Erzeugnis von M < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] $\emptyset \not= [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] G$ eine nicht-leere Teilmenge der Gruppe $G$.
Zeigen Sie, dass
[mm] $\langle M\rangle [/mm] = [mm] \{ a_{1} *\ldots* a_{n}\ |\ n \in \IN, a_{i} \in M\text{ oder } (a_{i})^{-1} \in M \text{ für alle } i \in \{1,\ldots,n\} \}$ [/mm] |
Hallo an alle,
ich komme mit dieser Aufgabe nicht so ganz klar.
Wir haben in der Vorlesung dazu Folgendes aufgeschrieben:
Sei I eine Indexmenge, [mm] U_{i} \le [/mm] G für alle i [mm] \in [/mm] I.
[mm] \Rightarrow [/mm] U:= [mm] \bigcap_{i=I} U_{i} [/mm] ist eine Untergruppe von G
Definition
Sei M [mm] \subseteq [/mm] G, G eine Gruppe.
Sei <M> := [mm] \bigcap_{U \le G mit M \subseteq U} [/mm] U
<M> heißt das Erzeugnis von M.
<M> ist Untergruppe von G
Lemma
Sei M [mm] \subseteq [/mm] G, G eine Gruppe. Eine Teilmenge V [mm] \subseteq [/mm] G ist das Erzeugnis <M> von M, genau dann, wenn:
(1) V [mm] \le [/mm] G und V enthält G
(2) für alle U [mm] \le [/mm] G mit M [mm] \subseteq [/mm] U ist [mm] V\le [/mm] U
So, jetzt verstehe ich nicht, warum aus [mm] a_{1} *...* a_{n} [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] <M> folgern soll. Warum werden hier irgendwelche Elmente aus M multipliziert?
Ich weiß, dass für a [mm] \in [/mm] (irgendeine Gruppe) folgt, dass [mm] a^{k} [/mm] , k [mm] \in \IZ [/mm] folgt. Hat das damit vielleicht was zu tun?
Danke für jegliche Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Sei [mm]\emptyset \not= M \subseteq G[/mm] eine nicht-leere
> Teilmenge der Gruppe [mm]G[/mm].
> Zeigen Sie, dass
> [mm]\langle M\rangle = \{ a_{1} *\ldots* a_{n}\ |\ n \in \IN, a_{i} \in M\text{ oder } (a_{i})^{-1} \in M \text{ für alle } i \in \{1,\ldots,n\} \}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Hier wird erklärt, wie die Elemente von <M> gemacht sind.
Jedes Element, welches im Erzeugnis von M ist, kann man schreiben als endliches Produkt von Elementen, die in M sind oder deren Inverses in M ist.
Zu zeigen ist hierfür zweierlei:
Ist jedes Element von <M> von dieser Bauart?
Ist jedes Element, welches von dieser Bauart ist, in M?
Wenn ich Dich recht verstehe, ist Dir nicht klar, warum das Element x mit
[mm] x=a_1*a_2*...*a_n [/mm] mit [mm] a_i\in [/mm] M oder [mm] a_i^{-1} \in [/mm] M in <M> liegt.
Nun, Du kannst Dir überlegen, daß mit jedem Element [mm] b\in [/mm] M sein Inverses [mm] b^{-1} [/mm] in <M> sein muß.
Und sämtliche Produkte müssen drinliegen aufgrund der Abgeschlossenheit.
Ich hoffe, daß ich deine Frage beantwortet habe. Sicher bin ich mir nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela,
danke für deine Antwort. Ich denke, ich hab jetzt verstanden, wie die Aufgabe gemeint ist.
Ciao
|
|
|
|
