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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Do 13.01.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | Sei R ein Ring und x [mm] \in [/mm] R mit [mm] x^2=x. [/mm] Zeigen Sie:
(a) Das von x erzeugte Ideal (x) ist ein Ring. Bestimmen Sie das Einselement in (x)
(b) Die Abbildung f: R [mm] \to [/mm] (x), a [mm] \mapsto [/mm] ax, ist ein Ringhomomorphismus
(c) Der Ring (x) ist isomorph zu R/(1-x) |
Hallo,
Bei (a) habe ich die Ringeigenschaften gezeigt. Nur beim Einselement bin ich mir unsicher. Da [mm] x^2=x [/mm] müsste x das Einselement in (x) sein. Kann ich dann x=1 schreiben, denn die Gleichung wäre ja auch für x=0 erfüllt?
Aufgabe (b) habe ich gelöst.
Bei Aufgabe (c) würde ich den Homomorphiesatz für Ringe verwenden. Ker(f)={a [mm] \in [/mm] R | ax=0}={0}=(0). Falls x=1 gilt (0)=(1-x) und damit sind (x) und R/(1-x) isomorph, aber wie kann ich dies für x=0 zeigen?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Do 13.01.2011 | | Autor: | cycore |
Hallo,
> Sei R ein Ring und x [mm]\in[/mm] R mit [mm]x^2=x.[/mm] Zeigen Sie:
> (a) Das von x erzeugte Ideal (x) ist ein Ring. Bestimmen
> Sie das Einselement in (x)
> (b) Die Abbildung f: R [mm]\to[/mm] (x), a [mm]\mapsto[/mm] ax, ist ein
> Ringhomomorphismus
> (c) Der Ring (x) ist isomorph zu R/(1-x)
> Hallo,
>
> Bei (a) habe ich die Ringeigenschaften gezeigt. Nur beim
> Einselement bin ich mir unsicher. Da [mm]x^2=x[/mm] müsste x das
> Einselement in (x) sein. Kann ich dann x=1 schreiben, denn
> die Gleichung wäre ja auch für x=0 erfüllt?
Ja, x ist das Einselement, aber in [mm](x)[/mm]! Das muss nicht unbedingt etwas mit der [mm]1\in{R}[/mm] zu tun haben. Und erst recht nicht mit der 0, denn das ist die 0 in beiden Ringen...
> Aufgabe (b) habe ich gelöst.
> Bei Aufgabe (c) würde ich den Homomorphiesatz für Ringe
> verwenden.
Gute Idee..
> Ker(f)=[mm] \{a\in{R} | ax=0\} [/mm]={0}=(0).
Wer hat gesagt der Ring sei nullteilerfrei?
[mm] f(1-x)=(1-x) x = x-x^2=0 [/mm], also ist zumindest [mm](1-x)
Wenn du es schaffst zu zeigen, dass [mm](1-x)=Ker(f)[/mm] gilt, bist du fertig.
> Falls x=1 gilt
> (0)=(1-x) und damit sind (x) und R/(1-x) isomorph, aber wie
> kann ich dies für x=0 zeigen?
>
> Vielen Dank im Voraus.
Gruß Cycore
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Do 13.01.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Mein Lösungsvorschlag, um zu zeigen, dass Ker(f)=(1-x):
Ich habe gezeigt, dass f injektiv ist. Damit gilt: Ker(f) = (1-x)
Kann ich das so begründen?
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Fr 14.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Katrin
> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Mein Lösungsvorschlag, um zu zeigen, dass Ker(f)=(1-x):
> Ich habe gezeigt, dass f injektiv ist.
Hast du nicht, dein Beweis ist falsch.
> Damit gilt: Ker(f)
> = (1-x)
Wieso sollte das gelten? $(1 - x)$ ist (im Allgemeinen) nicht das Nullideal.
Zeige:
(i) $1 - x [mm] \in [/mm] Ker(f)$
(ii) ist $r [mm] \in [/mm] R$, so ist $r = (1 - x) r + x r [mm] \in [/mm] Ker(f)$ genau dann, wenn $x r = 0$ ist; in dem Fall ist $r [mm] \in [/mm] (1 - x)$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Fr 14.01.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
vielen Dank für die Hilfe.
(i) gilt, da [mm] f(1-x)=(1-x)x=x-x^2=0
[/mm]
Allerdings verstehe ich nicht, warum man (ii) nachweisen muss.
Ich dachte, dass ich zeigen muss, dass Ker(f) = (1-x) gilt und wollte dies mit der Injektivität von f begründen.
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Fr 14.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> (i) gilt, da [mm]f(1-x)=(1-x)x=x-x^2=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Allerdings verstehe ich nicht, warum man (ii) nachweisen
> muss.
> Ich dachte, dass ich zeigen muss, dass Ker(f) = (1-x) gilt
Exakt. Deswegen sollst du (ii) zeigen.
> und wollte dies mit der Injektivität von f begründen.
Aber $f$ ist nicht injektiv. (Wie oft soll ich das eigentlich noch wiederholen?)
Du kannst es also nicht mit der Injektivitaet von $f$ begruenden!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Fr 14.01.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
entschuldigt meine vielen Nachfragen, aber so ganz verstehe ich immer noch nicht, was ich zeigen soll.
zu (ii):
Ker(f)={r [mm] \in [/mm] R |f(r)=rx=0}
[mm] \Rightarrow [/mm] r = r-rx+rx=(1 - x) r + x r [mm] \in [/mm] Ker(f)
[mm] \Rightarrow [/mm] r [mm] \in [/mm] Ker(f) und (1-x) [mm] \in [/mm] Ker(f)
[mm] \Rightarrow [/mm] r [mm] \in [/mm] (1-x)
Katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 So 16.01.2011 | | Autor: | katrin10 |
Ist mein Ansatz so richtig oder wie muss ich das gegebene beweisen?
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 So 16.01.2011 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin!
> zu (ii):
>
> Ker(f)={r [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R |f(r)=rx=0}
> [mm]\Rightarrow[/mm] r = r-rx+rx=(1 - x) r + x r [mm]\in[/mm] Ker(f)
> [mm]\Rightarrow[/mm] r [mm]\in[/mm] Ker(f) und (1-x) [mm]\in[/mm] Ker(f)
> [mm]\Rightarrow[/mm] r [mm]\in[/mm] (1-x)
Schreibe besser: sei $r [mm] \in [/mm] Ker(f)$. Dann ist $r x = 0$, also $r = r - r x + r x = (1 - x) r + x r = (1 - x) r$. Damit ist $r [mm] \in [/mm] (1 - x)$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 So 16.01.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe die Aufgabe nun verstanden.
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