genauer erklären, warum nun ein Erzeugendensystem vorliegt. Ds verstehe ich noch nicht ganz.
Danke!!!
Grüße kiri
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Hi, kiri,
also: Für die Menge von Funktionen, die ich U genannt habe, ist
B = { sin(x) ; cos(x) } ein Erzeugendensystem, denn jede Funktion mit
f(x) = a*sin(bx+c) lässt sich durch B darstellen. (Das weißt Du sicher auch aus der Physik, wo man dies mit Hilfe des Zeigerdiagramms relativ schnell "erledigt".)
Aber wie gesagt: Die Fragestellung ist mir da doch etwas zu ungenau!
Normalerweise wird genauer gesagt, für welchen Vektorraum eine gegebene Menge von Vektoren als Basis "in Frage kommt".
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 Mi 21.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay. Alles verstanden! Vielen Dank. :)
Grüße kiri
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