Erzeuger und Relation Quadrat < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Fr 02.11.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Symmetriegruppe eines Quadrates von einer Drehung [mm] \pi [/mm] um 90° um den Mittelpunkt des Quadrates und einer Spiegelung [mm] \nu [/mm] erzeugt wird. Finde alle Realtionen für diese Gruppe. |
Zunächst zu dem Erzeuger der Gruppe.
Also eine Drehung um 90° (nach links) bewirkt ja die Permutation (14)(32), wenn die Ecken entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn durchnummeriert werden (mit 1 unten links). Diese Drehung und eine beliebige Spiegelung sollen jetzt also die Symmetriegruppe des Quadrates erzeugen. Es gilt ja schonmal [mm] \nu^2 [/mm] = 1. (das Neutrale). Und die Drehung um 90° muss man ja 4-mal vollziehen um wieder id zu bekommen, dann wäre ja auch [mm] \pi^4 [/mm] =1. Also wäre [mm] \nu^2= \pi^4 [/mm] =1 . Und [mm] \pi^{-1} [/mm] bekommt man z.B. durch die Hintereinanderausfürhung von [mm] \nu \pi \nu.
[/mm]
--> Q = [mm] <\nu, \pi [/mm] | [mm] \nu^2 [/mm] = [mm] \pi^4 [/mm] =1, [mm] \nu\pi\nu= \pi^{-1}.
[/mm]
Ist hier was verwertbares dabei? Leider sieht mir das noch nicht wie ein Beweis aus...
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moin,
Fangen wir erstmal mit dem zu zeigenden Erzeugendensystem an, dafür hast du schon einige sehr schöne Sachen entdeckt (insbesondere die Ordnung deiner beiden Elemente).
Ich würde dir empfehlen jetzt folgendermaßen weiterzumachen:
1. Zeige: Die Menge $H := [mm] \{\pi,\pi^2,\pi^3,id\}$ [/mm] ist eine Untergruppe deiner gesuchten Gruppe und [mm] $\nu \notin [/mm] H$.
2. Folgere daraus, dass die folgenden Elemente paarweise verschieden sind:
[mm] $id,\pi,\pi^2,\pi^3,\nu,\nu\pi,\nu\pi^2,\nu\pi^3$
[/mm]
3. Wisse, dass deine gesuchte Gruppe genau 8 Elemente hat; da oben stehen sie.
lg
Schadow
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Ok, das habe ich jetzt soweit gemacht, wie schreibe ich denn jetzt das Erzeugendensystem auf (so wie ich es in meinem 1.Post geschrieben hatte?) Wie das mit den Relationen gehen soll, weiß ich allerdings nicht...
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Sind dann [mm] \pi^4 [/mm] und [mm] \mu^2 [/mm] auch schon Relationen, weil das Neutrale raus kommt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Di 06.11.2012 | | Autor: | rollroll |
Gibt's keine Ideen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Do 08.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 07.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Fr 02.11.2012 | | Autor: | wieschoo |
> Zunächst zu dem Erzeuger der Gruppe.
> Also eine Drehung um 90° (nach links) bewirkt ja die
> Permutation (14)(32), wenn die Ecken entgegengesetzt dem
> Uhrzeigersinn durchnummeriert werden (mit 1 unten links).
Eine Drehung ist ein 4-Zykel (1234). Du hast eine Spiegelung aufgeschrieben.
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